062 đề hsg toán 8 vũng tàu 22 23

TỈNH BÀ RỊA VŨNG TÀU ĐỀ THI OLYMPIC MƠN TỐN NĂM HỌC 2022-2023 Bài (3,0 điểm) 1) Chứng minh n3   n  1   n   chia hết cho với số nguyên n x  y  z   y  z  x2   z  x2  y  2) Phân tích da thức thành nhân tử Bài (3,0 điểm)    x xy y xy  C  x   y :   2  x y    x  y y  x x  y  với x y Cho biểu thức 1) Rút gọn biểu thức C 2) Khi cho x 2  y  C  M x  x  1  y , tính giá trị biểu thức  y  1  3xy  x  y  1  xy Bài (3,0 điểm) 16   x 1  8  x 1) Giải phương trình  x   2) Tìm tất cặp số nguyên dương  x, y  thỏa mãn điều kiện x  xy  x  y  0 Bài (3,0 điểm) 1) Cho số thực x thay đổi thỏa mãn x 2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P x  3x  2 2x n 2) Tìm tất số tự nhiên n cho  19 số phương Bài (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, lấy điểm M trung điểm BC Qua điểm D thuộc đoạn BM , vẽ đường thẳng song song với AM , đường thẳng cắt hai đường thẳng AB, AC E F Qua A vẽ đường thẳng song song với BC cắt EF K 1) Chứng minh AKE ACB  MAC 2) Tính giá trị DE  DF  AM 3) Chứng minh K trung điểm đoạn thẳng EF Bài (2,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Trên đường cao AH tam giác ABC lấy điểm M (M nằm A H) Tia BM cắt AC I, tia CM cắt AB K Chứng minh HA tia phân giác KHI ĐÁP ÁN Bài (3,0 điểm) n3   n  1   n   3) Chứng minh Ta có : 3 chia hết cho với số nguyên n n3   n  1   n   n3  n3  3n  3n   n3  6n  12n  3n3  9n  15n   3n  15n    n  1 Có  n  1 9, n  Z  1 Và 3n3  15n 3n3  3n  18n   n  1 n  n  1  18n  9  n3   n  1   n    9  Vậy  x  y  z   y  z  x2   z  x  y  4) Phân tích da thức thành nhân tử Ta có : x  y  z   y  z  x   z  x  y  x  y  z   y  z   yz  yx  zx  zy  x  y  z   y  z   yz  yx  zx  zy x  y  z   y  z   yz  y  z   x  y  z   y  z   xy  xz  yz  x   y  z   z  x  y   x  x  y    y  z   z  x   x  y  Bài (3,0 điểm)    x xy y xy  C  x   y :   2  x y    x  y y  x x  y  với x y Cho biểu thức 3) Rút gọn biểu thức C Với x y ta có :    x xy y xy  C  x   y :   2  x y    x y y x x  y   x  xy  xy  xy  y  x  xy  xy  y  xy  : x  y  x  y  x  y    x  y  :  x  y   x  y   x  y   x  y  x  y  x  y xy 4) Khi cho x  y  C  M x  x  1  y 2 , tính giá trị biểu thức  y  1  3xy  x  y  1  xy Theo cmt ta có : x Vì   x  y C x  y với x y  y  C    x  y  x  y  x  y xy    x  y    x  y  Ta có : M x  x  1  y  y  1  3xy  x  y  1  xy  x  x  y  y  3x y  3xy  3xy  xy  x  xy  y    x3  3x y  3xy  y   x  y    x  y   * 2 M        4   Thay x  y  vào (*) ta có : Vậy M  với x, y thỏa mãn đề Bài (3,0 điểm) 16   x 1  8  x 3) Giải phương trình  x   16   x 1  8   x 0   x  x  22 x  24 x  0 x 3 x   x  x  x  x  15 x  15 x  x  0   x  1  x  x  15 x   0   x  1  x  1  x   0  x  0    x  0  x 1(tmdk )  x 3(tmdk )  4) Tìm tất cặp số nguyên dương  x, y  thỏa mãn điều kiện x  xy  x  y  0  Giả sử tồn x, y  Z thỏa mãn đề Ta có : x  xy  x  y  0  x  x  y    x  y   x  0   x  y   x  1   x  1    x  1  x  y  1   3.1  1.3 1  3  2x  x  y 1 x y Vậy 3 1 1 3  1(ktm) 0(ktm)1 1  x; y     1;5  ,  2;   cặp giá trị cần tìm thỏa mãn yêu cầu Bài (3,0 điểm) 3) Cho số thực x thay đổi thỏa mãn x 2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức 2 2x  x  7x P  x  x   x    x         2x  2x  Ta có :  x   0, x    1 P x  3x  Có x ; 0 Áp dụng bất đẳng thức AM  GM cho x có : x x 1  2   2 2x 2x x 14 x 2     3 8 Vì  1 ,   ,  3  P 0     P  4 Từ  x   0  x  x 2(tm)    2x  x 2 Dấu xảy  Min P   x 2 Vậy n 4) Tìm tất số tự nhiên n cho  19 số phương Đặt 3n  19 a  1 32 k  19 a   a  3k   a  3k  19 *) Xét n 2k , k  N Khi đó, (1) trở thành : a  3k 1 a  3k  a  3k    2a 20  a 10  3n  19 10  n 4(tm) k a  19 Nhận thấy *)Xét n 2k  1, k  N Khi (1) trở thành : 32 k 1  19 a  3.9k  19 a 1 mod   9k 1 mod   3.9k 3  mod  Lại có 19 3  mod    3.9  19  2  mod  k Mặt khác a đồng dư với mod n 2k  k  N   khơng thỏa mãn Do n Vậy n 4  19 số phương mà Bài (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, lấy điểm M trung điểm BC Qua điểm D thuộc đoạn BM , vẽ đường thẳng song song với AM , đường thẳng cắt hai đường thẳng AB, AC E F Qua A vẽ đường thẳng song song với BC cắt EF K F A K E B D M C 4) Chứng minh AKE ACB  MAC Xét tứ giác AKDM có : AK / / DM (vì AK / / BC ; D, M  BC ) DK / / AM  DF / / AM , K  DF  suy tứ giác AKDM hình bình hành nên AKD AMD  1 AMC  AMD MAC  MCA   Ta có AMD góc ngồi Từ (1) (2) suy AKD MAC  MCA hay AKE ACB  MAC (dfcm) 5) Tính giá trị DE  DF  AM DE  DF DE  DE  EF 2 DE  EK KE KF  cmt  2  DE  EK  2DK  Ta có : Mà DK  AM (vì tứ giác AKDM hình bình hành)  DE  DF 2 AM  DE  DF  AM 0 6) Chứng minh K trung điểm đoạn thẳng EF Xét AKE BHA có : AKE BMA (vì tứ giác AKDM hình bình hành); KAE MBA  AK / / BC  AK KE  AKE ∽ BMA  g g   BM  AM  1 KAF MCA  AK / / BC  , AFK CAM  AM / / DE  Xét AFK CAM có : Suy AFK ∽ CAM ( g g )  AK FK   2 CM AM Lại có BM CM (vì M trung điểm BC) (3) Từ  1 ,   ,  3  KE FK hay K trung điểm EF (đpcm) Bài (2,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Trên đường cao AH tam giác ABC lấy điểm M (M nằm A H) Tia BM cắt AC I, tia CM cắt AB K Chứng minh HA tia phân giác KHI Q K B S A R P I M H Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt BI , CK , HK , HI P, Q, R, S AR KA AQ AS AI AP      1  2 Ta có : BH KB BC Tương tự HC IC BC AR HC AQ   3 Chia vế (1) cho (2) ta AS HB AP Lại có : AQ MA AP AQ HC AR     1  AR  AS  4 HC MH BH AP HB Từ (3) (4) suy AS HRS cân H , AR  AS  HA tia phân giác KHI  dfcm  C