SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIA LAI ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MƠN: TỐN LỚP NĂM HỌC : 2018-2019 Câu Từ chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 Có thể lập số tự nhiên có chữ số đơi khác lớn 2019 Câu a) Chứng minh với số nguyên n, số A 3n 15n chia hết cho 18 b) Một đoàn học sinh tham quan quảng trường Đại đoàn kết tỉnh Gia Lai Nếu tơ chở 12 người thừa người Nếu bớt tơ số học sinh đồn chia cho tơ cịn lại Hỏi có học sinh tham quan có tơ? Biết tô chở không 16 người Câu 1) Một nến hình lăng trụ đứng đáy lục giác có chiều cao độ dài cạnh đáy 20 cm cm Người ta xếp nến vào hộp có dạng hình hộp chữ nhật cho nến nằm khít hộp Tính thể tích hộp 2) Cho đường trịn O; R điểm I cố đinhk nằm bên đường tròn (I khác O) Qua điểm I dựng hai cung AB CD Gọi M , N , P, Q trung điểm IA, IB, IC , ID a) Chứng minh bốn điểm M , N , P, Q thuộc đường tròn b) Giả sử dây cung AB CD thay đổi vng góc với I Xác định vị trí dây cung AB CD cho tứ giác MNPQ có diện tích lớn Câu x y y x 1 5 5 x x y 10 x3 y y a) Giải hệ phương trình 2 b) Cho x, y, z 0 thỏa mãn x y z xyz 1 Tìm GTLN P xy yz zx xyz Câu Trong kỳ thi chọn học sinh giỏi THCS cấp tỉnh, đồn học sinh huyện A có 17 học sinh dự thi Mỗi thí sinh có số báo danh số tự nhiên khoảng từ đến 907 Chứng minh chọn học sinh đồn có tổng số báo danh chia hết cho ĐÁP ÁN Câu Gọi số cần lập có dạng abcd 2019 Trường hợp 1: a Có cách chọn a, a 3,4,5,6,7,8,9 Có cách chọn b (trừ chữ số a chọn) Có cách chọn c (trừ chữ số chọn a, b) Có cách chọn d (trừ chữ số chọn a, b, c) Trường hợp có 7.9.8.7 3528 (số) Trường hợp 2: a 2, b Có cách chọn b Có cách chọn c Có cách chọn d Trường hợp có 8.8.7 448 (số) Trường hợp a 2, b 0, c Có cách chọn c, có cách chọn d Trường hợp có 7.7 49 (số) Như vậy, số số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu toán là: 3258 448 49 4025 (số) Câu 1) Ta có: A 3n3 15n 3 n3 n 6n 3 n 1 n n 1 6n Với số nguyên n, n 1 n n 1 6n chia hết cho A 3 n 1 n n 1 6n Vậy chia hết cho 18 2) Gọi số ô tô lúc đầu x với x ; x 2 Sô học sinh tham quan 12 x Theo giả thiết số xe x số học sinh đoàn chia cho tất xe Khi đó,mỗi xe chở y học sinh với y ,0 y 16 12 x 13 12 x 1 y 12 x y x x Ta có: Vì x, y x 1U (13) 1;13 x 1 x 2 y 25(ktm) x 13 x 14 y 13(tm) Vậy đồn tham quan có 14 ô tô 169 học sinh Câu 1) M A B N F Q E C D P Đáy hộp hình chữ nhật có kích thước là: MQ BE 2.1 2 cm QP FD 2.1 3(cm) Chiều cao hộp chiều cao nến Thể tích khối hộp V 2.3.20 120 cm3 2) C P B I A M Q N O D a) Ta có: MQ đường trung bình AID MQ / / AD DAB QMN Tương tự: BCD NPQ Có DAB BCD (hai góc nội tiếp chắn cung) QMN NPQ Suy tứ giác MPNQ nội tiếp Vậy bốn điểm M , P, N , Q thuộc đường tròn 1 S MNPQ MN PQ AB.CD AB CD 16 b) Vì AB CD nên Kẻ OH AB H, OK CD K, ta có: AB CD 4 AH CK 4 R OH R OK 4 R KH 4 R OI R OI Suy (không đổi) R OI S MPNQ Vậy đạt giá trị lớn đạt AB CD OH OK OKIH hình vng nên AB CD lập với OI góc S MPNQ 45 Câu x y 2 y x a) Điều kiện : Từ phương trình (2) ta có: x 10 x y x xy 0 \ x3 x y x x y 0 x x y x 1 0 x 0 x 2 y Với x 0 , thay vào (1) ta có:1 y y 5 y 4 y y 4 y y 4 y y 0 y 0 Với x 2 y Thay vào phương trình (1) ta được: x x x x 1 5 Đặt t x 1 x x 1 x x x t2 x 1 x 5 * Thay vào phương trình (*) ta có: t t2 5 t 2t 15 0 t 3 Khi t t 3 x 0 x x 2 x 3x 0 x 3 Vậy hệ có nghiệm x; y 0;0 ; 3; b) Nếu chia trục số thành hai phần số 0, số x 1 ; y 1 ; z 1 tồn hai số nằm phía, khơng tính tổng qt, giả sử: x 1 y 1 0 x y xy 1 z x y xyz z 2 2 Từ x y z xyz 1 suy 1 z z 2 xyz x y 2 xy xyz 2 xy z 1 xy 1 x z P xy yz zx xyz 2 Vì 1 MaxP x y z 2 Vậy Câu Xét số tự nhiên khác đôi Lấy số chia cho 3, theo ngun lý Dirichle có số có số dư Xét khả sau: - Nếu có số dư giống Khi phải có số chia cho có số dư 0,1,2 nên tổng chúng chia hết cho - Nếu có số dư giống Khi tổng chúng ln chia hết cho Ta chia 17 số có khoảng từ đến 907 thành nhóm: Nhóm I gồm số, nhóm II gồm số nhóm III gồm số Mỗi nhóm ln tồn số có tổng chia hết cho Giả sử tổng số nhóm 3a,3b,3c a, b, c * Còn lại 17 8 số, số lại chọn số có tổng chia hết cho 3, đặt tổng số 3d d * Còn lại 5 số, số lại chọn số có tổng chia hết cho đặt tổng số 3e e * Cuối số a, b, c, d , e tồn số có tổng chia hết cho 3, giả sử số x, y, z x, y, z * suy 3 x y z 9 Do ln chọn học sinh thi tốn có tổng số báo danh mang chia hết cho