PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THANH MIỆN TRƯỜNG THCS CHI LĂNG BẮC T-02-HSG9-CLB-PGDTM KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MƠN TỐN LỚP Thời gian làm 150 phút (Đề thi gồm câu, trang) Câu 1:( điểm) a) Chứng minh x 3 125 27 3 9 125 số nguyên 27 3 x y z 3xy z z b) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: Câu 2:( điểm) a) Chứng minh a, b, c số thỏa mãn: a + b + c = 2014 1 1 a b c 2014 số phải 2014 b) Cho số dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = Chứng minh rằng: x yz y zx z xy 1 xy yz zx Câu 3: ( điểm) a) Gpt: 5 6 x 52 6 x 10 b) Cho a, b, x, y số thực thỏa mãn x2 + y2 = x4 y a b a b x10 y10 chứng minh rằng: a b5 a b Câu 4: ( điểm) Cho đường trịn tâm O đường kính BC điểm A thuộc đường trịn Kẻ AH vng góc với BC Gọi M, N theo thứ tự điểm cung AB AC Kẻ phân giác góc AHB AHC, đường phân giác theo thứ tự cắt BN E CM F Gọi giao điểm BN CM K Chứng minh rằng: a) AK vng góc EF b) Tứ giác BEFC nội tiếp đường tròn Câu 5: ( điểm) x 2014 y 2014 1 Tìm x; y biết: 2013 2013 y 2014 y x 2014 x ( x y xy 2014) PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THANH MIỆN TRƯỜNG THCS CHI LĂNG BẮC T-02-HSG9-CLB-PGDTM Câu HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN (Hướng dẫn chấm gồm 03 trang) Đáp án a) Ta có x 3 125 3 27 9 Biểu điểm 125 27 125 125 3 9 +3 27 27 125 125 3 9 3 9 x = - 5x 27 27 0.5 x3 = 0.25 0,25 x3 + 5x - = Giải PT ta x = Vậy x số nguyên x y3 z b) 3xy z z x y3 z 3 x y xy z 1 2 0.25 (2) (x + y)3 - z3 + 3xyz - 3xy(x + y) = x y z x y z xy yz zx 2 x y z x y y z z x 0 x + y - z = x + y = z thay vào PT (1) ta x3 + y3 =(x + y)2 x2 - xy + y2 = x + y (vì x + y > 0) y2 - (x + 1)y + x2 - x = (3) Để HPT có nghiệm nguyên PT (3) có nghiệm = (x + 1)2 - 4(x2 - x) ≥ - 3x2 + 6x + ≥ - 3( x - 1)2 ≤ Vì x nguyên dương nên x = x = Với x = y = y = Vì y > y = z = Với x = y2 - 3y + = y = y = Nếu y = z = Nếu y = z = Vậy HPT có nghiệm : (1; 2; 3); (2; 1; 3); (2; 2; 4) 1 1 a b c a b c 1 1 0 a b c a b c a b a b 0 a b c a b c ab 0 ab c(a b c) a b ca cb c ab 0 0.25 0.25 0.25 a) Từ giả thiết a b c(a c) b(a c) 0 0,25 0.25 0.25 a b 0 (a + b)(b + c)(c + a) = b c 0 c a 0 Nếu a + b = c = 2014 Nếu b + c = a = 2014 Nếu c + a = c = 2014 b Chứng minh BĐT 0,25 0,25 (1) x yz x yz (1) x + yz ≥ x2 + 2x yz + yz ≥ x + yz x + y + z ≥ x + yz y + z ≥ yz y z 0 Vậy BĐT (1) chứng minh Tương tự: y zx y zx ; z xy z xy x yz y zx z xy x y z xy yz zx x yz y zx z xy 1 xy yz zx 25 0,25 x yz x yz 0,25 0, a) Ta thấy 1 5 6 Đặt x t ( t > 0) PT t 10 t2 - 10t + = t t 5 0.25 t 5 - Nếu t = - Nếu t = 5 6 2 x 5 6 5 6 x = 5 6 = 52 = 5 6 = 0.25 1 x x = -2 0.25 b) Ta có (x2 + y2)2 = 4 x y a b x2 y2 0.25 b(a + b)x4 + a(a + b)y4 = ab(x4 + 2x2y2 + a b y) b2x4 + a2y4 - 2abx2y2 = (bx2 - ay2)2 = bx2 - ay2 = x10 y10 x2 y x2 y b Aa a b N a b a b a b M I K E B P H L F O C 0.5 a) Từ giả thiết suy BN CM tia phân giác của góc ABH góc ACH VÌ HE HF phân giác góc AHB góc AHC nên E, F tâm đường tròn nội tiếp tam giác AHB AHC suy AE, AF phân giác góc BAH góc CAH EAF 450 Gọi L giao BL AF ABE BAE AEL 450 AEL vuông cân L AEL 900 EL AF Tương tự: CF AE K trực tâm tam giác AEF AK EF b) Ta có tứ giác EILF nội tiếp L EF L IF Vì BL CI phân giác góc ABH góc ACH AI AL tương ứng vng góc với CI BL I L trung điểm AP AO IAH IL // OP hay BC IL AH LIF EF FCB Mà IAH L EF ICH BEFC nội tiếp hay L ICH Điều kiện: x, y 0 Nhìn nhận phương trình (2) ta thấy: - Nếu x > y thì: VT > 0, VP < suy ra: VT > VP PT (2) vô nghiệm - Nếu y > x thì: VT < 0, VP > suy ra: VT < VP. PT (2) vô nghiệm - Nếu x = y đó: VT = VP = 0.25 0.5 0.25 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 Kết hợp với (1) (Chú ý:x, y 0 ) ta được: x y 2014 0.25 0.25 0.25