Bài 7 9

Bài Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB điểm M nằm cung AB Trên cung AM lấy điểm N  N  A, N M  Đường thẳng AM cắt đường thẳng BN H Đường thẳng MN cắt đường thẳng AB I Gọi K hình chiếu H AB Chứng minh rằng: a) Tứ giác KHMB nội tiếp  b) MA tia phân giác NMK c) MN MI MB Lời giải M N H I A K O B  B 900  gt  ; AMB 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) a) Ta có: HK  Xét tứ giác KHMB có: HKB  AMB 900  900 1800   Hay HKB  HMB 1800   Mà HKB HMB hai góc đối tứ giác KHMB nội tiếp (đpcm)   b) Ta có: HMK HBK (do tứ giác KHMB nội tiếp)  Hay AMK NBA   Mà NMA (hai góc nội tiếp chắn cung AN )  NBA  MA  MA tia phân giác NMK  (đpcm)  AMK  N   c) Dễ thấy MA MB  MAB vuông cân M  MAB MBA 450   MAI 1800  450 1350 Tứ giác ABMN nội tiếp  ANM 1350  Từ ta có: ANM MAI   MNA ∽ MAI  g  g  Xét MNA MAI có: AMI chung ANM MAI  MN MA   MN MI MA2 MB (đpcm) MA MI Bài Tứ giác ABCD nội tiếp nửa đường tròn  O  đường kính AD , E giao điểm AC BD , kẻ EF  AD F ; M trung điểm DE Chứng minh rằng: a) Các tứ giác ABEF , DCEF nội tiếp  b) Tia CA phân giác BCF c) Tứ giác BCMF nội tiếp Lời giải B E C M A O F D a) Ta có: AFE 900  gt  ; ABE 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Xét tứ giác ABEF có: AFE  ABE 900  900 1800 Mà AFE ABE hai góc đối tứ giác ABEF nội tiếp (đpcm)   900  gt  ; DCE Ta có: DFE 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)  FE  D  CE 900  900 1800 Xét tứ giác DCEF có: D   Mà DFE DCE hai góc đối tứ giác DCEF nội tiếp (đpcm)   b) Ta có: ECF (do tứ giác DCEF nội tiếp) FDE Hay ACF ADB Mà ADB  ACB (hai góc nội tiếp chắn cung AB )  (đpcm)  ACF  ACB  CA tia phân giác BCF     c) Chứng minh tương tự ta có EF tia phân giác BFC  BFC 2CFE 2CDM     Ta có  2CDM hay 2CDM CME BMC   MC tứ giác BCMF nội tiếp (đpcm)  BFC B Bài Cho đường tròn  O; R  hai đường kính AB CD vng góc với Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M  M O  , đường thẳng CM cắt đường tròn  O  điểm thứ hai N Đường thẳng vuông góc với AB M cắt tiếp tuyến N với đường tròn  O  điểm P a) Chứng minh tứ giác OMNP nội tiếp đường trịn b) Tứ giác CMPO hình gì? c) Chứng minh tích CM CN khơng đổi d) Chứng minh M di động đoạn thẳng AB P chạy đường thẳng cố định Lời giải C M A O B N P D   a) Ta có: ONP 900 ( NP tiếp tuyến  O  ); OMP 900 (gt)    ONP OMP 900 Xét tứ giác ABEF có hai đỉnh M ; N nhìn đoạn OP góc vng Do tứ giác OMNP nội tiếp đường trịn (đpcm)   b) Dễ thấy OC // MP  MPO DOP   Mà MPO (do tứ giác OMNP nội tiếp c/m câu a) MNO   Lại có MCO (vì OC ON R ) MNO    CM // PO Từ điều ta có MCO DOP OC // MP  Tứ giác CMPO hình bình hành CM // PO  D 900  CDN có C OM CN ; DCN Xét tứ giác CMPO có  c) Xét CMO  CMO ∽ CDN  g  g  chung CM CO   CM CN CD.CO 2 R không đổi CD CN d) Ta có MP  AB Lại có tứ giác CMPO hình bình hành (c/m câu b)  MP CO R không đổi  P cách AB khoảng R không đổi  P thuộc đường thẳng song song với AB cách AB khoảng R không đổi Vậy M di động đoạn thẳng AB P chạy đường thẳng cố định Ta suy kết PD tiếp tiếp D  O 