PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN NGHĨA HÀNH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 150 phút Đề gồm 01 trang Bài 1: (6,0 điểm) a) Với n số nguyên dương Hãy tìm ƯCLN(21n+4 , 14n+3) b) Cho a, b, c số nguyên cho 2a + b; 2b + c; 2c + a số phương, biết ba số phương nói có số chia hết cho Chứng minh rằng: (a - b)(b - c)(c - a) chia hết cho 27 c) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x2 + y2 = xy + x + y Bài 2: (3,0 điểm) 20132 2013 2013 2014 2014 a)Tính giá trị biểu thức P= b) Giải phương trình: x x x 16 x 66 Bài 3: (4,0 điểm) a) Cho x > 0, y > x + y Chứng minh bất đẳng thức 1 4 x xy y xy A 2x x x , với x b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức Bài 4: (5,0 điểm) Cho tam giác ABC có độ dài cạnh a Gọi M điểm nằm miềm tam giác MI MP, MQ theo thứ tự khoảng cách từ M đến cạnh BC, AB, AC Gọi O trung điểm cạnh BC Các điểm D E thứ tự chuyển động cạnh AB AC cho DOE 60 a) Chứng minh MI + MP + MQ không đổi b) Chứng minh đường thẳng DE tiếp xúc với đường tròn cố định c) Xác định vị trí điểm D E để diện tích tam giác DOE đạt giá trị nhỏ tính giá trị nhỏ theo a Bài 5: (2,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Biết AB = CH 51 cosB Chứng minh rằng: ………………… Hết………………… (Giám thị coi thi khơng giải thích thêm) Họ tên thí sinh:……………………………………… Số báo sanh:…………………… Giám thị 1:………………………………… Giám thị 2: ……………………………… HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9NG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9N CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9M THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9C SINH GIỎI LỚP 9I LỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9P Bài Câu Bài 1: a) (6,0đ) (2,0đ) Đáp án Đặt d = ƯCLN(21n+4 , 14n+3) , với n N*) Ta có : (21n + 4) d (14n + 3) d 2(21n + 4) d 3(14n + 3) d [3(14n + 3) - 2(21n + 4)] d (42n + - 42n - 9) d d d = Điểm b) (2,0đ) Vì 2a + b; 2b + c; 2c + a số phương nên ta đặt 2a + b = m2; 2b + c = n2; 2c + a = p2 với m, n, p số tự nhiên Vì số m2; n2; p2 có số chia hết khơng tính tổng qt giả sử m2 chia hết cho (1) Ta lại có m2 + n2 + p2 = 3a + 3b + 3c chia hết cho (2) Từ (1) (2) suy n2 + p2 chia hết cho Dễ thấy n p chia hết cho Do 2a + b; 2b + c; 2c + a chia hết cho Từ suy a, b, c chia hết cho Vậy (a - b)(b - c)(c - a) chia hết cho 27 0,5 c) (2,0đ) x2 + y2 = xy + x + y (x - y)2 + (x - 1)2 + (y - 1)2 = Vì x, y Z nên : x+y 0 0 1 1 -1 -1 -1 x-1 -1 -1 0 -1 0 y-1 1 -1 -1 -1 0 -1 (x;y ) 0,5đ Bài 2: a) (3,0đ) (1,0đ) 1 a P= a2 a 1 -1 -1 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ a a 1 a a a 1 2a a 1 a 1 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ a a a a 1 2.(a 1) a 1 a 1 a 1 0,25đ a a a 1 a a 1 0,25đ a a a a a Vậy P = 2014 a 1 b) (2.0đ) 0,25đ Điều kiện x 9 x2 - 16x + 66 = (x-8)2 + 2 (1) 0,5đ 0,5đ 0,5đ ( x 7) (9 x) x x 2 2 (2) (1) (2) x x x 16 x 66 = x 0 1 x x 8 1 9 x Khi (thoả mãn điều kiện) x = nghiệm phương trình a) (2đ) 0,5đ 1 Áp dụng bất đẳng thức a b a b , với a > 0; b > Ta có : 1 x xy y xy x xy y xy 4 x y 1,0đ = x y 1 1 4 x y x y (vì ) 2 x xy y xy x y x y 1 Bài 3: (4,0đ) Đẳng thức xảy b) (2đ) A 0,5đ 0,5đ 0,5đ x x x x x 1 x x x Ta có : Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si cho số dương ta được: x 1 x 1 4 2 x x x 1 x 1 x Đẳng thức xảy (thỏa mãn điều kiện x ) A Bài a) (5,0đ) (1,0đ) 0,5đ 0,5đ 0,5đ 5 x 1 Vậy Tính SABC = SMBC + SMAC + SMAB 0,5đ A 1 1 a.MI + a.MP + a.MQ = ah P MI + MP + MQ = h (không đổi) B 0,5đ Q M I C b) (2,0đ) Vì DOE 60 nên BOD COE 120 (1) Tam giác BOD có B 60 nên BOD BDO 120 (2) Từ (1) (2) suy BDO COE Do BOD ഗ CEO (g-g) 0,5đ BD OD BD OD Suy OC EO OB EO (vì OB = OC) Do DBO ഗ DOE (c-g-c) BDO ODE A E c) (2,0đ) 0,5đ K D H Vẽ OH AB; OK DE 60° OHD OKD (ch-gn) B O OH = OK Mà OH không đổi nên DE tiếp xúc với đường tròn (O;OH) cố định C 0,5đ c) Vẽ OI AC, dễ thấy DH = DK = x; EK = EI = y (T/c hai tiếp tuyến cắt nhau) Do DE = x + y; BD = x a a y ; CE OB DB EC OC 0,5đ 0,5đ a (Dễ thấy BH = CI = ) Vì BOD ഗ CEO (g-g) DB.EC OB.OC Bài 5: (2,0đ) (2,0đ) 0,5đ a2 0,5đ A B C H Vì tam giác ABC vng A có đường cao AH Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng ta có: AB BH BC BC CH BC BC AB BC BC AB.BC AB = CH) Chia hai vế cho BC2 ta được: 0,5đ (vì 0,5đ 0,5đ AB AB AB AB 1 BC BC BC BC AB AB BC 2 BC AB 51 BC 0,5đ AB cosB BC Tam giác ABC vuông A nên ta có (đpcm) 0,5đ