PHÒNG GD&ĐT HUYỆN NHO QUAN TRƯỜNG THCS ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP NĂM HỌC 2022-2023 Thời gian làm : 150 phút Câu (5,0 điểm) 1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a ) x xy y 16 b) x 10 x x4 x x x x 1 P x x 1 x x 2) Cho biểu thức a) Tìm điêu kiện xác định rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P c) Chứng minh biểu thức Câu (4,5 điểm) 1) Giải phương trình sau A x 1 P với x thỏa mãn điều kiện xác định x 2 a) x x x x x x 3 x x x 120 b) 4 2 2) Cho a b c 0 a b c 14 Tính giá trị biểu thức N a b c Câu (3,0 điểm) 1) Cho đa thức f x 2 x ax bx c (trong x biến số, a, b, c hệ số) Biết f x f x đa thức chia hết cho đa thức x đa thức chia cho đa thức x phần dư x Tính giá trị biểu thức T 6a 3b 3c E x 2025 y 2025 x 2021 y 2021 2) Cho biểu thức với x, y số nguyên dương Chứng minh E chia hết cho 30 Câu (5,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông A Lấy điểm D cạnh AC (D không trùng với A C) Từ C vẽ đường thẳng vng góc với tia BD E cắt tia BA M a) Chứng minh : MA.MB ME.MC MAE MCB b) Cho BDC 120 diện tích tam giác AME 40cm Tính diện tích tam giác BMC c) Chứng minh BD.BE CD.CA BC Câu (2,0 điểm) 1) Cho tam giác ABC vuông A có độ dài cạnh huyền a độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh A kẻ xuống cạnh đối diện BC h Tìm giá trị nhỏ biểu a h Q 30 1975 h a thức 2) Cho n số nguyên dương lẻ Ta viết số 1; 2;3; ; 2n lên bảng Ta thực việc xóa hai số bảng, chẳng hạn a b thay vào số a b Việc thực đến bảng cịn lại số Hỏi với cách làm số 2020 có bảng hay khơng ? giải thích ĐÁP ÁN Câu (5,0 điểm) 3) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a ) x xy y 16 x y x y x y b) x 10 x x x x x x 1 x 1 x 1 x x 1 x 1 x 3 x x4 x x x x 1 P x x 1 x x 4) Cho biểu thức d) Tìm điêu kiện xác định rút gọn biểu thức P ĐKXĐ: x 0, x 1 2 x4 x x x x 1 x x 1 x x 1 x x 1 x 1 x 1 P x x 1 x x x2 x 1 x x 2 x x x x x x Vậy P x x với x 0, x 1 e) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P Theo câu a, P x x Ta có 1 3 P x x tmdk 2 4 1 x 0 x tm dkxd 2 Dấu xảy Min P x Vậy x A 1 P f) Chứng minh biểu thức với x thỏa mãn điều kiện xác định Ta có A 1 A 1 A x x x2 x x A 1 1 P Xét x x 1 x x 1 x x 1 x2 x 1 x 1 x 1 2 1 x 2 A A 1 1 1 x 1 x 1 ; x 0x x 2 Vì Do 0x 0, 1 A x 1 P với x 0, x 1 Vậy Câu (4,5 điểm) 3) Giải phương trình sau x ( DKXD : x 0; x 2) 4 x x 2x 2x x2 x x x x x 2 x x x x x 2 x x x x x x 0 x 2( ktm) x x 0 x 3(tm) c) d) x 3 x x 5 x 120 x 3 x x x 120 x x 18 x x 20 120 x x 19 121 0 x x 30(VN ) x x 30 x x 0 x x S 8; 1 Vậy tập nghiệm phương trình 4 2 4) Cho a b c 0 a b c 14 Tính giá trị biểu thức N a b c a b c 0 a b c 0 a b c 2ab 2ac 2bc 0 a b c ab ac bc ab ac bc (do a b c 14) ab ac bc 49 a 2b a 2c b 2c 2ab 2c 2abc 2a 2bc 49 a 2b2 a c b2 c 2abc ab ac bc 49 a 2b2 a c b2 c 49 a b c 0 Mặt khác : a b c 14 a b c 196 a b c a 2b b 2c c a 196 N 2.49 196 N 98 Vậy N 98 Câu (3,0 điểm) 3) Cho đa thức f x 2 x ax bx c (trong x biến số, a, b, c hệ số) Biết đa thức f x chia hết cho đa thức x đa thức f x chia cho đa thức x phần dư x Tính giá trị biểu thức T 6a 3b 3c Gọi thương phép chia f x cho đa thức x g x Vì f x chia hết cho x nên f x x g x (với x) x ax bx c x g x Với x 2 , ta có 32 4a 2b c 0 4a 2b c 32 1 Gọi thương phép chia f x cho đa thức x h x f x x 1 h x x Vì f x chia cho x dư x nên x ax bx c x 1 h x x Với x 1 ta có a b c 1 a b c 1 Với x a b c a b c (3) 32 a b 1 26 c Từ Khi T 6a 3b 3c 64 26 45 E x 2025 y 2025 x 2021 y 2021 4a 2b c 32 1 , , 3 a b c a b c 4) Cho biểu thức Chứng minh E chia hết cho 30 E x 2025 y 2025 x 2021 y 2021 E x 2020 x5 1 y 2020 y y với x, y số nguyên dương với x, y * Ta có : x x x x 1 x x 1 x 1 x x 1 x 1 x 2 x x 1 x x 1 x x 1 x x 1 Với x * , ta có x x 1 x x 1 x tích số nguyên liên tiếp nên x x 1 x x 1 x chia hết cho 2.3.5 Mà 2.3.5 30 x x 1 x x 1 x 30 x x 1 x x 1 tích ba số nguyên liên tiếp nên x 1 x x 1 chia hết cho x 1 x x 1 30x Do x x 30 với x nguyên với y * Tương tự ta có Do E 30x, y * Câu (5,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông A Lấy điểm D cạnh AC (D không trùng với A C) Từ C vẽ đường thẳng vng góc với tia BD E cắt tia BA M y 2020 y y 30 B H A C D E M d) Chứng minh : MA.MB ME.MC MAE MCB Xét MAC MEB có : AMC chung , MAC MEB 90 MA MC MA.MB ME.MC Do MAC ∽ MEB( g.g ) ME MB MA ME Do MA.MB ME.MC Xét MAE MCB có : AME CMB chung, MC MB Do MAE ∽ MCB(c.g c ) MAE MCB (hai góc tương ứng) e) Cho BDC 120 diện tích tam giác AME 40cm Tính diện tích tam giác BMC Xét BAD BEM có ABD EBM (góc chung), BAD BEM 90 AD BD AD EM d / n EM BM BD BM Do Vì BDC 120 ADB 60 (vì BDC ADB hai góc kề bù) AD EM ADB nửa tam giác BD Do BM Theo câu a BAD ∽ BEM ( g g ) MAE ∽ MCB S MEA EM S MCB BM hay S 1 MEA S BMC 4 S AME 4.40 160 cm S MCB Vậy S BMC 160cm f) Chứng minh BD.BE CD.CA BC Vẽ DH BC H Xét BHD BEC có : HBD EBC (góc chung), BHD BEC 90 BD BH BD.BE BH BC 1 BC BE Chứng minh tương tự: CHD ∽ CAB( g.g ) CH CD CD.CA CH BC CA CB BHD ∽ BEC ( g g ) Từ (1) (2) suy : BD.BE CD.CA BH BC CH BC BC BH CH BC.BC BC Câu (2,0 điểm) 3) Cho tam giác ABC vuông A có độ dài cạnh huyền a độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh A kẻ xuống cạnh đối diện BC h Tìm giá a h Q 30 1975 h a trị nhỏ biểu thức A B H M a AM BC 2 Gọi M trung điểm BC Ta có a AH AM h a 2h Có Khi a h a 2h a Q 30 1975 2 29 1975 h a h a 2h Q 2.2 29.2 1975 2037 Dấu xảy H M ABC vuông A Vậy Q 2037 ABC vuông A C 4) Cho n số nguyên dương lẻ Ta viết số 1; 2;3; ; 2n lên bảng Ta thực việc xóa hai số bảng, chẳng hạn a b thay vào số a b Việc thực đến bảng lại số Hỏi với cách làm số 2020 có bảng hay khơng ? giải thích a b a b a b 2b a b a b a b a b 2a b a Ta có Như lần giảm số tính chẵn lẻ khơng đổi 2n 2n n 2n 1 Lúc đầu bảng có tổng số lẻ Khi thực xóa đề tổng số bảng số lẻ Mà số 2022 số chẵn Vậy số 2022 khơng có mặt bảng,