PHỊNG GD&ĐT THANH CHƯƠNG ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN TỐN NĂM HỌC 2014 – 2015 Thời gian làm bài: 120 phút Thi ngày 20 tháng năm 2014 Bài 1: a, Cho A 2014 2013; B= 2015 2014 So sánh A B 3 b, Tính giá trị biểu thức: B 13 13 Bài 2: a, Giải phương trình : √ x−1+ √ x + x +x+1=1+ √ x −1 b, Giải phương trình nghiệm nguyên : y2 = - 2(x6- x3y - 32) Bài 3: 2 a, Giả sử x, y số không âm thỏa mãn điều kiện x + y =1 Tìm giá trị nhỏ nhất,giá trị lớn x y b, Cho a,b,c ba số dương Chứng minh : 1 1 1 + + ≥3 + + a b c a+2 b b+2 c c +2 a ( ) Bài 4: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH.Gọi D, E lân lượt hình chiếu H AB, AC Chứng minh: a \f(AB,AC = \f(DB,EC b.DE = DB.CE.BC c = + Bài 5: Chứng minh rằng: A =5 ( +1) - ( + ) chia hết cho 91 với số tự nhiên n -Hết- ĐÁP ÁN ĐỀ THI KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN TOÁN LẦN – 2014 BÀI Ý NỘI DUNG ĐIỂM a A B 2014 2015 Mà Nên b a b 2013 2014 2013 2014 2013 2014 2015 2014 2015 2014 2014 2013 2015 2014 2014 2013 2015 2014 1 2014 2013 2015 2014 hay A > B B3 = + 2√ 13+5−2 √ 13+3 √3 5+2 √13 √3 5−2 √ 13 B B3 +9B – 10 = (B- 1)(B2 + B + 10 ) = B=1 ĐK: x≥ 3 Đặt √ x−1 = a; √ x + x + x +1 = b; ( a; b ≥ ¿ Ta có : a + b = + ab (a – 1) (b – 1) = a = b = TH1: a = ⇒ x=2 ( TM ) TH2 : b = 1⇒ x=0( KTM ) 2 y = -2(x6 – x3y – 32) ⇔ x + ( y −x3 ) =64 ⇒ x ≤64 mà x nguyên⇒ x ∈ {−2;−1 ; 0; ; } Xét trường hợp , Ta nghiệm nguyên phương trình ( ; ) ; ( ;−8 ) ; ( 2; ) ; (−2 ;−8) Áp dụng bất đẳng thức Bnhiakops xki (x + y)2≤ 2(x2 + y2) =2 ( x2 + y2 = 1) ⇒ A=x+ y ≤ √ x= y √2 A = √ ⇔ 2 ⇔ x= y = {x + y =1 1 0.5 ⇒ MaxA= √ ⇔ x= y= √ a (x + y) – (x2 + y2) = x(1 – x)+ y(1-y) Vì x; y≥ ; x2 + y 2=1 ⇒0 ≤ x ; y ≤1 ⇒ x ( 1−x ) ≥ ; y ( 1− y ) ≥0 ⇒ ( x + y )−( x2 + y ) ≥ 0⇒ A=x + y ≥1 x ( 1−x )=0 x =0 x =1 ⇔ A = y ( 1− y )=0 ⇔ y=1 y=0 x 2+ y 2=1 x =0 x =1 Vậy Min A = ⇔ y=1 y=0 { { { { { 0.5 b Với x, y, z ¿ o , Áp dụng bất đẳng thức Cơsi tacó : x + y + z ≥ √3 xyz 1 + + ≥3 x y z √ xyz 1 ⇒ ( x + y + z )( + + ¿ ≥ x y z 1 ⇒ + + ≥ x y z x+ y+z Áp dụng bất đẳng thức ta có: 1 + + ≥ a b b a+2 b 1 + + ≥ a a c a+ c 1 + + ≥ b c c b+2 c Suy ra: 1 1 1 + + ≥ 3( + + ) a b c a+2 b b+2 c c +2 a A E D B a b c H C BD AB HE = = ( Ta lét) DH AC HC ∆ ADH ∆ CAB ( ¿ ) AB DH ⇒ = AC AD AB DH ⇒ = AC HE AB DH BD HE ⇒ = = = ⇒đpcm AC HE DH EC BH CH BC AB AC ( BH CH )2 AH ¿ BC= =AH 3=DE AB AC AH √3 BC 2=√3 BD + √3 CE2 3 BC 2=BD 2+ CE2 +3 √ BD CE ( √ BD 2+ √ CE ) = BD 2+CE +3 √3 BD CE2 BC = BD 2+CE +3 AH = BH −DH +CH 2−HE 2+ BH CH + AH = BH +CH +2 BH CH =BC BD CE CB= 1 A = (25n – 18n) – (12n – 5n) Do: (25n – 18n)(25 – 18)= ; (12n – 5n) (12 – 5) = nên A 7 Mặt khác: A = (25n – 12n) – (18n – 5n) Do: (25n – 12n)(25 – 12)= 13 ; (18n – 5n) (18 – 5) = 13 nên A 13 Tóm lại: A vừa chia hết cho 7, vừa chia hết cho 13, mà (7 ; 13) = Nên A 7.13 hay A 91