SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH PHÚ YÊN ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (4,00 điểm) a) Chứng minh rằng: KỲ THI CHỌN HPCJ SINH GIỎI THCS CẤP TỈNH NĂM HỌC 2020 – 2021 Mơn thi: TỐN Ngày thi: 30/3/2021 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) 13 13 1 b) Biết đa thức x x3 px 4qx r chia hết cho đa thức x 3x x Tính giá trị biểu thức p q r Câu (3,5 điểm) xy x y xy 5 Giải hệ phương trình: 10 2 x y xy 4 xy Câu (3,00 điểm) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x y 13 Câu (3,00 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn O Tiếp tuyến B C cắt D Gọi E , F giao điểm DA với O DA với BC ; H giao điểm OD với BC a) Chứng minh tam giác OAH đồng dạng với tam giác ODA b) Đường thẳng qua A song song với BC cắt O K ( khác A ) Chứng minh E , H , K thẳng hàng Câu (3,00 điểm) Tìm giá trị lớn biểu thức: P x3 y với x 0, y 0, 1 1 1 2 xy x y x xy y Câu (3,00 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, có H trực tâm, I đường tròn nội tiếp Gọi D, E , F tiếp điểm I với BC , CA, AB Gọi K hình chiếu vng góc D EF a) Chứng minh FKB EKC b) Gọi P, Q giao điểm HB, HC với EF Chứng minh đẳng thức EK FP FK EQ c) Chứng minh KD phân giác HKI Hết -Thí sinh khơng sử dụng tài liệu máy tính cầm tay Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:…………………………… ; Số báo danh:………………………………… Chữ kí giám thị 1:…………………………… ; Chữ kí giám thị 2:…………………… Nguyễn Huỳnh Tấn Trung – Trường THPT Chuyên Lương Văn Chánh LỜI GIẢI Câu (4,00 điểm) a) Chứng minh rằng: 13 13 1 b) Biết đa thức x x3 px 4qx r chia hết cho đa thức x 3x x Tính giá trị biểu thức p q r Lời giải a) Đặt a 13 , b 13 , suy a b3 10 ab Ta có a b a3 b3 3ab a b 10 a b a b a b 10 0 a b 1 a b a b 10 0 a b 1 a b a b 10 0(loai ) Do a b 1 hay 13 13 1 b) Do đa thức x x px 4qx r chia hết cho đa thức x 3x x nên tồn a, b cho x x px 4qx r x3 3x x 3 ax b x x3 px 4qx r ax b 3a x 3b 9a x 3a 9b x 3b Đồng hệ số ta a 1 a 1 b 3a 4 b 1 b a p p 2 3a 9b 4q q 3 3b r r 3 Do p q r 15 Câu (3,5 điểm) xy x y xy 5 Giải hệ phương trình 10 2 x y xy 4 xy Lời giải 2 x y xy 0 Điều kiện xy 0 Nguyễn Huỳnh Tấn Trung – Trường THPT Chuyên Lương Văn Chánh a 2 x y xy a 0 Đặt xy b b 0 Hệ phương trình trở thành: 5 a b 5 ab 5a ab b a 4 b Khi 4b ab 5a a 4b a 4b 20b 25 0 a 2 b y 7 x y 7 x 2 x y xy 2 2 x y 7 x 1 xy 5 xy 5 2 x x 0 x x 1 y 5 x y 2 5 Vậy nghiệm hệ phương trình 1,5 , 2 Câu (3,00 điểm) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x y 13 Lời giải Ta có x y 13, suy y 13 y 1 y số nguyên lẻ Do y 1 y 1 y Do y 1 nên x 4 x x 2 Vậy nghiệm nguyên x, y phương trình 1, ; 1, ; 1, ; 1, Câu (3,00 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn O Tiếp tuyến B C cắt D Gọi E , F giao điểm DA với O DA với BC ; H giao điểm OD với BC a) Chứng minh tam giác OAH đồng dạng với tam giác ODA b) Đường thẳng qua A song song với BC cắt O K ( khác A ) Chứng minh E , H , K thẳng hàng Nguyễn Huỳnh Tấn Trung – Trường THPT Chuyên Lương Văn Chánh Lời giải A K O B F H C E D a) Do DB, DC tiếp tuyến đường tròn O nên OD BC OBD OCD 900 Xét tam giác OBD vuông B có BH đường cao nên OH OD OB OA2 , OA OH suy OD OA OA OH Xét tam giác OAH tam giác ODA có AOH chung OD OA Suy OAH ~ ODA ( c.g.c) b) Do DB, DC tiếp tuyến đường tròn O nên DE.DA DB Xét tam giác OBD vuông B có BH đường cao nên DH DO DB Suy DE.DA DH DO , dẫn đến tứ giác AOHE nội tiếp, suy DHE OAD Do OAH ~ ODA nên OAD OHA Do DHE OHA Ta có OH BC AK / / BC , suy OH AK Do OAK cân O có OH AK nên HO phân giác góc AOK hay , suy DHE OHA OHK OHK Nguyễn Huỳnh Tấn Trung – Trường THPT Chuyên Lương Văn Chánh Do D, H , O thẳng hàng nên DHE EHO 1800 nên OHK EHO 1800 EHK Vậy ba điểm E , H , K thẳng hàng Câu (3,00 điểm) Tìm giá trị lớn biểu thức: P x3 y với x 0, y 0, 1 1 1 2 xy x y x xy y Lời giải Theo giả thiết ta có 1 1 1 x y x xy y 2 xy x y x xy y Khi x y x xy y 2 x y x y x y x y 4 4 3 2 Ta có P x y x y x xy y x y 16 Vậy giá trị lớn P 16 Dấu xảy x y 2 Câu (3,00 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, có H trực tâm, I đường tròn nội tiếp Gọi D, E , F tiếp điểm I với BC , CA, AB Gọi K hình chiếu vng góc D EF a) Chứng minh FKB EKC b) Gọi P, Q giao điểm HB, HC với EF Chứng minh đẳng thức EK FP FK EQ c) Chứng minh KD phân giác HKI Nguyễn Huỳnh Tấn Trung – Trường THPT Chuyên Lương Văn Chánh Lời giải A E P M K F N Q I H B D C a) Kẻ BN EF , CM EF Do AEF cân A nên AEF AFE , suy BFN CEM BF BN BD BFN ~ CEM g.g , suy CE CM CD KN DB Hình thang BNMC có BN / / DK / / CM nên KM DC KN NB Do , dẫn đến BKN ~ CKM c.g c , suy FKB EKC KM MC EK CE KE 1 b) Ta có BKF ~ CKE g g , suy FK BF KF CE EQ 2 Ta có FBP ~ ECQ g g , suy BF FB EK EQ EK FB FK EQ Từ 1 & , ta có FK FB EF PQ PQ 3 c) Ta có QHP ~ FIE g g , suy IE HP HQ KE KF KE KF KE KQ KE KQ 4 Từ 1 & , ta có EQ FP KQ KP KF KP EF PQ KE KQ KE IE KEI ~ KQH c.g c Từ 3 & , ta có IE HQ KQ HQ Suy QKH , KD phân giác HKI EKI HKD IKD Nguyễn Huỳnh Tấn Trung – Trường THPT Chuyên Lương Văn Chánh Nguyễn Huỳnh Tấn Trung – Trường THPT Chuyên Lương Văn Chánh