Bài 1 phân thức đại số tính chất cơ bản của phân thức

CHƯƠNG 2: PHÂN THỨC ĐẠI SỐ BÀI 1: PHÂN THỨC ĐẠI SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC Mục tiêu  Kiến thức + Nhận biết phân thức đại số, hai phân thức + Xác định tính chất phân thức đại số  Kĩ + Biết cách tìm điều kiện biến để giá trị phân thức xác định + Biết cách nhận biết trường hợp cần đổi dấu thành thạo việc đổi dấu để xuất nhân tử chung tử mẫu + Biết cách viết công thức đối phân thức, thành thạo quy tắc đổi dấu quy tắc trừ phân thức đại số + Tính giá trị biểu thức hay phân thức + Biết cách tìm giá trị biến để giá trị biểu thức nguyên, tìm giá trị lớn (hoặc nhỏ nhất) biểu thức, tìm đa thức thỏa mãn điều kiện cho trước, tìm điều kiện để phép chia hết Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Định nghĩa - Một phân thức đại số (phân thức) biểu thức dạng A B (A gọi tử thức, B gọi mẫu thức) Trong đó: A, B đa thức B khác đa thức - Mỗi đa thức coi phân thức với mẫu thức - Số 0, số phân thức đại số Tính chất phân thức Ví dụ: - Nếu nhân tử mẫu phân thức với đa Ta có thức khác đa thức phân thức phân thức 3.2   ; 5.2 10 x   x  1 3 x    ; x   x   3 x  cho A A.M   M 0  B B.M  x  1  x    x  2  x  1 x   - Nếu chia tử mẫu phân thức cho nhân tử chung chúng phân thức phân thức cho A A: N  ( N 0 N nhân tử chung A, B) B B:N Hai phân thức - Hai phân thức A C gọi A.D B.C B D A C   A.D B.C B D Ví dụ: Phân thức x phân thức x x   1 x 1 Quy tắc đổi dấu với x  1.x  x  1  x  x  1 Ví dụ: - Nếu đổi dấu tử mẫu phân thức Ta có phân thức phân thức cho A A A A  ;  B B B B 1 x x   ; x x 1 x x   2 x x SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA Trang Định nghĩa Phân thức đại số biểu thức có dạng Trong đó: A, B đa thức B khác đa thức Quy tắc đổi dấu Hai phân thức Phân thức đại số Tính chất - Nhân tử mẫu với đa thức khác đa thức - Chia tử mẫu cho đa thức khác đa thức (đa thức chia nhân tử chung tử mẫu) II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Chứng minh đẳng thức Phương pháp giải Lựa chọn cách biến đổi thường dùng sau Cách Biến đổi vế trái thành vế phải Phân tích tử thức mẫu thức thành nhân tử chia tử mẫu cho nhân tử chung Ví dụ: Chứng tỏ a) b) 2x2  2x x với x   3x  3  x    x  1 x 1  x2 với x 1 x 1 x3  c)  x  x  2x  Cách Biến đổi vế phải thành vế trái Hướng dẫn giải Nhân tử thức mẫu thức với đa thức khác a) Với x  1, ta có đa thức x  x x  x  1 x VT    VP 3x  3  x  1 Suy điều phải chứng minh b) x 1, ta có VP  x   x    x  1  x    x  1   VT x   x  1  x  1 x2  Trang Suy điều phải chứng minh Cách Biến đổi đồng thời hai vế c) Ta có Rút gọn cách triệt tiêu nhân tử chung sử dụng định nghĩa hai phân thức cần, x3  x  x2  x  từ suy điều phải chứng minh  x  2  x2  x  4 x2  2x   x     x   0   x   0 (luôn x) Suy điều phải chứng minh Ví dụ mẫu Ví dụ Chứng minh đẳng thức sau a) 3x  1  với x  x  3x  5x  x  b) x2  2x  x 3 với x 2 x   x 8 x x Hướng dẫn giải a) Với x  x  , ta có VT  3x  3x  3x  1    VP x  x   3x  x    x    x  1  x   x  2 Suy điều phải chứng minh b) Với x 2 x  3, ta có x2  2x  x 3  x 8 x x x2  2x  x 3  2  x    x  x    x  x    3x   x 3   x    x    x  3 1  (đúng với x 2 x  3) x x Suy điều phải chứng minh Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Cô giáo yêu cầu bạn cho ví dụ hai phân thức Dưới ví dụ mà bạn Nam, Lan, Quân Hùng cho: x  x2  x (Nam);  x  x2  x  x  2 2 x  2x  x  (Lan); Trang  x  3 2  x 3 x x   (Quân);  2x 2x   x  3 2 (Hùng); Trong bốn bạn, người viết sai A Nam B Lan Câu 2: Phân thức phân thức A x x  x 1 B C Quân D Hùng x x3  x x  x 1 C x  x 1 D x  x 1 Bài tập nâng cao Câu 3: Chứng minh  x 2  3x a)   6x a  a  2a  b)  2a  Dạng 2: Tìm đa thức thỏa mãn đẳng thức cho trước Phương pháp giải Ví dụ: Tìm đa thức A đẳng thức sau Thực theo hai bước x A  với x 3 x  x  x  27 Hướng dẫn giải Bước Phân tích tử thức mẫu thức thành nhân Với x 3, ta có tử hai vế x A  x  x   x    x  3x   Bước Lựa chọn hai cách biến đổi thường dùng sau: Cách Nhân tử mẫu với đa thức khác Cách Chia tử mẫu với nhân tử chung   x  3  x  3  A  x  3  x  3x    x  3  x  3x    A  x  3 Ví dụ mẫu Ví dụ Tìm đa thức A đẳng thức sau a) A  với x  x 2 2x  2x  7x  b) 1 x2  2x x2  2x với x 2 x   2 x  3x  A Hướng dẫn giải a) Với x  x 2, ta có A A 2     A 2x  2x  x  x   x  3  x   x b) Với x 2 x  1 , ta có Trang x  x  2 x  x  2  x  2 x2  x x2  2x      2 x  3x  A A x 1 A  x 1  x    A  x  1  x    A 2 x  x  Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Đa thức M đẳng thức A x  x   M x  x  x2 B x  x   Câu 2: Đa thức A đẳng thức A x  C x  x   D x  x   C  x D x  y x x y  4 x A B   x Bài tập nâng cao Câu 3: Tìm đa thức A, biết x  xy  y x3  y  b) A x  xy a  3 a) a    a A Dạng 3: Chứng minh đẳng thức có điều kiện Phương pháp giải Thực theo hai bước Ví dụ Cho hai phân thức A C thỏa mãn B D A C A B B  Chứng minh  B D CD D Hướng dẫn giải Bước Xuất phát từ điều phải chứng minh, áp dụng tính chất hai phân thức Ta có A C A B    B D C D Sử dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có A B AB   C D C D Bước Thu gọn biểu thức dựa vào điều kiện đề cho để lập luận Vậy A B B  CD D Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hai phân thức Chứng minh A C A C thỏa mãn đẳng thức  B D B D A B C  D  B D Hướng dẫn giải Trang Ta có A C A B    B D C D Sử dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có A B A B B A B A B C  D       C D C D D C D B D Bài tập tự luyện dạng Bài tập A C A C  Khẳng định sai khẳng định thỏa mãn đẳng thức B D B D Câu 1: Cho hai phân thức sau A A.D B.C B A AC  B BD C C AC  D BD D A.B C.D Bài tập nâng cao Câu 2: Cho phân thức A C E A C E A B ,  thỏa mãn   Chứng minh B D F B D F AC  E B  D  F Dạng 4: Biến đổi phân thức theo yêu cầu Phương pháp giải Ví dụ: Biến đổi phân thức Thực theo hai bước x2  x  với  x  1  x  5 x 2 x 5 thành phân thức có tử thức đa thức x  giá trị hai phân thức Hướng dẫn giải Bước Phân tích tử thức mẫu thức thành nhân Với x 2 x 5, ta có tử lựa chọn tử thức (hay mẫu thức) thích hợp tùy theo yêu cầu đề Bước Sử dụng tính chất phân thức để đưa phân thức thỏa mãn yêu cầu x  x   x  1  x   Do  x  1  x  5  x  x2  x    x  1  x  5  x  1  x   x  Ví dụ mẫu Ví dụ Biến đổi phân thức 3 với x  x 1 thành phân thức có mẫu thức đa thức 2x  2 x  x  giá trị hai phân thức Hướng dẫn giải Với x  3 x 1, ta có x x   x   x  3  x  1 x  x  Trang Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu Phân thức phân thức A x x2 B x2  2x  x2 x x C x x2 D x x Bài tập nâng cao 1 ; ; x  5  x 25  x Câu Đưa phân thức sau mẫu thức Dạng Tính giá trị phân thức Phương pháp giải Ví dụ: Tính giá trị phân thức Thực theo ba bước A x  x  1 với x 1 x 2 x  0 x  3x  Hướng dẫn giải Bước Phân tích tử thức mẫu thức Với x 1 x 2, ta có phân thức thành nhân tử A  x  x  1 x  x  1 x  x  1   x  x   x  x    x   x  x  1   x  1 x  x  1 2x   x  1  x   x  Bước Rút gọn phân thức Ta có x  0  x  Thay x  Bước Thay giá trị biến vào phân thức (thỏa mãn) vào biểu thức, ta 1 A   3 2  2 tính Vậy A  2 , x  0 Ví dụ mẫu Ví dụ Tính giá trị biểu thức P x với x 3 x 2 x  0 x  5x  Hướng dẫn giải Với x 3 x 2 , ta có P x x x    x  x   x  x    3x    x  3  x   x  2 Trang Vậy P  , x 3 x 2 x  x 3 Ta lại có x  0    x  Giá trị x 3 không thỏa mãn điều kiện Thay x  3, vào biểu thức P, ta P  Vậy P  1   3 , x  0 Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu Giá trị phân thức A  A x2  x với x 2 x 1  x2 B C D Bài tập nâng cao Câu Tính giá trị biểu thức sau a) E  x3  với x 2 x  3x  b) F  x  16 với x 4 x 2019 x Dạng Tìm giá trị lớn nhỏ phân thức Phương pháp giải Ví dụ: Tính giá trị lớn biểu thức A x  2x  Hướng dẫn giải Bước Phân tích mẫu thức làm xuất đẳng thức bình thương tổng hiệu Ta có x  x   x  1  2 Vì  x  1 0, x nên  x  1 Bước Đánh giá  2  3  , x  x  1  2 3  , x x  2x  Dấu “ = ” xảy x  0 hay x  Vậy A  Bước Tìm điều kiện để dấu “ = ” xảy kết luận Vậy giá trị lớn A  đạt x  Ví dụ mẫu Ví dụ Tìm giá trị nhỏ biểu thức A  2 x  3x  Trang Hướng dẫn giải   3  Ta có x  x   x  2.x           2 2 3  3     x    2  2  3  Ta lại có  x   0, x  2  3 3   x     , x 2 4     3  x   2  2  3  x   2   A 8 , x 8 Dấu “ = ” xảy x  Vậy giá trị nhỏ A  , x 3 3 0 hay x  2 8 3 đạt x  Ví dụ Tìm giá trị lớn phân thức P   x  2 với x 2 x3  Hướng dẫn giải Với x 2, ta có P  3 x  2  x  2  x  2x  4  x  2x  2 2 Ta lại có x  x   x  2.x.1      x  1  2 Mà  x  1 0, x   x  1  3, x  1  , x  1, x  x  1  3  x  1   P 1 Dấu “ = ” xảy x  0 hay x  (thỏa mãn x 2) Vậy giá trị lớn P đạt x  Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu Giá trị nhỏ phân thức P  A 21 B  29 x  3x  C 21 D  21 Bài tập nâng cao Trang 10 Câu Tìm giá trị lớn biểu thức P   x  4  x  2  Trang 11 ĐÁP ÁN BÀI PHÂN THỨC ĐẠI SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu Chọn B x2  4x x  x  4 x     bạn Nam viết x2  6x x  x  6 x  Ta có  x  2 2 x  2x  x  2  x  x  2  x2  bạn Lan viết sai x 3 x x    bạn Quân viết  2x 2x  x  3 2  x  x  3    x  3   x  3 2  bạn Hùng viết Câu Chọn D x x 1  Ta có x    x  1  x  x  1 x  x 1 Bài tập nâng cao Câu a) Ta có VT   x   x    3x   x   VP  6x   3x  2 a   a    a  a   a  2a    VP b) Ta có VT  2a   a  2 Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu Chọn B Ta có x  x  2 M x M     M x  x  2 x2  x   x  2  x  2  x    x  2 Câu Chọn A Ta có y x x y x y x y     A  x  4 x A x A Bài tập nâng cao Câu Trang 12 2  a  3  a  3  A  a  a   A a  a   a  3    a) Ta có    a A A  a  3  a  3 2 x  xy  y x3  y3 x  xy  y  x  y   x  xy  y     b) Ta có A x  xy A 3x  x  y   2 x  xy  y  x  xy  y    A 3 x A 3x Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu Chọn D Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có Ta có A C AC   B D BD A C   A.D B.C B D Vậy đáp án sai đáp án D Bài tập nâng cao Câu Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta A C E AC  E A A C  E A B        B D F BD F B BD F A C  E B  D  F Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu Chọn D x  x  2 x2  2x x x    Ta có 4 x   x   x  x x  Bài tập nâng cao Câu Ta có +) 1   2x   2x  5  2x   2x    x  +)  2x   2x   2x    2x  +) 1  25  x   2x    2x  Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu Chọn A Trang 13 Ta có A  x  x  2 x2  2x x   4 x   x   x  2  x Thay x 1 vào biểu thức A  x , ta A  1 2 x 2 Bài tập nâng cao Câu 2 x3   x    x  x   x  x    a) Ta có E  3x   x  2 Thay x  vào biểu thức E  Vậy E  x2  2x  12  2.1  , ta E   3 x 1 b) Ta có F  x  16  x    x     x  x x Thay x 2019 vào biểu thức F  x  4, ta F 2019  2023 Vậy F 2023 x 2019 Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu Chọn B  29 29  Ta có x  x   x     2 4  Dấu " " xảy x  3 0  x  2 Bài tập nâng cao Câu 2 2 Ta có  x    x     x  x  15  x  x     x  3  2 Mà  x  3 0 nên  x  3  6  P 6  1  x  3  6 Dấu " " xảy x  0 hay x  Vậy giá trị lớn P 1, đạt x  Trang 14