PHỊNG GD & ĐT THANH CHƯƠNG ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề gồm trang) ĐỀ THI KĐCL MŨI NHỌN Môn thi: TỐN Thời gian: 90 phút (Khơng kể thời gian giao đề) Câu a Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x2 - 2xy + y2 + 4x - 4y - * b Chứng minh n N n n hợp số c Cho hai số phương liên tiếp Chứng minh tổng hai số cộng với tích chúng số phương lẻ Câu x x x x 2012 2012 a Giải phương trình: 2012 2011 2010 b Cho a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3 = Tính S = a2 + b 2012 + c 2013 Câu a Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = 2x2 + 3y2 + 4xy - 8x - 2y +18 b Cho a; b; c ba cạnh tam giác ab bc ac a b c Chứng minh: a b c a b c a b c Câu Cho hình vng ABCD có cạnh a Gọi E; F;G;H trung điểm cạnh AB, BC; CD; DA M giao điểm CE DF a Chứng minh: Tứ giác EFGH hình vng b Chứng minh DF CE MAD cân c Tính diện tích MDC theo a Hết./ Họ tên: Số báo danh: PHÒNG GD & ĐT THANH CHƯƠNG ĐÁP ÁN THI KĐCL MŨI NHỌN Môn thi: TỐN Thời gian: 90 phút (Khơng kể thời gian giao đề) Câu Ý Nội dung a điể = (x - y)2 +4(x - y) - = (x - y)2 + 4(x - y)2 + -9 = (x - y + 2)2 - 32 = ( x - y + 5)(x - y -1) Điể m 0.5 0,5 m Câu điểm b Ta có: n3 + n + = n3 + 1+ n+1= (n + 1)( n2 - n + 1) + (n + 1) điể =(n+1)( n2 - n + 2) m c Do n N nên n + > n2 - n + >1 Vậy n3 + n + hợp số Gọi hai số a2 (a+1)2 điể Theo ta có: a2 + (a + 1)2 + a2( a + 1)2 = a4 +2a3 + 3a2 + 2a + m = (a4 + 2a3 + a2) + 2(a2 + a) + = (a2 + a)2 + 2(a + 1) + * = ( a2 + a + 1)2 số phương lẻ a2 + a = a(a + 1) số a 1.5 điể m Câu 2 điểm b 0.5 điể m Câu a 1.5 điể điểm m b 0.5 điể m chẵn a2 + a + số lẻ Phương trình cho tương đương với: x x x x 2012 1 1 2012 2012 2012 2011 2010 x 2013 x 2013 x 2013 x 2013 0 2012 2011 2010 1 1 ( x 2013)( ) 0 x = 2013 2012 2011 2010 0.25 0,25 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 5 1;1 a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3 = a; b; c a3 + b3 + c3 - (a2 + b2 + c2) = a2(a - 1) + b2(b - 1) + c2(c - 1) 0 a3 + b3 + c3 a;b;c nhận hai giá trị b2012 = b2; c2013 = c2; S = a2 + b 2012 + c 2013 = Ta có: A = 2(x2 + 2xy + y2) + y2 -8x -2y + 18 A = 2[(x+y)2 - 4(x + y) +4] + ( y2 + 6y +9) + A = 2(x + y - 2)2 + (y+3)2 + Vậy minA = x = 5; y = -3 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 a; b; c ba cạnh tam giác nên: a + b - c > 0; - a + b + c > 0; a - b + c > Đặt x = - a + b + c >0; y = a - b + c >0; z = a + b - c >0 yz xz xy ;b ;c 2 ta có: x + y + z = a + b + c; ab bc ac ( y z )( x z ) ( x z )( x y ) ( x y )( y z ) a b c a b c a b c 4z 4x 4y a 0.25 xy yz xz 1 xy yz xz ( x y 3z ) 3( x y z ) (2 ) z x y 4 z x y 1 y x z x y z z x y 3( x y z ) ( ) ( ) ( ) 4 z x z y y x 3( x y z ) x y z x y z 0.25 Mà x + y + z = a + b + c nên suy điều phải chứng minh Câu Hìn 3.5 h vẽ điểm E A B 0.5 đ H M F N D C G Chứng minh: EFGH hình thoi 1.25 Chứng minh có góc vng điể Kết luận Tứ giác EFGH Hình vng 5 0.25 a m b BEC CFD (c.g.c) ECB FDC điể CDF DFC 900 DFC ECB 900 CMF vuông M Hay CE DF m mà CDF vuông C 0.25 0.25 0.25 Gọi N giao điểm AG DF Chứng minh tương tự: AG DF GN//CM mà G trung điểm DC nên N trung điểm DM 0.25 Trong MAD có AN vừa đường cao vừa trung tuyến MAD cân A c 0.75 điể m CMD FCD ( g g ) CD CM FD FC 0.25 SCMD CD CD SCMD SFCD S FD FD Do : FCD 1 SFCD CF CD CD 2 Mà : SCMD 0.25 CD CD 2 FD Vậy : Trong DCF theo Pitago ta có : 1 DF CD CF CD BC CD CD CD 4 2 0.25 SMCD CD 1 CD CD a 5 CD 4 Do : Lưu ý: Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa Học sinh khơng vẽ hình vẽ hình sai khơng chấm hình