SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐĂK LĂK KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP NĂM HỌC 2018-2019 ĐỂ CHÍNH THỨC Câu a) Rút gọn biểu thức A 32 33 12 37 30 x x x 12 x y y x x 2 y b) Giải hệ phương trình: Câu a) Cho phương trình x x 2 x m ( m tham số) Tìm tất giá trị m để phương trình có nghiệm phân biệt b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng d có hệ số góc k di qua điểm M 0;3 cắt Parabol P : y x hai điểm A, B Gọi C , D hình chiếu vng góc A, B trục Ox Viết phương trình đường thẳng d , biết hình thang ABCD có diện tích 20 Câu 2 a) Giải phương trình nghiệm nguyên: x y xy x y 20 b) Tìm tất số tự nhiên có chữ số, biết số lập phương tổng chữ số Câu Cho điểm A nằm ngồi đường trịn O Vẽ hai tiếp tuyến AB, AC ( B, C tiếp điểm) cát tuyến ADE (O) cho ADE nằm hai tia AO AB ( D, E thuộc O ) Đường thẳng qua D song song với BE cắt BC , AB P, Q a) Gọi H giao điểm BC với OA Chứng minh tứ giác OEDH nội tiếp b) Gọi K điểm đối xứng B qua E Chứng minh A, P, K thẳng hàng Câu Cho hình vng ABCD Trên cạnh CB, CD lấy điểm M , N (M khác B C, N khác C D) cho MAN 45 Chứng minh đường chéo BD chia tam giác AMN thành hai phần có diện tích Câu Cho a, b, c thỏa mãn a b c 3 Chứng minh rằng: a 1 b 1 c 1 3 b2 c2 a ĐÁP ÁN Câu a) Ta có: A 32 33 12 1 3 33 12 1 3 3 32 33 12 21 12 3 3 b) ĐKXĐ: x, y 0 Ta có: x x x 12 x y y y x y x Thế vào phương trình (2) ta được: x x 2 x x1 x 1 y 1(ktm) x 0 x 9 y 1 y 1 Hệ có nghiệm x; y 9;1 Câu 2 x x m 0 Đặt x t 0 a) Ta có phương trình Ta có phương trình t 2t m 0 * Để phương trình ban đầu có nghiệm phân biệt phương trình (*) phải có nghiệm dương phân biệt Khi đó, ' m 1 m 2 m m b) Gọi phương trình đường thẳng d : y ax Hoành độ giao điểm d P nghiệm phương trình: x ax 0, do1.( 3) nên phương trình x ax 0 ln có hai nghiệm phân biệt hay (d) cắt P hai điểm phân biệt A B có hồnh độ x A , xB x A xB a A x A ; x A2 , B xB ; xB2 ; C x A ;0 ; D xB ;0 x A xB Theo Viet Khi tọa độ S ABCD 2 AC BD CD x A xB x A xB 2 x A xB x A xB Ta có: Đặt a 12 t ta có: x A xB 2 20 x A xB 40 a a 12 40 t 6t 40 0 t t 4t 10 0 t 4 a 12 4 a 2 Phương trình đường thẳng d : y x 3; d ' y 2 x Câu 2 pt x x y 25 a) Ta có 2 x x y 25 02 52 32 Ta xét trường hợp sau: x 0 th1: x; y 1; ; 1;4 x y x 5 th : x; y 6;4 ; 4; x y x 3 th3: x; y 2; ; 2;0 ; 4;6 ; 4; x y 4 x 4 th : x; y 3; ; 3 ;2 ; 5; ; 5;0 x y abcd a b c d b) Gọi số tự nhiên cần tìm theo 1000 abcd 9999 Đặt a b c d n 1000 n 9999 10 n 21 abcd 999a 99c 9c n n n n 9 n 1 n n 1 9, Mặt khác đó, số n 1, n, n phải có số chia hết cho 9, kết hợp với 10 n 21 n 10;17;18;19 n 10 a b c d 10 abcd 1000(ktm) n 17 a b c d 17 abcd 4913(tm) n 18 a b c d 18 abcd 5832(tm) n 19 a b c d 19 abcd 6859(ktm) Vậy số cần tìm 4913;5832 Câu B E K P O I H D Q A C a) Áp dụng phương tích đường trịn ta có AB AD AE Áp dụng hệ thức lượng tam giác ABO vuông B, AH đường cao có AB AH AO AH AD AH AO AD AE AHD AEO AE AO AHD AEO nên tứ giác OEDH nội tiếp b) Gọi I giao điểm AE BC Ta có AHD DEO ODE OHE BHD BHE Suy HI phân giác DHE mà HI AH nên HA đường phân giác DHE HD DE ID HE AE IE mà PQ / / BK nên A, P, K thẳng hàng Do đó, Câu B A HQ M P D N C Đường chéo BD cắt AN , AM P Q Ta có PAM PBM 45 nên tứ giác ABMP nội tiếp suy PMA PBA PAM 45 APM vuông cân Tương tự: NDQ NAQ 45 nên tứ giác ADNQ nội tiếp QNA QDA QAN 450 AQN vuông cân Kẻ PH AM H HA HM PH hay AM 2 PN S APQ PH AQ PH NQ 1 S AMN S APQ Ta có: S AMN NQ AM NQ.2 PH Câu Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có: a 1 b a 1 b a 1 ab b a a a b2 b2 2b Tương tự ta có: b 1 bc c c ca a b ; c c2 a2 1 Cộng vế theo vế ta được: a 1 b 1 c 1 ab bc ca a b c ab ac bc a b c 6 b 1 c 1 a 1 2 Mặt khác, ta có BĐT a b c 3 ab bc ca ab bc ca 3 a 1 b 1 c 1 3 Do b c a Dấu " " xảy a b c 1