Đs chương 1 lượng giác

CHỦ ĐỀ: HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC VÀ PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC BÀI: GĨC LƢỢNG GIÁC VÀ CƠNG THỨC LƢỢNG GIÁC A LÝ THUYẾT Giá trị lƣợng giác cung α   Trên đường trịn lượng giác (hình 1.1) cho cung AM có sđ AM   : Hình 1.1 Gọi M  x; y  với tung độ M y  OK , hoành độ x  OH ta có: sin   OK cos   OH sin  cos  tan   ;  cos    cot   ;  sin    cos  sin  Các giá trị sin  , cos  , tan  , cot  gọi giá trị lượng giác cung  Các hệ cần nắm vững Các giá trị sin  ; cos  xác định với    Và ta có: sin   k 2   sin  , k ; cos   k 2   cos  , k  1  sin   ; 1  cos     k ,  k    cot  xác định với   k ,  k   tan  xác định với    Dấu giá trị lượng giác cung  phụ thuộc vào vị trí điểm cuối cung AM   đường trịn lượng giác (hình 1.2) Hình 1.2 Ta có bảng xác định dấu giá trị lượng giác sau Góc phần tư I II III IV Giá trị lượng giác + + cos  + + sin  tan  + + cot  + + Ở hình 1.3 cách nhớ khác để xác định dấu giá trị lượng giác Công thức lƣợng giác Công thức sin x  cos2 x  Cung đối sin   x    sin x cos x cot x   sin x Công thức cộng sin  x  y   sin x cos y  cos x sin y Cung bù sin x  sin   x  cos  x  y   cos x cos y  sin x sin y cos x   cos  x    tan x  tan y  tan x tan y Công thức đặc biệt     sin x  cos x  sin  x    cos  x   4 4   tan x  tan  x    cos   x   cos x tan x   tan   x    tan x tan  x  y       sin x  cos x  sin  x     cos  x   4 4   Góc nhân đôi sin x  2sin x cos x cos x  2cos2 x 1   2sin x  cos x  sin x Góc chia đơi sin x  1  cos x  cos x  1  cos x  Góc nhân ba Góc chia ba sin x   3sin x  sin 3x  cos3 x   3cos x  cos3x  sin 3x  3sin x  4sin3 x cos3x  4cos3 x  3cos x tan 3x  tan x  tan x  tan x STUDY TIP Ở từ cơng thức góc nhân đơi, góc nhân ba ta suy cơng thức góc chia đơi, chia ba mà khơng cần nhớ nhiều cơng thức Biến đổi tích thành tổng cos x cos y  cos  x  y   cos  x  y  sin x sin y  cos  x  y   cos  x  y   sin x cos y  sin  x  y   sin  x  y   Biến đổi tổng thành tích x y x y cos x  cos y  2cos cos 2 x y x y cos x  cos y  2sin sin 2 x y x y sin x  sin y  2sin cos 2 x y x y sin x  sin y  2cos sin 2 Giá trị lƣợng giác cung đặc biệt  (độ)  (radian) sin  0 cos  tan  30 45 60 90  180  2 2 3 2 0 1 Không xác định   3  STUDY TIP Từ bảng giá trị lượng giác cung đặc biệt bên ta thấy quy luật sau để độc giả nhớ giá trị lượng giác cung đặc biệt:  30 45 60 90 sin  Các giá trị tử số tăng dần từ đến 2 Ngược lại giá trị cos , tử số giảm dần từ BÀI:HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC A LÝ THUYẾT Hàm số y  sinx hàm số y  cos x Quy tắc đặt tương ứng số thực x với sin góc lượng giác có số đo rađian x gọi hàm số sin , kí hiệu y  sinx Quy tắc đặt tương ứng số thực x với cosin  cos  góc lượng giác có số đo rađian x gọi hàm số cos , kí hiệu y  cos x Tập xác định hàm số y  sinx; y  cos x  a) Hàm số y  sinx Nhận xét:Hàm số y  sinx hàm số lẻ hà số có tập xác định D   đối xứng  sinx  sin  x  Hàm số y  sinx tuần hồn với chu kì 2 Sự biến thiên: Sự biến thiên hàm số y  sinx đoạn    ;   biểu thị sơ đồ (hình 1.4) phía dưới: Bảng biến thiên: Từ ta có bảng biến thiên hàm số y  sinx đoạn    ;   sau: STUTY TIP Khái niệm: Hàm số f  x  xác định D gọi hàm tuần hoàn tồn số T  cho với x  x  T  D; x  T  D  thuộc D ta có    f (x  T)  f  x  Số dương T nhỏ (nếu có) thỏa mãn tính chất gọi chu kì hàm tuần hồn Đồ thị hàm số: Nhận xét:Do hàm số y  sinx hàm số lẻ  tuần hồn với chu kì 2 nên vẽ đồ thị hàm số y  sinx  ta cần vẽ đồ thị hàm số đoạn 0;   , sau lấy đối xứng đồ thị qua gốc tọa O , ta đồ thị hàm số y  sinx đoạn    ;   , cuối tịnh tiến đồ thị vừa thu sang trái sang phải theo trục hồnh ta đoạn có độ dài 2 ; 4 , STUDY TIP    Hàm số y  sinx đồng biến khoảng   ;  Do tính chất tuần hồn với chu kì 2 , hàm số  2     y  sinx đồng biến khoảng    k2 ;  k2  ,k     Tương tự ta suy hàm số y  sinx nghịch  3    k2 ;  k2  ,k     GHI NHỚ Hàm số y  sinx : - Có tập xác định  biến khoảng - Có tập giá trị   1;1 - Là hàm số lẻ - Đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng - Có đồ thị đường hình sin - Tuần hồn với chu kì 2     - Đồng biến khoảng    k2 ;  k2  ,k      3  - Nghịch biến khoảng   k2 ;  k2  ,k   2  b) Hàm số y  cos x   Ta thấy cos x  sin x   nên cách tịnh tiến đồ thị hàm số y  sinx sang trái đoạn có 2   , ta đồ thị hàm số y  cos x Bảng biến thiên hàm số y  cos x    ;   độ dài Đồ thị hàm số y  cos x : STUTY TIP Hàm số y  cos x đồng biến khoảng   ;0  Do tính chất tuần hồn với chu kì 2 , hàm số y  cos x đồng biến khoảng    k2 ; k2  ,k   Tương tự ta suy hàm số y  cos x nghịch biến khoảng  k2 ;   k2  ,k   GHI NHỚ Hàm số y  cos x : - Có tập xác định  - Là hàm số chẵn -Là đường hình sin - Đồng biến khoảng    k2 ; k2  ,k   - Nghịch biến khoảng  k2 ;   k2  ,k   Đọc thêm Hàm số y  a.sin x  b   c,  a,b,c,   ,a   hàm tuần hồn với chu kì sở vì:  2   a.sin   x  T   b  c  a.sin  x  b   c, x    a.sin  x  b  T   a.sin  x  b  , x    T  k2 ,  k     T  k 2  , k    Và đồ thị đường hình sin Tương tự hàm số y  a.cos  x  b   c,  a,b,c,    ,a   hàm tuần hoàn với chu kì sở 2  đồ thị đường hình sin Ứng dụng thực tiễn:Dao động điều hịa mơn Vật lý chương trình 12 Hàm số y  tan x hàm số y  cot x trục côtang B S M T + x A' O A trục tang B' Hình 1.7 sin x   Với D1   \   k k    , quy tắc đặt tương ứng số x  D1 với số thực tan x  cos x 2  gọi hàm số tang, kí hiệu y  tan x Hàm số y  tan x có tập xác định D1 Với D2   \ k k   , quy tắc đặt tương ứng số x  D2 với số thực cot x  gọi hàm số cơtang, kí hiệu y  cot x Hàm số y  cot x có tập xác định D2 Nhận xét: - Hai hàm số y  tan x hàm số y  cot x hai hàm số lẻ - Hai hàm số hai hàm số tuần hoàn với chu kì  a) Hàm số y  tan x cos x sin x t B H A' O A x K + M B' T Hình 1.8   đến điểm M chạy đường tròn 2 lượng giác theo chiều dương từ B đến B (không kể B B ) Khi điểm T thuộc trục tang Sự biến thiên: Khi cho x   OA, OM  tăng từ  cho AT  tan x chạy dọc theo At , nên tan x tăng từ  đến  (qua giá trị x  ) Giải thích: tan x  AT tan x  MH AT AT    AT OH OA     Nhận xét: Hàm số y  tan x đồng biến khoảng    k ;  k  , k   Đồ thị hàm   số y  tan x nhận đường thẳng x    k ,  k    làm đường tiệm cận Đồ thị hàm số:   Nhận xét:Do hàm số y  tan x hàm số lẻ  \   k k    tuần hồn với chu kì  2    nên vẽ đồ thị hàm số y  tan x  \   k k    ta cần vẽ đồ thị hàm số 2    0;  , sau lấy đối xứng đồ thị qua gốc tọa độ O , ta đồ thị hàm số y  tan x   0;  , cuối tịnh tiến đồ thị vừa thu sang trái sang phải theo trục hồnh Hình 1.9 STUDY TIP Hàm số y  tan x nhận đường thẳng x    k ,  k    làm đường tiệm cận GHI NHỚ Hàm số y  tan x :   - Có tập xác định D1   \   k k    2  - Là hàm số tuần hồn với chu kì  - Là hàm số lẻ - Có tập giá trị      - Đồng biến khoảng    k ;  k  , k     - Đồ thị nhận đường thẳng x    k ,  k    làm đường tiệm cận b) Hàm số y  cot x Hàm số y  cot x có tập xác định D2   \ k k   hàm số tuần hoàn với chu ki  Tương tự khảo sát hàm số y  tan x ta vẽ đồ thị hàm số y  cot x sau: Hình 1.10 GHI NHỚ Hàm số y  cot x : - Có tập xác định: D2   \ k k   - Là hàm số lẻ - Là hàm số tuần hoàn với chu kì  - Có tập giá trị  - Đồng biến khoảng  k ;   k  , k  - Đồ thị nhận đường thẳng x  k ,  k   làm đường tiệm cận B Các dạng toán liên quan đến hàm số lƣợng giác Dạng 1:Bài toán tìm tập xác định hàm số lƣợng giác Cách Cách Tìm tập D x để f  x  có nghĩa, tức Tìm tập E x để f  x  khơng có nghĩa, tập xác định hàm số D   \ E tìm D  x   f  x      CHÚ Ý A Với hàm số f  x  cho biểu thức đại số ta có: f  x   f1  x  , điều kiện: * f1  x  có nghĩa f2  x  * f  x  có nghĩa f  x   f  x   m f1  x  ,  m    , điều kiện: f1  x  có nghĩa f1  x   f  x   f1  x  2m f2  x  ,  m    , điều kiện: f1  x  , f  x  có nghĩa f  x   B Hàm số y  sin x; y  cos x xác định  , nhƣ y  sin u  x  ; y  cos u  x  xác định u  x  xác định * y  tan u  x  có nghĩa u  x  xác định u  x     k ; k   * y  cot u  x   có nghĩa u  x  xác định u  x   k ; k  STUDY TIP Ở phần cần nhớ kĩ điều kiện xác định hàm số sau: Hàm số y  sin x y  cos x xác định    Hàm số y  tan x xác định  \   k k    2  Hàm số y  cot x xác định  \ k k   Ví dụ 1 là: cos x  5     A D   \   k 2 , B D   \   k 2 k     k 2 k    3  3  5    5  C D    k 2 , D D   \   k 2 k     k 2 k    3    Chọn A Lời giải     cos x  cos x   k 2     3 Cách 1:Hàm số cho xác định cos x      ,k   cos x  cos  x    k 2   3    5 Cách 2:Sử dụng máy tínhcầm tay tính giá trị hàm số y  x  x  ta cos x  3 thấy hàm số không xác định, từ ta chọn A STUDY TIP  Đối với hàm cơsin, chu kỳ tuần hồn hàm số  0; 2 tồn hai góc có số đo 5  5  ta kết luận điều kiện thỏa mãn cos  cos 3 Cách bấm sau: Nhập vào hình : cos  X  Tập xác định hàm số y  10 1   Phương trình    1   3   1  2 cos x cos x  cos x  cos x   cos x  1 cos x  1 TM   x    k 2  k     cos x  2  l   1  cos x Câu 20: Đáp án C 13 13 cos6 x  sin x  cos2 x   cos x  sin x  cos4 x  sin x.cos2 x  cos4 x   cos 2 x 8 13   13 cos x  sin x  cos x   sin x.cos x   cos 2 x  cos x 1  sin 2 x   cos 2 x    cos x   1  1  cos 2 x   13 cos x   cos x  cos x    cos x  cos x  13cos x        x   k  k    x     k  Câu 21: Đáp án D sin x  1 sin x   m2  3 sin x  m2     sin x   m + Với sin x  1  x   có nghiệm x    k 2  k    3  3    ; 2    3  3   3  + Phương trình có nghiệm   ; 2   sin x  m2  có nghiệm   ; 2  khác     Câu 22 Đáp án B  cos x   2m  1 cos x  m    2cos2 x   2m  1 cos x  m   cos x  cos x  m    3    3  x   ;   cos x   1;0   cos x  khơng có nghiệm thỏa mãn  ;  2  2    3  Phương trình có nghiệm  ;   1  m   a  b  2  Câu 23 Đáp án D     cos x  sin x  cos  x   sin  3x     4 4   108   2sin x.cos x   1   sin  x    sin x     2  2    sin 2 x  cos4 x  sin x       sin 2 x   2sin 2 x  sin x    sin x  sin x     sin x  2     x   k 2  x   k  k    sin x   3 7 5  Vậy tổng hai nghiệm âm lớn   4 Câu 24 Đáp án C sin x  cos6 x  3sin x.cos x  m   3   sin 2 x  sin x  m   (*) 2  4m  3sin x  6sin x  12 Đặt t  sin x, t  1;1 Xét f  t   3t  6t  12  1;1 Suy (*) có nghiệm   4m  15  Vậy ab  15 m 4 75 16 Câu 25 Đáp án B  Điều kiện sin x  cos x     tan x  3tan x   tan x   tan x      x   k  k    tan x   x  arctan  k  Phương trình  tan x  Vậy m  Câu 26 Đáp án D Phƣơng trình bậc sin x,cos x Câu 27 Đáp án A Phương trình có nghiệm 12  m2  10  m2    m   m  3 Câu 28 Đáp án C   sin x  cos x   sin  x    3        x    k 2  x    k 2   k    5  x    x   k 2  k 2   109   2        12 Câu 29 Đáp án A cos x  sin x   cos x  sin x   sin x  cos x     sin x  cos x    sin x  cos x    sin x  cos x  2          cos sin x  sin cos x    cos sin x  sin cos x  3 6        sin  x     sin  x   3 6        sin  x    sin  2 x   3 6     2     x   2 x   k 2  x  18  k   k     3  x     x   k 2 x    k 2   Câu 30 Đáp án C  sin x  cos x.sin x  cos3x  cos x  sin x      2sin x sin x  cos x.sin x  cos3x  2cos x  sin x.cos x  cos x.sin x  cos3x  2cos x  sin3x  cos3x  2cos x  sin 3x  cos3x  cos x 2  sin  sin 3x  cos  cos3x  cos x 6    cos  3x    cos x 6       x  3x   k 2  x    k 2   k     2   x  3x   k 2 x  k 42   Hai nghiệm dương liên tiếp nhỏ x1   42 Câu 31 Đáp án C x x   sin  cos   cos x    x x   2sin cos  cos x  2    sin x  cos x   sin  x    3        x    k 2  x    k 2   k    5  x    x   k 2  k 2   110 , x2  13   x1  x2  42 Nghiệm dương nhỏ Vậy a  b     , nghiệm âm lớn  Phƣơng trình đẳng cấp bậc Câu 32 Đáp án D cos2 x  sin x   sin x 1  sin x  sin x.cos x  cos2 x  1 - Với cos x   sin x   1   1 vô lí - Với cos x  chia hai vế cho cos2 x ta được: 1  tan x    tan x     tan x  2tan x  t   x  k  tan x     k    x    k  tan x   3  Vậy số điểm biểu diễn nghiệm đường tròn lượng giác Câu 33 Đáp án C 2cos2 x  5sin x.cos x  cos2 x  m    cos x  2cos x   5sin x.cos x  m 5  cos x  sin x   3cos x  m  sin x  2cos x  m  2 2 5 Phương trình có nghiệm      2    m  3 2 41 41  m3  41 41 41 41   m3  3 m 3 2 2 Mà m    m 0;1;2;3;4;5;6   m  3  Vậy có giá trị m thỏa mãn Câu 34 Đáp án B Phương trình sin x  cos x  4sin x  * -Với cos x   sin x  1 khơng thỏa mãn phương trình -Với cos x  , chia hai vế phương trình cho cos3 x ta *  tan x 1  tan x    tan x  tan x   3tan3 x  tan x  tan x    tan x   sin x  cos x  Câu 35 Chọn đáp án B Điều kiện cos x  Phương trình  tan x    tan x  tan x  tan x   x  k  tan x     k    x   k  tan x   Vây só nghiệm  0;2  111 Câu 36 Đáp án C 2sin x  sin x.cos x  m cos2 x  11    Trên   ;   cos x   4 1  2tan x  tan x  m  tan x   m  tan x  tan x     Đặt tan x  t  t   1;1 x   ;   4 u cầu tốn tìm m để phương trình m  f  t   t  t  có nghiệm  1;1    Phương trình 1 có nghiệm  m    ;1   Vậy có giá trị nguyên m thỏa mãn Phƣơng trình đối xứng phƣơng trình lƣợng giác không mẫu mực Câu 37 Đáp án C sin x  cos x  sin x  1  sin x  cos x  2 sin x.cos x    Đặt t  sin x  cos x  sin  x    t   2;  4    t   2sin x.cos x  2sin x.cos x  t   1  t  t    t   2t  t     t         sin  x     sin  x    + Với t  4 4 2         x    k 2  x   12  k 2   k   7  5 x   x   k 2  k 2 6         + Với t    sin  x      sin  x    1  x     k 2 4 4   3 x  k 2  k   Vậy có điểm biểu diễn nghiệm Câu 38 Đáp án D   sin x  sin  x    m    2sin x.cos x  sin x  cos x  m   4  112   Đặt t  sin x  cos x  sin  x     t   2;  2sin x.cos x  t  Phương trình  m  t  t * có nghiệm   2;  Xét hàm số f  t   t  t   2;   1 Phương trình * có nghiệm  m     2;  4  Vậy giá trị m3; 2; 1;0 thỏa mãn Câu 39 Đáp án A  Điều kiện sin x   x  k  k     cos x  cos x sin x   sin x  cos x Phương trình  sin x cos x  cos2 x  sin x  sin x.cos x  sin x  cos x    sin x  cos x  sin x.cos x  sin x  cos x   sin x  cos x  1  sin x.cos x  sin x  cos x       Giải 1  sin  x     x    k  k    4   1 t2  Giải   Đặt t  sin x  cos x  sin  x    t   2;  , sin x.cos x  4  t    tm  1 t2  t   t  2t      2  t    l    1 1  sin  x    Vậy t  4 2  Câu 40 Chọn đáp án B Cách 1: Điều kiện để phương tình tan x  cot x  t có nghiệm: t  tan x  cot x  tan x  cot x  tan x.cot x   t   ; 2   2;   Cách 2: Phương trình tan x   t  tan x   có nghiệm tan x  tan x  t.tan x   có nghiệm     t2    t  0  t.0   Câu 41 Đáp án C 3tan x  4tan x  4cot x  3cot x     tan x  cot x   3 tan x  cot x       4t  t     3t  4t   Câu 42 Đáp án A 113 cos x  cos3x  2cos5x    cos5x  cos x    cos5x  cos3x    2cos3x.cos2 x  2cos4 x.cos x   4cos3 x  3cos x cos x  cos x.cos x       cos x  4cos x  3cos x cos x  cos x    cos x  2cos x  1 cos x  2cos 2 x  1     cos x 4cos2 x  cos x   cos x    17 cos x      x   k  k    x   arccos  17  k 2  Vậy m   17 Câu 43 Đáp án C sin3x  sin x  sin x   2cos2 x.sin x  2sin x.cos x   sin x 2cos2 x  cos x        x  k sin x    cos x  1   x    k 2  k        x    k 2 cos x    Vậy có điểm biểu diễn nghiệm đường trịn lượng giác Câu 44 Đáp án A      cos  x         cos x      sin x  cos  x         4 2              1  cos x   1  cos    2 x     2    1  cos x   1  sin x   2   2cos2 x  cos2 x   2sin x  sin 2 x    2cos2 x  2sin x        sin x  cos x   sin  x     sin  x    sin 4 4    x  k   k    x   k  Vậy phương trình có nghiệm thuộc  2 ;3  Câu 45 Đáp án B cos3 x.sin3x  sin3 x.cos3x  sin3 x 114 cos3x  3cos x 3sin x  sin 3x sin 3x  cos3x  sin x 4   sin 3x.cos x  sin x.cos3x   sin x   sin x  sin x  sin12 x   x  k  k   12  Vậy phương trình có 24 nghiệm 0;2  Câu 46 Đáp án B x 3x x 3x cos x.cos cos  sin x.sin sin  2 2 1  cos x  cos x  cos x   sin x  cos x  cos x   2  cos x  cos x  cos x    sin x  sin x.cos x   cos x  sin x  cos x   sin x  sin x  cos x       sin x  cos x   2sin x  sin x     x    k     tan x  1  x    k 2 sin x  cos x   sin x  1    k       2sin x  sin x   x   k  sin x     5  k 2 x   Suy có hai nghiệm thuộc   ;0   Vậy tích hai nghiệm 2    Câu 47 Đáp án A sin5x.cos3x  sin x.cos5x  sin8x  sin x  sin12 x  sin x k  x  12 x  x  k 2  sin8 x  sin12 x    k      12 x    x  k 2 x  k 20 `10  Câu 48 Đáp án D sin x  x  k    3 Điều kiện   3   k   sin x   k   x        Ta có 3         sin  x   sin  x       sin  x    sin   x   cos x   2 2    2    7      sin   x   sin  2   x    sin   x    sin x  cos x      4  1   2  sin x  cos x  Phương trình  sin x cos x     sin x  cos x   2 20  sin x.cos x  115      x    k  sin x  cos x   sin  x             x    k  k    sin x cos x      2  sin x    x  5  k    3 3  Vậy tổng nghiệm âm liên tiếp lớn    8 Câu 49 Đáp án A  Ta có sin x8  x    sin8 x  cos8 x  , mà   cos x  Vậy phương tình cho vơ nghiệm Câu 50 Đáp án A tan x  2sin x  2tan x  2 sin x        tan x  tan x   2sin x  2 sin x     tan x  1    2 sin x    tan x      x   k 2  k    sin x    Vậy phương trình có nghiệm  0;2  Câu 51 Đáp án C 3 x x 3 3x 9    t    3t Đặt t  10 2 10 10 Phương trình  sin t  sin   3t   2sin t  sin3t  2sin t  3sin t  4sin3 t  sin t  2cos 2t  1  3   x   k 2 t  k sin t   14  1   x   k 2  k    t    k 2 cos 2t      x  4  k 2  Vậy phương trình có nghiệm thuộc  0;2  Câu 52 Đáp án B  sin x  2cos x    sin x  sin x  2 cos x   2sin x.cos x   sin x    cos x   sin x    3  x  k 2  k    cos x    Câu 53 Đáp án B sin x  Điều kiện cos x   tan x  1 116 cos x  sin x cos x  sin x   sin x  sin x  cos x  cos x  sin x sin x cos x  cos x  sin x  sin x.cos x  cos x  sin x   sin x  cos x  sin x  Phương trình      cos x  sin x   sin x cos x  sin x  sin x  cos x   cos x  0 1  sin x    tan x  1 tm     x   k  k    sin x  cos x     Câu 54 Đáp án B  Điều kiện sin x   sin x   cos x  1 cos x  cos x sin x   4sin x  sin x cos x sin x 2  2cos2 x  4sin x   2cos x  cos2 x   cos x  1 l   cos x    Phương trình  2   k 2  x    k  k    3 Vậy phương trình có nghiệm  0; 2   2x   Câu 55 Đáp ánC 2sin 2 x  sin x 1  sin x  2sin 2 x 1  sin x  sin x   2cos x  2cos x.sin 3x   2cos x 1  sin 3x   cos x   1  sin 3x  Vậy ta chọn đáp án C Câu 56 Đáp ánD 2sin x 1  cos x   sin x   2cos x  2sin x 1  cos x  1  sin x   2cos x  4sin x.cos2 x  sin x   2cos x  2sin x.cos x  sin x   2cos x   2cos x  1 sin x  1   cos x    sin x   Vậy ta chọn đáp án D Câu 57 Đáp ánA 117 Điều kiện: cos 2x   x   k  Phương trình  6sin x  2cos x  5sin 2x.cos x  3sin x  cos3 x  5sin x.cos3 x  * - Với cos x  : Khơng thỏa mãn phương trình * - Với cos x  : Chia hai vế cho cos3 x ta được: *  3tan x 1  tan x    tan x   3tan3 x  tan x 1    tan x   x   k Kết hợp với điều kiện  Phương trình vơ nghiệm Câu 58 Đáp ánA  Điều kiện: cos x   x   k ; k   Phương trình  sin x.cos x  sin x  2sin x.cos x.cos x  sin x   4sin x.cos2 x.cos x  sin x    4cos2 x.cos x  1 sin x   sin x   sin x  1    cos x    2cos x  2cos x    cos x  1  VN     x  k  k    x   arccos 1   k   2  mn  1  3   2 Câu 59 Đáp ánB Điều kiện: cos x   x    k ; k   PT:  cos 2x  tan x   cos x  1  tan x  cos x  1  cos x  cos x     cos x   2  x    k 2  2   x k k     x    k 2 3  118 Mà x  1;70    k 2  70 3 105  k  2   k 0;1; 2; ;32}  Vậy PT có 33 nghiệm 1;70 Phƣơng trình lƣợng giác chứa tham số Câu 60 Đáp ánC  2sin x  1sin x  m  * có nghiệm thuộc  0;    sin x   1    sin x  m     Giải 1  sin x  sin     6    x    k 2  k    x  7  k 2   PT (1) khơng có nghiệm thuộc  0;    (*) có nghiệm   0;    sin x  m có nghiệm   0;    m   0;1 Chú ý: Độc giả giải cách khác sau: Có sin x   0;1 x   0;    sin x  m  m   0;1 Câu 61 Đáp ánA    PT  2cos x  1 2cos 2x  2cos x  m    4sin x có hai nghiệm    ;   2   cos x  1  cos x   cos x  m    cos x  1 cos x  1   cos x  1  cos x   m    cos x  (1)  cos x      cos x  m  (2)  cos x  3  m   Giải (1): cos x  có hai nghiệm thuộc      ;  119    => Phương trình có hai nghiệm thuộc   ;   2  (2) vô nghiệm (2)  cos x    m3   m   m3      m  3   m  m 3    4 Vậy có giá trị m thỏa mãn Chú ý: cos2 x  0;1 x  R Câu 62 Đáp án C cos x  sin x  3cos x  m  5(*)  cos x    cos x  3cos x  m    cos x  3cos x  m  Đặt cos x  t   1;1 , phương trình  t  3t  m  Bảng biến thiên: => Phương trình (*) có nghiệm  2  m    7  m  1 Vậy a + b = -8 Câu 63 Đáp án B m m sin x   m  1 cos x  (*) cos x Điều kiện: cos x  *  m sin x cos x   m  1 cos2 x  m m m 1 sin x  1  cos x   m 2  m sin x   m  1 cos x  m  1(1)  + Từ m = *  cos x  loại điều kiện  m  phương trình (*) vơ nghiệm + Với m  => (*) có nghiệm (1)  m2   m  1   m  1 2  m  4  m  4m    m  Vậy có giá trị m thỏa mãn 120 Câu 64 Đáp án B cos x   2m  1 s in  m     2sin x  2m sin x  sin x  m    2sin x  m  s inx    m  s inx    s inx  (1)    s inx-m  2sin x  1    s inx  m(2)    Giải (1): s inx  ln có nghiệm    ;      m phương trình có nghiệm Câu 65 Đáp án D  tan x  tanx  cot x  m sin x  1  cot x   tan x  tan x  cot x   m  Đặt   tan x  cot x   tan x  cot x   m  t  tan x  cot x  t   tan2 x  cot x t   => Yêu cầu toán trở thành tìm m để phương trình  t    t   m  có t  2 nghiệm t   ; 2   2;    m  3t  t  có nghiệm t   ; 2   2;   Bảng biến thiên: => Phương trình có nghiệm  m  Vậy có 2011 giá trị m nhỏ 2018 sin x  2sin x cos x  + Với cos x    1  m   m   m  cos x  cos x   1 121 122