PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN CHI LĂNG ĐỀ CHÍNH THỨC P Câu (4,0 điểm) Cho biểu thức KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2021-2022 Mơn thi: Tốn – Lớp Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi : 15/01/2022 6 x x 2 x x x x x a) Tìm điều kiện x để P có nghĩa Rút gọn P b) Tìm giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên Câu (4,0 điểm) Cho phương trình x m 3 x m 0 1 với m tham số a) Chứng minh phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với m b) Gọi x1; x2 hai nghiệm phương trình (1) Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A x1 x2 Câu (4,0 điểm) x y y 4 2 x y xy 4 a) Giải hệ phương trình 2 b) Tìm nghiệm nguyên phương trình : x y xy x 10 y 0 Câu (6,0 điểm) Cho đường tròn O; R điểm A nằm ngồi đường trịn cho OA R Từ A vẽ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn ( B, C tiếp điểm) Lấy D thuộc AB; E thuộc AC cho chu vi tam giác ADE 2R a) Chứng minh tứ giác ABOC hình vng b) Chứng minh DE tiếp tuyến đường tròn O; R c) Tìm giá trị lớn diện tích ADE Câu (2,0 điểm) a b a 3a b b 3b a a) Chứng minh với a, b số dương b) Trên mặt phẳng cho 99 điểm phân biệt cho từ điểm số chúng tìm điểm có khoảng cách nhỏ Chứng minh tồn hình trịn có bán kính chứa khơng 50 điểm ĐÁP ÁN 6 x x 2 P x x x x Câu (4,0 điểm) Cho biểu thức x1 c) Tìm điều kiện x để P có nghĩa Rút gọn P Điều kiện x 0; x 1 6 x x 2 P x x x 1 x x 6 x 26 x x1 x 2 x 4 x 4 x1 x1 x x x x x 12 x 4 x 4 x 4 x 3 x 4 x 3 d) Tìm giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên 5 x U (5) 5 x 3 x 4(tmdk ) P x 3 Câu (4,0 điểm) Cho phương trình x m 3 x m 0 1 với m tham số c) Chứng minh phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với m 2 m 3 4.2m m 2m m 1 m Vậy phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với m d) Gọi x1; x2 hai nghiệm phương trình (1) Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A x1 x2 m 3 x1 x2 x x m 2 Áp dụng hệ thức Viet: A x2 x1 x2 x1 m 2m x1 x2 m 1 x1 x2 m 3 8m m 1 Vậy Min A m 1 Câu (4,0 điểm) x y y 4 c) Giải hệ phương trình 2 x y xy 4 2 x y y 4 x y y 4 x y y x y y x 2 x y xy 2 x xy x y 4 x x y y x xy xy x y 1 x y y y y 4 y y 0 x y 2 2 d) Tìm nghiệm nguyên phương trình : x y xy x 10 y 0 Biến đổi phương trình x x y 1 y 1 y y 0 2 x y 1 y 0 y x 1 y x 7 Do y x 1& y x ước Vậy x; y 7; 3 ; 1; 3 ; 3;1 ; 3;1 Câu (6,0 điểm) Cho đường trịn O; R điểm A nằm ngồi đường tròn cho OA R Từ A vẽ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn ( B, C tiếp điểm) Lấy D thuộc AB; E thuộc AC cho chu vi tam giác ADE 2R A E D M C B F O d) Chứng minh tứ giác ABOC hình vng Ta có : ABO ACO 90 (tính chất tiếp tuyến ) (1) AB AC OA2 OB R OB OC Từ (1) (2) suy ABOC hình vng e) Chứng minh DE tiếp tuyến đường tròn O; R Theo ta có : AD DE AE 2 R 3 DE BD CE Vẽ OM DE M DE Trên tia đối tia CA lấy điểm F cho CF BD BDO COF (c.g.c) OD OF mà DE FE ODE OFE (c.c.c) OM OC R (hai đường cao tương ứng ) (6) Từ (5) (6) suy DE tiếp tuyến đường tròn O; R f) Tìm giá trị lớn diện tích ADE AD x, AE y S ADE xy x, y Đặt 2 2 Ta có DE AD AE x y (định lý Pytago) 2 Vì AD DE AE 2 R x y x y 2R Áp dụng BĐT Cô si cho số không âm ta có : x y 2 xy & x y xy Dấu xảy x y Từ (6) (7) suy xy Vậy xy xy 2 R xy 2 R 2R 2R2 R2 xy S ADE S ADE 2 R 2 3 2 32 max S ADE 2 R x y ADE cân A Câu (2,0 điểm) a b a 3a b b 3b a c) Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacoxpki , ta có : a 3a b b 3b a a b 3a b 3b a a 3a b b 3b a 4 a b a 3a b b 3b a 2 a b a b a 3a b b 3b a Dấu xảy a b 2 với a, b số dương d) Trên mặt phẳng cho 99 điểm phân biệt cho từ điểm số chúng tìm điểm có khoảng cách nhỏ Chứng minh tồn hình trịn có bán kính chứa khơng 50 điểm Xét điểm A hình trịn (C1) có tâm A, bán kính C c2 c1 A B - Nếu tất 98 điểm lại nằm ( C1 ) hiển nhiên tốn chứng minh - Xét trường hợp có điểm B nằm ngồi ( C1 ) Ta có: AB >1 (1) Vẽ hình trịn ( C2 ) tâm B, bán kính + Giả sử C điểm khác A B Khi điểm C thuộc hai hình trịn (C1) (C2) Thật vậy, giả sử C khơng thuộc hai hình trịn nói Suy ra: AC > BC > (2) Từ (1) (2) suy điểm A, B, C hai điểm có khoảng cách nhỏ (vơ lí trái với giả thiết) Chứng tỏ C C1 C C2 Như 99 điểm cho thuộc (C1) (C2) Mặt khác 99 = 49.2 + nên theo ngun tắc Dirichle phải có hình trịn chứa khơng 50 điểm