Chuyên đề hình học không gian lớp 11 ôn hsg

CHUN ĐỀ HÌNH HỌC KHƠNG GIAN LỚP 11 A – LÝ THUYẾT BỔ TRỢ I Vị trí tương đối hai mặt phẳng Giữa hai mặt phẳng ( ) (  ) có vị trí tương đối   a   I   ( ) / /(  ) ( ) cắt (  ) ( ) (  ) Định nghĩa: Hai mặt phẳng ( ) (  ) gọi song song với chúng khơng có điểm chung II Các định lý Định lí 1: Nếu mặt phẳng ( ) chứa hai đường thẳng cắt a, b a, b song song với mặt phẳng (  ) ( ) song song với (  ) a  M b  Hệ quả: Nếu mặt phẳng ( ) chứa hai đường thẳng cắt a, b a, b song song với hai đường thẳng a’, b’ nằm mặt phẳng (  ) mặt phẳng ( ) song song với mặt phẳng (  ) a, b  ( ) a  b O   ( ) / / (  )  β a' a / / a ', b / / b '  b' a ', b '  (  )  Lưu ý: Nếu hai mặt phẳng song song với đường thẳng nằm mặt phẳng song song với mặt phẳng Định lí : (Định lí giao tuyến thứ tư) Cho hai mặt phẳng song song Nếu mặt phẳng cắt mặt phẳng cắt mặt phẳng hai giao tuyến song song với α a b O ( ) / / (  )  ( )  ( ) a  a / / b ( )  (  ) b   a  b  Định lí : (Định lí Ta-lét khơng gian) Ba mặt phẳng đôi song song chắn hai cát tuyến đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ d' d A' A  B  AB BC CA   AB BC  C A B' C C'   Hình lăng trụ hình hộp: Mặt đáy A E Mặt bên B C D Cạnh bên A' E' Đỉnh B' C' D' Các cạnh bên hình lăng trụ song song với  Các mặt bên hình lăng trụ hình bình hành  Hai đáy hình lăng trụ hai đa giác nằm mặt phẳng song song  Tùy theo đáy lăng trụ tam giác, tứ giác, ngũ giác … mà ta gọi lăng trụ lăng trụ tam giác, lăng trụ tứ giác, lăng trụ ngũ giác…  Hình lăng trụ có đáy hình bình hành gọi hình hộp Hình chóp cụt:  S E' A' P D' C' B' E D A B C Hai đáy hai đa giác có cạnh tương ứng song song tỉ số cặp cạnh tương ứng Các mặt bên hình thang Các đường thẳng chứa cạnh bên đồng quy điểm    B – CÁC VÍ DỤ I - QUAN HỆ SONG SONG Các toán quan hệ song song Ví dụ 1: Cho tứ diện SABC có cạnh Gọi I, K trung điểm AC SB Trên AS, CK lấy P Q cho PQ//BI Tính PQ Giải: PQ giao tuyến mặt phẳng chứa CK //BI với mp chứa SA //BI Trong (SBI) kẻ KE //BI, CE cắt SA P Qua A kẻ AF//BI (F thuộc BC), CK cắt SF Q, PQ//BI I, E trung điểm AC SI, SP  ta có SA S P K Q PQ SP   Mà AF SA nên A E B F C I 1 PQ  AF  BI  3 Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD tứ giác lồi Gọi N, P trung điểm SB AD Gọi I trung điểm NP G giao điểm SI với IS mp(ABCD) Tính tỉ số IG Giải: S N I A G P B H C D Qua N dựng đường thẳng song song với SG cắt BP H Suy G trung điểm PH 1 SI IG  NH , NH  SG 3 2 H trung điểm BG Suy Vậy IG Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD, gọi I, J hai điểm di động cạnh AD BC cho IA JB  ln có: ID JC Chứng minh rằng: IJ song song với mặt phẳng cố định Giải: Qua I vẽ IH // CD cắt AC H A I H B D J C IA HA   HI // CD (1) Ta có: ID HC Mà IA JB HA JB  nên :   HJ // AB (2) ID JC HC JC Từ (1) vaø (2) suyra : (HIJ) // AB vaø CD Gọi ( ) mặt phẳng cố định qua AB ( ) // CD Khi đó: ( ) // (HIJ)  IJ //( ) Ví dụ 4: Cho tứ diện ABCD Gọi I , J trung điểm AC BC Trên cạnh BD lấy điểm K cho BK 2KD  IJK  a) Xác định giao điểm E , F đường thẳng CD , AD với mặt phẳng b) Chứng minh FA 2 FD FK / / AB Giải: C J I B A F K D E a) Đường thẳng JK cắt CD E (vì JK khơng song song với CD), EI cắt AD F KB  DB b) Vì EBC có EJ trung tuyến nên K trọng tâm EBC Suy D trung điểm CE Do F trọng tâm EAC nên FA 2 FD Theo định lí giao tuyến mặt phẳng (CA B), (DA B), (IJ K) IJ/ / AB/ / FK Bài tốn thiết diện Ví dụ 5: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình bình hành với AB a; AD 2a; SAB   tam giác vuông cân A , M điểm cạnh AD ( M khác A D ) Mặt phẳng  SAB  cắt BC , SC , SD N , P, Q Đặt x  AM Tính diện qua M song song với tích tứ giác MNPQ theo a x Giải: S Q P D A M B N C Thiết diện hình thang vng có: AS  AB a; MQ  2a  x x 4a  x ; PQ  ; MN  AB a  S  2 Ví dụ 6: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Gọi M, N, P trung điểm đoạn thẳng AD, BB’, C’D’ Xác định thiết diện cắt mặt phẳng (MNP) với hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Tính theo a diện tích thiết diện Giải: M A D S R C B O N D' A' P B' C' Q Gọi S trung điểm AB Khi MS // BD  MS //  BDC '  MNS  //  BDC '  MNS  // BC ' nên (MNS) cắt Từ đó:  Do (BCC’B’) theo giao tuyến qua N song song với BC’ cắt B’C’ Q NS // C ' D  NS //  BDC ' Do  MNS  // BD // B ' D ' nên (MNS) cắt (A’B’C’D’) theo giao tuyến qua Q song song với  MNS  // C ' D B’D’ cắt D’C’ P’ Do P’ trung điểm C’D’ nên P’ trùng với P Do nên (MNS) cắt (CDD’C’) theo giao tuyến qua P song song với C’D cắt DD’ R Do đó, thiết diện cắt (MNP) hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ theo lục giác MR  MSNQPR cạnh a 2 có tâm O Suy ra: 3a 3a S MSNQPR 6 SOMS 6 OM OS sin 600  S MSNQPR  Vậy MA PS  x Ví dụ 7: Gọi M P điểm thuộc cạnh AD SC thoả mãn MD PC Xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng ( ) chứa MP song song với AB Tìm x để diện tích thiết diện nửa diện tích tam giác SAB Giải: S T N P A D M C Ta có: B Q  M  ( )  ( ABCD )  ( )  ( ABCD) MQ / / AB(Q  BC )  ( ) / / AB Tương tự: ( )  ( SCD)  PN / / AB( N  SD) Vậy thiết diện ( ) với hình chóp tứ giác MNPQ Vì MQ / / NP / / AB nên MNPQ hình thang Gọi T MN  PQ QM  MD AM x x 2 AB  CD  AB  CD  AB AD AD 1 x 1 x  x 1 Ta có: MA QB PS NS    MD QC PC ND nên PQ // SB, MN // SA  SAB TMQ Vì STMQ Do đó: SSAB 2  MQ   x      1    AB    x  1  Vì x x NP x NP NS AM x NP  CD  AB      x 1  x  1 QM x  CD SD AD x  nên Do SMNPQ STPN  NP  x2 x2 4x        2 STMQ  MQ   x   nên STMQ  x  2  x  2 SMNPQ STMQ  x 1 Từ (1) (2) suy SMNPQ STMQ 1     x 1 x 1 Vậy Ví dụ 8: Cho tứ diện ABCD cạnh a M P hai điểm di động cạnh AD BC cho AM CP  x (0  x  a ) Một mặt phẳng ( ) qua MP song song với CD cắt tứ diện ABCD theo thiết diện Thiết diện hình gì? Tìm x để thiết diện có diện tích nhỏ Giải: A M N Q B E P C  M  ( )  ( ABCD)  ( )  ( ABCD) MN / / CD( N  AC )  ( ) / / CD D Tương tự: ( )  ( BCD) PQ / / CD(Q  BD) ( )  ( BAD) MQ , ( )  ( ABC ) PN Vậy thiết diện ( ) với tứ diện ABCD tứ giác MNPQ Vì MN / / PQ / / CD nên MNPQ hình thang CP DQ  CN DM PCN QDN 600 Hai tam giác CNP DMQ  Suy NP = MQ hay thiết diện hình thang cân Ta có MN = AM = x, PQ = BP = a – x Áp dụng định lí hàm cơsin tam giác MDQ, ta có: MQ DQ  DM  DQ.DM cos MDQ x  (a  x)  x (a  x) 3x  3ax  a Dựng đường cao ME, ta có: ME MQ  QE 3 x  3ax  a  ( 3 x  3ax  a  ( PQ  MN ) a  x  x x  8ax  3a x  8ax  3a )   ME  Diện tích thiết diện MNPQ là: S ( MN  PQ).ME a a a a2  x  8ax  3a  8( x  )  a  4 a2 a minS=  x Vậy Ví dụ 9: Cho hình vng cạnh a, tâm O Gọi S điểm mặt phẳng (ABCD) cho SB = SD Gọi M điểm tùy ý AO với AM = x Mặt phẳng () qua M song song với SA BD cắt SO, SB, AB N, P, Q a) Tứ giác MNPQ hình gì? b) Cho SA = a Tính diện tích MNPQ theo a x Tìm x để diện tích MNPQ lớn 10