1 1 dự đoán số hạng tổng quát và chứng minh bằng quy nạp

1.1 DỰ ĐOÁN SỐ HẠNG TỔNG QUÁT VÀ CHỨNG MINH BẰNG QUY NẠP Bài u1  11 Cho dãy số  un  xác định :  Xác định số hạng tổng quát un 1  10un   9n, n  N dãy cho Hướng dẫn giải Ta có: u1  11  10  u2  10.11    102  100  u3  10.102   9.2  1003  1000  Dự đoán: un  10n  n 1 Chứng minh theo quy nạp ta có u1  11  101  , công thức 1 với n  Giả sử công thức 1 với n  k ta có uk  10k  k Ta có: uk   10 10k  k    9k  10k 1   k  1 Công thức 1 với n  k  Vậy un  10n  n , n  N Bài u1  2 Cho dãy số (un ) biết  Xác định số hạng tổng quát dãy un  3un1  1, n  Hướng dẫn giải un  3un1   un  Đặt  un  1  3un1   un   3(un1  )(1) 2 2 1 5  v1  u1   2 (1)   3vn1 , n  Dãy (vn ) cấp số nhân với công bội q  Nên  v1.q n 1  Do un   Bài 5 n 1 5 n1   , n  1, 2, 2 3 n4  * Cho dãy số  un  xác định u1  1; u n1   un   , n   Tìm cơng thức số hạng 2 n  3n   tổng quát un dãy số theo n HƯỚNG DẪN GIẢI Với n  * , ta có 2un1  3(un   2(un1  n4 )  2un 1  3(un   ) (n  1)(n  2) n  n 1 3 3 )  3(un  )  un1   (un  ) n2 n 1 n2 n 1 Dãysố (vn ),  un  3    2 Bài n 1 3 cấp số nhân có công bội q  v1   n 1 2 13  1    , n  *  un     n 1    2 n 1 , n  * Cho hàm số f : Z   Z  thỏa mãn đồng thời điều kiện: (1) f  n  1  f  n  , n  Z  (2) f  f  n   n  2000 , n  Z  a/Chứng minh: f  n  1  f  n  , n  Z  b/Tìm biểu thức f  n  HƯỚNG DẪN GIẢI Câu a Vì f  n   Z  nên từ giả thiết (1) ta được: f  n  1  f  n   , n  Z  Kết hợp giả thiết (2) ta n  Z  n  2001   n  1  2000  f  f  n  1  f  f  n    n  2001 đó: f  n  1  f  n   , n  Z  Câu b f  n   f 1  n –1, n  Z   f  f 1  f 1  f 1 –1 , Suyra:  2000  f 1 –1  f 1  1001  f  n   n  1000, n  Z  Thử lại thỏa điều kiện, nên f  n   n  1000, n  Z  Bài a)Xác định ba số hạng đầu cấp số cộng, biết tổng chúng tổng bình phương chúng 125 b)Cho dãy số  un  u1  16  có  Tìm số hạng tổng quát un 15  n.un  1 u  14  ,  n   n 1 n 1  Hướng dẫn giải a)Xác định ba số hạng đầu cấp số cộng, biết tổng chúng tổng bình phương chúng 125 Gọi d công sai, số hạng thứ a Khi số hạng đầu csc a  d , a, a  d a  d  a  a  d  Theo giả thiết ta có hệ:  2  a  d   a   a  d   125 3a   2 3a  2d  125 a   d  7 Vậy có cấp số thỏa mãn có số hạng đầu là: -4;3;10 10;3;-4 b)Cho dãy số  un  Ta có: un1  14  u1  16  có  Tìm số hạng tổng quát un 15  n.un  1 , n  un 1  14  n 1  15  n.un  1   un 1  14  n  1  15  n.un  1 n 1   n  1 un1  15nun  14n  (1) Đặt  nun   v1  16  (1) trở thành: vn1  15vn  14n   vn1   n  1  15   n  (2) Đặt w n   n   w1  15 (2) trở thành: wn1  15wn   w n  csn có w1  15, q  15  w n  15n Từ ta có: un  Bài 15n  n n Cho dãy số  un  xác định : u1  1; u2  4; un2  7un1  un  2, n   * Chứng minh : un số phương với n nguyên dương Hướng dẫn giải Ta có u1  1; u2  4; u3  25 Đặt un   18 123 v1  ; v2  ; v3  5 5 Khi un2  7un1  un  2, n   *  vn  2  2    vn1        2, n   * 5  5   vn2  7vn1  , n   * Ta có : vn2  vn21  (7vn1  ).vn  vn21  vn1 (7vn  vn1 )  vn2  vn1vn1  vn2 Suy : vn  vn21  vn1vn1  vn2    v3v1  v22  ; n   * 2  4  2  2  2  Suy :  un     un     un 1     un 2un   un  un     un21  un 1    25  25  5  5  5   un 2un   7un1    un21  un1   un2un  un21  2un1   (un1  1)2 ; n   * 5 Từ hệ thức un2un  (un1  1) ; n   * u1 ; u2 số phương suy un số phương với n nguyên dương Bài Cho dãy số n xn   i 1 an n1  tăng, an  n  1, 2,3,   Xét dãy số  xn n1  xác định 1  Chứng minh tồn lim xn n  1ai Hướng dẫn giải Dễ dàng thấy dãy  xn n 1 tăng ngặt  Trường hợp Nếu   1  1 1          xn   dãy  xn n 1   1 1ai ai 1ai ai 1 a1 bị chặn tồn lim xn n  Trường hợp Nếu    1   1        * *   ai11  1    ai1  ai  1ai   ai 1   1 ai1  ai    1 ** Ta chứng minh (**) 1  Xét hàm số f  x   x Trên đoạn  ; 1  rõ ràng hàm số thoả mãn điều kiện định lí Lagrăng nên tồn số c   ; 1  thoả mãn f '  c   ai1  ai a  a  a  a   c 1  i 1 i   ai11  i 1 i đpcm 1  ai 1  ai 1  Từ ta có  xn  Bài   dãy  xn n 1 bị chặn đótồn lim xn  n   a1 Cho dãy số  xn  xác định : x4  xn1  xn  1 n  2   n  3   n       n  1, với n  Tính giới hạn lim n  xn n4 Hướng dẫn giải Ta có: 1 n     n  3   n     n     n  1  1   n      n  1  3    n    n  1   n     n  1 1      n    12  22  32    n      =  n  1  n   n  1   n   n  1 2m  3  n  n  1 n   Do ta suy : xn1  xn  Ta chứng minh n  n  1 n    xn  Cn3 * xn  Cn4 Thật với n  , ta có x4   C44 Giả sử với n  ta có : xn  Cn4 Ta có : xn1  xn  Cn4 theo (*) hay xn1  xn  Cn3  Cn4  Cn3  Cn4 xn n!  lim  4 n  n n  4! n   ! n lim Bài 1  Cho hàm số f :  0;     0;   thỏa mãn điều kiện f  3x   f  f  x    x với x  2  Chứng minh f  x   x với x  Hướng dẫn giải 1  Ta có: f (3x)  f  f (2 x)   x (1) 2    2x   2x 2x  f ( x)  , x  (2) Từ (1) suy f ( x)  f  f        1 Khi f ( x)  f  2  2x   2x f       3  2x  2x f      3 Xét dãy (an ) ,  n  1, 2, xác định sau: a1   2x  2x   f     x    27  2 an 1  an2  3 Ta chứng minh quy nạp theo n với n  * ln có f ( x)  an x với x  (3) Thật vậy, n  theo (2), ta có (3) Giả sử mệnh đề (3) với n  k Khi   2x   2x 2x 2x  2x  2x f ( x)  f  f      a f    a a     k   k k a2   k x  ak 1.x Vậy (3) với n  k  Tiếp theo ta chứng minh lim an  Thật vậy, ta thấy an1  an  (an  1)(an  2)  , suy dãy (an ) tăng ngặt an  n  * Do đó: Dãy (an ) tăng bị chặn nên hội tụ Đặt lim an  l l  l  với l  , suy l  Vậy 3 lim an  Do từ (3) suy f ( x)  x với x  (đpcm) Bài 10 Tìm tất hàm số f :    thỏa mãn đồng thời điều kiện sau f  x  y   f  x   f  y  với x, y   f  x   e x  với x   Hướng dẫn giải f  x    f  x   f  0  f    f    e0   f    f  x   x   f  x   f  x   f  x   f  x    x f  x  f    2 1  x   x f     e  1 2    2x   4x   x  x f  x    e  1  f  x   f    f     e  1 2 2      xn  Dùng quy nạp theo n  1, 2, ta CM f  x   2n  e  1    x0n  Cố định x0   ta có f  x0   2n  e  1      x0n  Xét dãy an  2n  e  1 ta có:      x0n   e 1  lim an  lim  x0   x0 x0  n    Vậy f  x0   x0 x0   Vậy f  x   f   x   x    x    2 3 Kết hợp (1) (3) ta f  x   f   x   Từ (2)  f   x    x  f  x   x ta thấy Vậy  4 Kết hợp (2) (4) ta f  x   xx   Thử lại f  x   x f  x  f  x  x   x  3 Kết hợp (1) (3) ta f  x   f   x   Từ (2)  f   x    x  f  x   x  4 Kết hợp (2) (4) ta f  x   xx   Thử lại f  x   x ta thấy 2015  x   2016  Bài 11 Cho dãy số xác định  Chứng minh dãy số cho có giới hạn  x  x   xn  , n  n    n 1  n hữu hạn Hướng dẫn giải Trước hết, quy nạp, ta dễ dàng có xn  n  dãy số cho dãy tăng Ta có : x2  x1  x12  x1 ; x22 x3  x2   x1  x12  3x1 ; xk2 Giả sử xk  kx1 với k  Ta có: xk 1  xk   kx1  x12  (k  1) x1 k Theo nguyên lý quy nạp ta có xn  nx1 n  Ta xm  m  m  2017 thật có : mx1  m   m 1  x1    m  : 1 m  m  2016 ; 2015  x1 1 2016 Do xm  mx1  m  xn2 x x x 1 1 1  n 1 n  n  n     Ta có với n   xn xn 1 xn xn 1 xn xn 1 n xn 1 n n(n  1) n  n Do n  2018  i 0 n  2018 x2017 1 1         2016  i 2017  i  2016 n  2016 Suy 2016 x2017 1     xn  xn x2017 2016 2016  x2017 Vậy dãy cho tăng bị chặn nên có giới hạn hữu hạn u1  1; u2   Bài 12 Cho dãy số (un ) xác định sau  u  u  u  n  n 1 n n 1   2 a) Xác định số hạng tổng quát un b) Tính lim un n  Hướng dẫn giải  n 2018  1     xn x2018i i   x2017  i    Biến đổi ta được: un 1  un  1  un  un1  với vn1  un1  un đó: vn1  , n  2 nghĩa dãy v2 , v3 , , cấp số cộng v2  1; q   un  un 1  1  un 1  un     un  u1  v2  v3    v2  u2  u1 n2 n2  1  1  un   1              2    n   lim un  lim        x  x    2  Bài 13 Cho dãy số  un  xác định sau u1  2011; un1  n2  un1  un  , với n  * , n  Chứng minh dãy số  un  có giới hạn tìm giới hạn Hướng dẫn giải Từ cơng thức truy hồi dãy ta       1    un  1   un 1  1   1  u        1   u1 n    2  n   n    n  1   n    n  1    Do un   n  1 n  1  n   n 4.2 3.1 2011  n  2011 Từ n2 2n  n  1 32 22 Bài 14 Cho dãy số  un  xác định  u1   2014, un 1  lim un  un4  20132 , n  * un  un  4026 n , n  * Tính lim u  2013 k 1 Đặt   k Hướng dẫn giải Cho dãy số  un  un4  20132 , n  * xác định  u1   2014, un 1  un  un  4026 n , n  * Tính lim k 1 u  2013 Đặt   k  un  2013  un  2013 u  20132  2013  Ta có un1  2013  n un  un  4026 un  un2  1  4026 Từ quy nạp ta chứng minh un  2013, n  * 2011  un  2013  un3  2013 un 1  2013  un  2013   un  2013 Từ 1 suy 1 1 1 1      un1  2013 un  2013 un  2013 un  2013 un  2013 un 1  2013 n   1 1    1 Do     uk 1  2013  u1  2013 un1  2013 un1  2013 k 1  uk  2013 Ta chứng minh lim un    u  2013  0, n  * u  4026un  20132  3n Thật vậy, ta có un 1  un  n un  un  4026 un  un  4026 Suy  un  dãy tăng, ta có 2014  u1  u2  Giả sử ngược lại  un  bị chặn  un  dãy tăng nên lim un  a   a  2014 Khi a a  20132  a  2013  2014 (vô lý) Suy  un  khơng bị chặn trên, lim un   a3  a  4026   Vậy lim  lim 1   1  uk 1  2013  Bài 15 Tìm số hạng tổng quát dãy số  un  biết  u1   u   673  un   2(n  2) un 1  (n  4n  5n  2)un  n3  n  , n  1 Hướng dẫn giải Vì un  2(n  2) un1  ( n3  4n2  5n  2)un nên ta có: n3 (n  3)un2  2(n  2)2 un1  (n  2)(n  1)2 un  n3 un  2(n  2)un1  (n  1)2 un n2  n3 un  (n  3)un1  (n  1)un1  (n  1) un n2 Đặt un  n !vn , n  , n  thu (n  3)vn2  (n  3)vn1  (n  1)vn1  (n  1)vn  (n  3)(vn2  vn1 )  (n  1)(vn1  ) Đặt wn   vn1 , n  , n  thu (n  1)wn  (n  1)wn1  (n  1)nwn  n(n  1)wn1 Do (n  1)nwn  n(n  1)wn 1  (n  1)(n  2)wn 2   3.2.w2  6(v2  v1 )  2016 Như wn  2016  1  2016    , n  , n  n(n  1)  n n 1  Từ đó, với n  , n  1, ta có  n 1 1  v1  2016     2016 n 1  n 1    4033n  4031 2(n  1) Vậy un  n ! 4033n  4031 , n  , n  2(n  1) 3 n4  * Bài 16 Cho dãy số  un  xác định u1  1; u n1   un   , n   2 n  3n   Tìm cơng thức số hạng tổng quát un dãy số theo n Hướng dẫn giải 3 n4  Vì u n 1   un   nên 2 n  3n   n4 1,5n  u n1  3un    n  3n   n  1 n    u n1  3un   u n1  1,5 1,5  n2 n 1 1,5 1,5  3un  n2 n 1 1,5   1,5     u n 1     un   n2 2 n 1   Đặt  un  1,5 , ta có: 1  n 1 Lại có: v1  u1  1,5  3 là:    2 n 1 1,5   un     là: n 1   n 1 Từ đẳng thức ta có cơng thức tổng quát dãy   Từ ta có công thức tổng quát dãy  un  10   n  1 Bài 17 Cho dãy số  un  xác định u1  un1  3un  với n  a)Xác định số hạng tổng quát dãy số  un  b)Tính tổng S  u12  u22  u32   u2011 Hướng dẫn giải a)Dễ thấy un  0, n  N * Từ un1  3un2   un21  3un2  Đặt  un2 có: vn1  3vn   vn1     1 Đặt xn   ta có: xn1  3xn Từ suy  xn  cấp số nhân với x1  , công bội Nên: xn  2.3n1   2.3n1   un  2.3n1  b) S  2.30  2.31  2.32   2.32010  2011   30  31  32   32010   2011   32011  1 1  2011  32011  2012 Bài 18 Cho dãy số  un  xác định u1  un1  un  2n với n  a)Chứng minh rằng: un  2n  b)Tính tổng S  u1  u2  u3   un theo n Hướng dẫn giải a)Khi n  : u2  u1  21    22  Giả sử uk  2k  với k  1, k  N Ta chứng minh: uk 1  2k 1  Thật vậy: uk 1  uk  2k  2k   2k  2k 1  b) S   21  1   22  1    2n  1  21  22   2n  n S  2n   n  2n 1  n  1 u1   Bài 19 Cho dãy số(un) xác định sau:  un   un 1   (  1)un  a) Chứng minh: tan    11 (n  1, n  ) b) Tính: u2015 Hướng dẫn giải a) Ta có:  tan    tan   tan   tan     tan     8  8   tan     tan       tan   (Vì tan dương) 8  tan      tan a  tan    tan(a  )  tan 8  tan(a   ) b) Đặt u1   tan a , ta có: u2   tan(a  ) , u3     8  tan a.tan  tan tan(a  ) 8   Ta chứng minh: un  tan(a  (n  1) ), n  1, n   (*) Với n  : u1  tan a  Giả sử (*) với n  k , k  , hay ta có: uk  tan(a  (k  1) )   tan(a  (k  1) )  tan uk   8  tan(a  k  ) Ta có: uk 1    (  1)uk  tan(a  (k  1)  ).tan  8  Vậy (*) với n  k  Vậy un  tan(a  (n  1) ), n  1, n   Cho n  2015 , ta có:  3 3 u2015  tan(a  2014 )  tan(a   251 )  tan(a  ) 4  1   tan(a  )   (  1)  tan 1 Bài 20 Cho dãy số thực  un  u1   với u2  1 (n  N * ) u  2u  u n 1 n  n2 a) Chứng minh un   2n với n  N * b) Tính tổng S  u1  u2   u2012 Hướng dẫn giải a) Dùng phương pháp qui nạp u1    2.1 , u2   2.2  1 12 Giả sử uk   2k  k  3 Ta có: uk 1  2uk  uk 1  2(3  2k )  (3  2(k 1))   2k   2(k  1) Vậy un   2n với n  N * b) S  (3  2.1)  (3  2.2)   (3  2.2012)  3.2012  2(1    2012)  6036  2013.2012  4044120 Bài 21 Cho dãy số   v1   (n  N * ) với v2  34 v  8v  1996v n 1 n  n2 Tìm số dư chia v2013 cho 2011 Hướng dẫn giải Xét dãy số  un  u1   (n  N * ) với u2  34 u  8u  15u n 1 n  n2 Ta có  un  mod 2011 với n  N * Xét phương trình đặc trưng: t  8t  15  Phương trình có nghiệm t  5, t   un  5 A  3B  có dạng un  A.5n  B.3n Vì u1  5, u2  13 nên  Ta có: A  B  25 A  B  34 Ta có: un  5n  3n Ta có 2011 số nguyên tố Theo định lý Fecma ta có: 52010  1 mod 2011 32010  1 mod 2011 Suy 52013  125  mod 2011 , 32013  27  mod 2011 Vậy chia u2013 cho 2011 ta số dư 152 Suy chia v2013 cho 2011 ta số dư 152  u1  Bài 22 Cho dãy số  un  :  n * u  u  2, (  n   )    n 1 n  a) Chứng minh dãy số  un  dãy số giảm b) Lập công thức số hạng tổng quát dãy số  un  Hướng dẫn giải 13 a) Chứng minh dãy số  un  dãy số giảm Ta có: un 1  un  n ; Chứng minh: un1  un n  * phương pháp quy nạp u1   Ta có:   u2  u1 u2  Giả sử: uk 1  uk ; k   k  Chứng minh: uk   uk 1 Ta có: uk   uk 1 u u 1  k 1  k  k 1  k  k  uk 1 Vậy un1  un n  * 3 b) Lập công thức số hạng tổng quát dãy số  un  Ta có: 3n (2un1  un )   3n1.un1  3n.un  3 Đặt  3n un  , ta được: 1   (vn  6)   vn1  2 v1   Ta được: (vn ) :  cấp số nhân có cơng bội q  * vn 1  , (n   ) 3 Suy ra:  v1   2 Vậy un  n 1 3    2 n 1   1   n  n  n 2  Bài 23 Tìm số hạng tổng quát dãy  xn  biết rằng:   x0  1; x1  5; x2  125 *  2 ( n  N )   xn  xn xn 1   xn 1  xn 1  10 xn 1  xn  Hướng dẫn giải Từ đề ta có: xn  với n  N Ta có: xn  3xn 1 10 xn   với n  N * xn 1 xn xn 1 Đặt yn  xn ta yn2  yn1  10 yn  với n  N * xn 1 Vì phương trình đặc trưng dãy  yn  có hai nghiệm phân biệt 2;5 nên yn  A  2   B.5n với n n  N* 14 x1   y1  x  B   Với  ta có  Suy yn  5n với n  N * A  x   y   25  x1 n 1 n  ( n 1)  1 Ta có xn  xn1  5 5.x0  n n Kết hợp với x0  , ta suy xn  n2  n 5 n2  n với n  N * với n  N  u1  Bài 24 Cho dãy số  un  :  7un  * un 1  , n 2un   a) Chứng minh dãy số  un  dãy số giảm b) Lập công thức tổng quát dãy số  un  Hướng dẫn giải a) Chứng minh dãy số  un  dãy số giảm 19 Ta có: u1  ; u2   u1  u2 Giả sử: uk  uk 1 với k >1 Cần chứng minh: uk 1  uk  Ta có: uk 1  7uk  27 27    uk    2uk  2 2uk  2 2uk 1  Mà uk  uk 1   1  2uk  2uK 1  27 27     uk 1  uk  (điều phải chứng minh) 2 2uk  2 2uk 1  b) Lập công thức tổng quát dãy số  un  Ta có  un  , n  * Xét dãy số xn  xn 1  un  , ta có: x1  un  un 1   un   1     xn  ( xn ) cấp số nhân  xn  n un 1   un   3 un  2.3n   n   3n  1 un  2.3n   un  n un  3 1 15  u1  2016 Bài 25 Cho dãy số  un  :  2015 u  * n u  , n    n 1 2016 a) Chứng minh un  1, n  * b) Lập công thức tổng quát dãy số  un  Hướng dẫn giải a) Chứng minh un  1, n  * Ta có: u1  1 2016 Giả sử: uk  1, (k  1) ; Cần chứng minh: uk 1  Ta có: uk   2015uk   2016  2015uk    uk 1  Vậy un  1, n  * 2016 b)Lập công thức tổng quát dãy số  un  Đặt xn  un  ta có x1   xn1  un1     xn  2015 2016 2015un  2015 2015 1  xn  un  1  2016 2016 2016 n  2015  cấp số nhân  xn      2016  n  2015  * Vậy un     , n   2016   Bài 26 Cho dãy số  un  u1   xác định bởi: u2  u  nu  n  u  2n  4, n    n2 n 1  n a) Tìm số hạng tổng quát dãy  un  b) Tìm số dư chia u2016 cho 2015 Hướng dẫn giải v1   a) Đặt  un  n ta có: v2  v  n(v  n  1)  (n  2)(v  n  2)  3n   nv  n  v , n    n2 n 1 n2 n 1  n Khi  vn1  (n  1)vn1  (n  2)vn2 Lại có: 16  v2  (vn  vn1 )  (vn1  vn2 )   (v4  v3 )  (v3  v2 )  (n  1)vn1  (n  2)vn2   (n  2)vn2  (n  3)vn3    (3v3  2v2 )  (2v2  1v1 )  (n  1)vn1  v1 Do  (n  1)vn1 Hay  (n  1)(n  2)vn2   (n  1)(n  2) 1.v1  (n  1)! Vậy un  (n  1)! n b) Ta có u2016  2015! 2016 chia cho 2015 dư  x1   Bài 27 Xác định công thức số hạng tổng quát dãy số  xn  :  xn 1 , n   xn    xn 1  Hướng dẫn giải Ta có: 1 1    Đặt yn  , ta dãy xn xn 1 xn 1 xn  yn  xác định sau: y1  yn  yn1   yn21      cos  Vì y1   cot  y2  cot   cot   cot  3 2.3 sin Bằng quy nạp ta chứng minh được: yn  cot  n 1  xn  tan 17  n 1 , n  1