SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO BẮC GIANG ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 03 trang) ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HĨA CẤP TỈNH NĂM HỌC 2020-2021 MƠN THI: TOÁN – LỚP Ngày thi: 06/3/2021 Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề Mã đề thi 101 I PHẦN TRẮC NGHIỆM (6 điểm) 1 1 1 Câu 1: Nghiệm phương trình x 10.60 1.11 2.12 3.13 50.60 1.51 2.52 3.53 A x 5 B x 4 C x 7 D x 9 a 16 a a 1 S tập hợp giá trị nguyên a để M nhận a a 8 a 4 a giá trị nguyên Tập S có tất tập ? A B C D Câu 3: Cho đường tròn tâm O bán kính R điểm A cho OA 3R Đường thẳng qua A cắt đường tròn hai điểm B, C Tính AB AC A AB AC 5 R B AB AC 2 R C AB AC 8R D AB AC 3R Câu 2: Cho M Câu 4: Có cặp số x; y với x 0, y thỏa mãn phương trình x y 3 x xy ? A B C D Câu 5: Cho tam giác ABC vng A có đường cao AH H BC ; AB 2, AC 3CH Diện tích tam giác ABC 3 A 3 B 2 C D 2 Câu 6: Có giá trị x nguyên để biểu thức A x nhận giá trị nguyên ? x2 A B C D Câu 7: Gọi M hình chiếu vng góc gốc tọa độ O đường thẳng y m x m (với m tham số) Giá trị lớn OM A B C D Câu 8: Cho biểu thức f x x x A B 2021 Biết a 3 17 3 17 , giá trị f a C D Câu 9: Biết điểm M x0 ; y0 điểm mà đường thẳng y m x 2m qua với m 2 Giá trị biểu thức A x0 y0 A -2 B 20 C D Câu 10: Cho hai hàm số y m 1 x y 2 x m Tìm tham số m để đồ thị hai hàm số cho hai đường thẳng song song A m 1 B m 1 C m 2 D m Câu 11: Cho tam giác ABC có đường phân giác AD (D thuộc BC) cho BD a; CD b; a b Tiếp tuyến A đường tròn qua điểm A, B, C cắt BC M Độ dài MA tính theo cơng thức sau ? 2ab 2ab ab 2ab A MA B MA C MA D MA a b a b a b 2a b Trang 1/8 - Mã đề thi 101 x y 4 Câu 12: Tìm hai tham số m, n để hệ phương trình có vơ số nghiệm mx y n A m 2; n B m 2; n 6 C m 2; n D m 2; n 2 Câu 13: Cho ba số x, y, z cho x 1, y 2, z 3 Giá trị lớn 1 yz x xz y xy z , a, b, c Tổng a b c a b c xyz A 22 B 18 C 20 D 19 P m 1 x my 2m Câu 14: Cho hệ phương trình ( với m tham số) có nghiệm x0 ; y0 Giá trị mx y m lớn x0 y0 A B C D 4 13 x y x y Câu 15: Cho hệ phương trình có nghiệm x0 ; y0 Tính y0 x0 1 x y x y A y0 x0 4 B y0 x0 2 C y0 x0 D y0 x0 3 Câu 16: Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH Giả sử AB 6cm, BH 4cm Tính BC A 10cm B BC 9cm C BC 10,5cm D BC 8 2cm Câu 17: Phương trình x x có nghiệm ? A B C D Câu 18: Cho đường tròn (O;R) hai điểm A, B cố định nằm ngồi đường trịn cho OA 2 R R Điểm C nằm đoạn thẳng AO cho OC điểm M thay đổi đường tròn Giá trị nhỏ MA+2MB A BC B 4BC C 3BC D 2BC Câu 19: Cho đường trịn tâm O có bán kính OA R , dây cung BC vng góc với OA trung điểm M đoạn thẳng OA , kẻ tiếp tuyến với đường tròn B , tiếp tuyến cắt OA E Độ dài đoạn thẳng BE R A 3R B R C R D Câu 20: Cho hàm số y 0,5 x , y 6 x , y mx có đồ thị đường thẳng d1 , d , m Với giá trị tham số m m cắt d1 , d hai điểm A, B cho A có hồnh độ âm, B có hồnh độ dương ? A 0,5 m B m 0,5; m 0 C m 0, D 0,5 m 1; m 0 II TỰ LUẬN Câu (5,5 điểm) 3x x x 1 x 2 , x 0, x 1 x x x 1 x a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị nguyên x để A nhận giá trị nguyên Cho biểu thức A Trang 2/8 - Mã đề thi 101 Cho đường thẳng d : y ax b, a 0 qua M 1; cắt Ox điểm A có hồnh độ dương, cắt Oy B có tung độ dương Tìm giá trị nhỏ P OA OB Câu (3,5 điểm) Giải phương trình x x 11x 1 x Cho a, b, c số nguyên dương thỏa mãn a – b số nguyên tố 3c ab bc ca Chứng minh 8c số phương Câu ( điểm) Cho tam giác ABC AB BC CA ngoại tiếp đường tròn tâm I Lấy E F đường thẳng AC AB cho CB CE BF đồng thời chúng nằm phía với A so với đường thẳng BC Các đường thẳng BE CF cắt G a) Chứng minh bốn điểm C , E , I G nằm đường tròn b) Trên đường thẳng qua G song song với AC lấy điểm H cho HG AF đồng thời H nằm 1 CAB khác phía với C so với đường thẳng BG Chứng minh EHG Câu ( điểm) Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x y z 3 Chứng minh 1 xy x y yz y z zx z x - HẾT -Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh: Cán coi thi số (Họ tên ký) Cán coi thi số (Họ tên ký) Trang 3/8 - Mã đề thi 101 - SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO BẮC GIANG HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA CẤP TỈNH NĂM HỌC 2020-2021 MƠN THI: TỐN – LỚP Ngày thi: 06/3/2021 (Bản hướng dẫn chấm gồm 05 trang) HDC I PHẦN TRẮC NGHIỆM (6 điểm- Mỗi đáp án 0,3 điểm) Mã đề 101 101 101 101 101 101 101 101 101 101 101 101 101 101 101 101 101 101 101 101 Câu 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Đáp án A B C A D B A D B D C C A A B B D D C C Mã đề 102 102 102 102 102 102 102 102 102 102 102 102 102 102 102 102 102 102 102 102 II PHẦN TỰ LUẬN (14 điểm) Câu Câu ( 5,5 điểm) a) 3x x ( 3,5 điểm) điểm A A A x x 2 x 2 x x1 A 1 x 3 x 1 x1 x1 x 2 Điểm 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 Kết luận b) 1,5 điểm x x 2 Đáp án D B C D A C A A B A C B D D B C B C D A Hướng dẫn giải x 1 x 2 x 1 A Câu 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 x1 0,25 Trang 4/8 - Mã đề thi 101 Với x , Để A 0,25 x 1 2; 1 0,5 Đáp số x 0, x 4, x 9 0,5 M d a b 4 b 4 a 0,5 ( điểm) x ước b +) d Ox A ; , d Oy B 0; b b 0, a a b 4 a 4 a + OA OB b a a 4 a 9 a Dấu xảy a a a b 6 (tm) a Vậy giá trị nhỏ P 0,25 0,25 0,5 0,5 Câu ( điểm) ( điểm) x x 11x 1 x 0,25 x x 11x 1 x 0 x x 10 x x x x 1 x 0 x x x x x x 0 x x2 5x x 0 0,25 0,25 x x x 5 x 0,25 x 1 x +) x x 3x x 11 0 0,25 x 0 +) x 5 x x x Kết luận 2 ( 1,5 điểm) 0,25 0,25 0,25 Ta có 4c c ab bc ca c a c b 0,25 Gọi d c a, c b , c a – c b a b d d 1 d a – b (Do a b số nguyên tố) 0,25 TH1: d 1 c a c b nguyên tố nên c a x , c b y (x y nguyên dương) 0,25 Trang 5/8 - Mã đề thi 101 2 Nên a – b x y = x y x y số nguyên tố nên x – y 1 x 1 y 4c = c a c b x y 2c xy y y y y 8c 4 y y y 1 số phương TH2: d a – b c a a b x; c b a b y, với x, y nguyên dương nguyên tố a – b c a – c b a b x – a b y x – y x y 0,25 0,25 Ta có 4c c a c b a b xy xy y y 1 số phương Mà y y hai số tự nhiên liên tiếp nên y 0 (vô lý y nguyên dương) Kết luận 0,25 Câu (4 d) H F G A E N M I C B Bổ đề: Tứ giác có tổng hai góc đối 180 nội tiếp đường trịn (Nếu học sinh không chứng minh bổ đề mà sử dụng cho điểm tối đa) a)Gọi BI CF N ; CI BE M IBE cân I (1) IEB I BM IBM BIM 900 IBM ICN (2) ICN CIN 90 Từ (1) (2) suy IEB ICN ICG GEI 1800 tứ giác CIEG tứ giác nội tiếp b) Chứng minh tứ giác AFCI nội tiếp 0,5 0,25 0,75 0,25 0,5 0,25 0,25 Trang 6/8 - Mã đề thi 101 1800 ABC BAC BCA (vì AFC ) IAC ICA 1800 AIC 2 Chứng minh tứ giác AEIB nội tiếp 0,25 ) (vì EAI IFC ICF IBE Do tứ giác CIEGvà AFCI nội tiếp, nên EGI ECI AFI Hơn nữa, IAB nên GEI suy GEI đồng dạng với FAI IEB FAI Suy Câu EG EG AF HG AF AI BI EI AI GE GE BI 0,25 0,25 Nhưng HGE AEB AIB suy HGE đồng dạng AIB 0,25 CAB Từ EHG BAI 0,25 Ta chứng minh x y 1 3 xy x y , với x, y Thật vậy, bất đẳng thức tương đương với x y xy y x 6 xy x y 2 x 1 y 1 0 Dấu “=”xảy x y 1 x y 0,25 , với x, y Dấu “=” xảy xy x y x y x y 1 Tương tự ta suy 1 3 xy x y yz y z zx z x x y y z z x (1) x y z Dấu “=” xảy Do 1 , m, n, p m n p mn p Thật vậy, bất đẳng thức tương đương với n p m p m n 9 m m n n p p Ta chứng minh: 0,25 0,25 n m p m p n 6 m n m p n p Theo bất đẳng thức Cô si ta thấy bất đẳng thức Dấu “=”xảy m n p Trang 7/8 - Mã đề thi 101 Do 3 3 x y 1 y z 1 z x 1 x y z Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh Dấu “=”xảy x y z 1 (2) 0,25 Trang 8/8 - Mã đề thi 101