Đs chương 1 lượng giác

CHỦ ĐỀ: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BÀI: GĨC LƯỢNG GIÁC VÀ CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC A LÝ THUYẾT Giá trị lượng giác cung α Ð Ð Trên đường trịn lượng giác (hình 1.1) cho cung AM có sđ AM  : Hình 1.1 M  x; y  với tung độ M y OK , hoành độ x OH ta có: sin  OK cos  OH sin  cos  tan   ;  cos  0  cot   ;  sin  0  cos  sin  Các giá trị sin  , cos  , tan  , cot  gọi giá trị lượng giác cung  Các hệ cần nắm vững Các giá trị sin  ; cos  xác định với    Và ta có: Gọi sin    k 2  sin  , k  ; cos    k 2  cos  , k    sin  1 ;  cos  1     k ,  k   tan  xác định với  k ,  k   cot  xác định với Ð Dấu giá trị lượng giác cung  phụ thuộc vào vị trí điểm cuối cung AM  đường trịn lượng giác (hình 1.2) Hình 1.2 Ta có bảng xác định dấu giá trị lượng giác sau Góc phần tư I II III IV Giá trị lượng giác cos  + + + + sin  tan  + + cot  + + Ở hình 1.3 cách nhớ khác để xác định dấu giá trị lượng giác Công thức lượng giác Công thức Cung đối sin   x   sin x sin x  cos x 1 tan x   cos x cot x   sin x Công thức cộng sin  x  y  sin x cos y cos x sin y cos   x  cos x tan   x   tan x Cung bù sin x sin    x  cos x  cos  x    cos  x  y  cos x cos y sin x sin y tan x tan y tan  x y   tan x tan y Công thức đặc biệt     sin x  cos x  sin  x    cos  x   4 4   tan x tan  x        sin x  cos x  sin  x    cos  x   4 4   Góc nhân đơi Góc chia đơi sin x    cos x  cos x    cos x  Góc chia ba sin x   3sin x  sin x  cos3 x   3cos x  cos x  sin x 2sin x cos x cos x 2 cos x  1  2sin x cos x  sin x Góc nhân ba sin 3x 3sin x  4sin x cos x 4 cos3 x  3cos x tan x  tan x tan 3x   tan x STUDY TIP Ở từ công thức góc nhân đơi, góc nhân ba ta suy cơng thức góc chia đơi, chia ba mà khơng cần nhớ nhiều cơng thức Biến đổi tích thành tổng cos x cos y   cos  x  y   cos  x  y   sin x sin y   cos  x  y   cos  x  y   sin x cos y   sin  x  y   sin  x  y   Biến đổi tổng thành tích x y x y cos x  cos y 2 cos cos 2 x y x y cos x  cos y  2sin sin 2 x y x y sin x  sin y 2sin cos 2 x y x y sin x  sin y 2cos sin 2 Giá trị lượng giác cung đặc biệt  (độ)  (radian ) sin  0 30 45 60 90     2 1 tan  3 3 2 cos  2 2 Không xác định 180  STUDY TIP Từ bảng giá trị lượng giác cung đặc biệt bên ta thấy quy luật sau để độc giả nhớ giá trị lượng giác cung đặc biệt:  30 45 60 90 sin  Các giá trị tử số tăng dần từ đến 2 Ngược lại giá trị cos , tử số giảm dần từ BÀI:HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A LÝ THUYẾT y cos x Hàm số y s inx hàm số Quy tắc đặt tương ứng số thực x với sin góc lượng giác có số đo rađian x gọi hàm số sin , kí hiệu y s inx cosin  cos  Quy tắc đặt tương ứng số thực x với góc lượng giác có số đo rađian x y  cos x gọi hàm số cos , kí hiệu Tập xác định hàm số y sinx; y cos x  a) Hàm số y sinx Nhận xét:Hàm số y sinx hàm số lẻ hà số có tập xác định D  đối xứng  sinx sin   x  Hàm số y sinx tuần hồn với chu kì 2 Sự biến thiên:    ;   Sự biến thiên hàm số y sinx đoạn  biểu thị sơ đồ (hình 1.4) phía dưới: Bảng biến thiên:    ;   Từ ta có bảng biến thiên hàm số y sinx đoạn  sau: STUTY TIP Khái niệm: f  x Hàm số xác định D gọi hàm tuần hoàn tồn số T 0 cho với x  x  T  D; x  T  D  f (x  T )  f  x  D thuộc ta có  T Số dương nhỏ (nếu có) thỏa mãn tính chất gọi chu kì hàm tuần hoàn Đồ thị hàm số: Nhận xét:Do hàm số y sinx hàm số lẻ  tuần hồn với chu kì 2 nên vẽ đồ thị  0;   hàm số y sinx  ta cần vẽ đồ thị hàm số đoạn  , sau lấy đối xứng đồ thị    ;   qua gốc tọa O , ta đồ thị hàm số y sinx đoạn  , cuối tịnh tiến đồ thị vừa thu sang trái sang phải theo trục hoành ta đoạn có độ dài 2 ; 4 ,   y  sinx Hàm số đồng biến khoảng  STUDY TIP   ; 2  Do tính chất tuần hồn với chu kì 2 , hàm       k2 ;  k2  ,k  Z   số y sinx đồng biến khoảng  y  sinx Tương tự ta suy hàm số nghịch biến  3    k2 ;  k2  ,k  Z   GHI NHỚ Hàm số y sinx : - Có tập xác định    1;1 - Có tập giá trị  - Là hàm số lẻ - Đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng - Có đồ thị đường hình sin - Tuần hồn với chu kì 2        k2 ;  k2  ,k    - Đồng biến khoảng   3    k2 ;  k2  ,k    - Nghịch biến khoảng  y  cos x b) Hàm số khoảng   cos x sin  x    nên cách tịnh tiến đồ thị hàm số y sinx sang trái đoạn có  Ta thấy  y cos x độ dài , ta đồ thị hàm số Bảng biến thiên hàm số Đồ thị hàm số y cos x    ;   y cos x : STUTY TIP y cos x đồng biến khoảng    ;0  Do tính chất tuần hồn với chu kì 2 , hàm số Hàm số y cos x đồng biến khoảng     k2 ; k2  , k   y cos x nghịch biến khoảng  k2 ;   k2  ,k   Tương tự ta suy hàm số GHI NHỚ y cos x : Hàm số - Có tập xác định  - Là hàm số chẵn -Là đường hình sin     k2 ; k2  ,k    k2 ;   k2  ,k   - Nghịch biến khoảng - Đồng biến khoảng Đọc thêm Hàm số vì: y a.sin   x  b   c,  a,b,c,    ,a 0  hàm tuần hoàn với chu kì sở 2    a.sin   x  T   b  c a.sin   x  b   c, x    a.sin   x  b  T  a.sin   x  b  , x   2 , k     Và đồ thị đường hình sin y a.cos   x  b   c,  a,b,c,    ,a 0  Tương tự hàm số hàm tuần hoàn với chu 2  kì sở đồ thị đường hình sin Ứng dụng thực tiễn:Dao động điều hịa mơn Vật lý chương trình 12 Hàm số y tan x hàm số y cot x  T k2 ,  k     T k trục côtang B S M + T x A' O A trục tang B' Hình 1.7   sin x D1  \   k k   tan x  x  D 2  , quy tắc đặt tương ứng số với số thực cos x Với D gọi hàm số tang, kí hiệu y tan x Hàm số y tan x có tập xác định cos x cot x  x  D với số thực sin x Với , quy tắc đặt tương ứng số D gọi hàm số cơtang, kí hiệu y cot x Hàm số y cot x có tập xác định D2  \  k k   Nhận xét: - Hai hàm số y tan x hàm số y cot x hai hàm số lẻ - Hai hàm số hai hàm số tuần hồn với chu kì  a) Hàm số y tan x t B H A' O A x K M B' + T Hình 1.8   Sự biến thiên: Khi cho tăng từ đến điểm M chạy đường tròn lượng giác theo chiều dương từ B đến B (không kể B B ) Khi điểm T thuộc trục tang  x  OA, OM  cho AT tan x chạy dọc theo At , nên tan x tăng từ   đến  (qua giá trị x 0 ) Giải thích: tan x  AT tan x  MH AT AT    AT OH OA       k ;  k  , k     Nhận xét: Hàm số y tan x đồng biến khoảng  Đồ thị hàm số y tan x nhận đường thẳng  x   k ,  k   làm đường tiệm cận Đồ thị hàm số:    \   k k   2  tuần hoàn với chu kì  Nhận xét:Do hàm số y tan x hàm số lẻ    \   k k   2  ta cần vẽ đồ thị hàm số nên vẽ đồ thị hàm số y tan x    0;  , sau lấy đối xứng đồ thị qua gốc tọa độ O , ta đồ thị hàm số y tan x    0;  , cuối tịnh tiến đồ thị vừa thu sang trái sang phải theo trục hồnh Hình 1.9 STUDY TIP  x   k ,  k   Hàm số y tan x nhận đường thẳng làm đường tiệm cận GHI NHỚ Hàm số y tan x :   D1  \   k k   2  - Có tập xác định - Là hàm số lẻ - Là hàm số tuần hoàn với chu kì  - Có tập giá trị         k ;  k  , k    - Đồng biến khoảng   x   k ,  k   - Đồ thị nhận đường thẳng làm đường tiệm cận b) Hàm số y cot x D  \  k k   Hàm số y cot x có tập xác định hàm số tuần hoàn với chu ki  Tương tự khảo sát hàm số y tan x ta vẽ đồ thị hàm số y cot x sau: 10