Bài Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB điểm M nằm cung AB Trên cung AM lấy điểm N N A, N M Đường thẳng AM cắt đường thẳng BN H Đường thẳng MN cắt đường thẳng AB I Gọi K hình chiếu H AB Chứng minh rằng: a) Tứ giác KHMB nội tiếp b) MA tia phân giác NMK c) MN MI MB Lời giải M N H I a) Ta có: B 900 HK A K O B gt ; AMB 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) HKB AMB 900 900 1800 Xét tứ giác KHMB có: Hay HKB HMB 180 Mà HKB HMB hai góc đối tứ giác KHMB nội tiếp (đpcm) b) Ta có: HMK HBK (do tứ giác KHMB nội tiếp) Hay AMK NBA Mà NMA NBA (hai góc nội tiếp chắn cung AN ) MA MA AMK N tia phân giác NMK (đpcm) c) Dễ thấy MA MB MAB vuông cân M MAB MBA 45 MAI 1800 450 1350 Tứ giác ABMN nội tiếp ANM 135 Từ ta có: ANM MAI MNA ∽ MAI Xét MNA MAI có: AMI chung ANM MAI MN MA MN MI MA2 MB MA MI (đpcm) g g O đường kính AD , E giao điểm Bài Tứ giác ABCD nội tiếp nửa đường tròn AC BD , kẻ EF AD F ; M trung điểm DE Chứng minh rằng: a) Các tứ giác ABEF , DCEF nội tiếp b) Tia CA phân giác BCF c) Tứ giác BCMF nội tiếp Lời giải B E C M A AFE 900 O D F gt ; ABE 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) 0 Xét tứ giác ABEF có: AFE ABE 90 90 180 Mà AFE ABE hai góc đối tứ giác ABEF nội tiếp (đpcm) a) Ta có: Ta có: DFE 900 gt ; DCE 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) FE D CE 900 900 1800 D Xét tứ giác DCEF có: Mà DFE DCE hai góc đối tứ giác DCEF nội tiếp (đpcm) b) Ta có: ECF FDE (do tứ giác DCEF nội tiếp) Hay ACF ADB Mà ADB ACB (hai góc nội tiếp chắn cung AB ) ACF ACB CA tia phân giác BCF (đpcm) c) Chứng minh tương tự ta có EF tia phân giác BFC BFC 2CFE 2CDM Ta có 2CDM CME hay 2CDM BMC MC BFC B tứ giác BCMF nội tiếp (đpcm) Bài Cho đường tròn O; R thẳng AB lấy điểm M M O , đường thẳng CM hai đường kính AB CD vng góc với Trên đoạn cắt đường trịn O điểm thứ hai N O điểm P Đường thẳng vng góc với AB M cắt tiếp tuyến N với đường tròn a) Chứng minh tứ giác OMNP nội tiếp đường trịn b) Tứ giác CMPO hình gì? c) Chứng minh tích CM CN khơng đổi d) Chứng minh M di động đoạn thẳng AB P chạy đường thẳng cố định Lời giải C M A O N P D B O ); OMP 900 (gt) a) Ta có: ONP 90 ( NP tiếp tuyến ONP OMP 900 Xét tứ giác ABEF có hai đỉnh M ; N nhìn đoạn OP góc vng Do tứ giác OMNP nội tiếp đường tròn (đpcm) b) Dễ thấy OC // MP MPO DOP Mà MPO MNO (do tứ giác OMNP nội tiếp c/m câu a) Lại có MCO MNO (vì OC ON R ) Từ điều ta có MCO DOP CM // PO OC // MP Xét tứ giác CMPO có CM // PO Tứ giác CMPO hình bình hành CMO ∽ CDN c) Xét CMO CDN có COM CND 90 ; DCN chung CM CO CM CN CD.CO 2R CD CN khơng đổi d) Ta có MP AB Lại có tứ giác CMPO hình bình hành (c/m câu b) MP CO R khơng đổi P cách AB khoảng R không đổi P thuộc đường thẳng song song với AB cách AB khoảng R không đổi Vậy M di động đoạn thẳng AB P chạy đường thẳng cố định O Ta suy kết PD tiếp tiếp D g g