Đề học sinh giỏi toán 11 bắc ninh năm 2018 2019

STRONG TEAM TOÁN VD VDC ĐềHỌC SINH GIỎI TOÁN 11 BẮC NINH NĂM HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 BẮC NINH NĂM C SINH GIỎI TOÁN 11 BẮC NINH NĂM I TOÁN 11 BẮC NINH NĂM C NINH NĂM 2019 GIẢI CHI TIẾT HỌC SINH GIỎI LỚP 11- TỈNH BẮC NINH NĂM HỌC 2018- 2019 MƠN TỐN TIME:150 PHÚT Câu (2,0 điểm)Cho hàm số y = ( m - 1) x - 2m - có đồ thị đường thẳng d Ox,Oy Tìm m để đường thẳng d cắt trục hai điểm A B cho tam giác OAB cân (với O gốc tọa độ) Câu (4,5 điểm) 4sin2 x 1) Giải phương trình ỉ 3p ÷ ÷ 3cos2x - 1- 2cos2 ç xç ç ÷ 4÷ è ø =0 2cos 3x + ìï x3 + xy2 + x = 2y3 + y ïï í ïï x + 3y + 2x2 + 5x = 3y3 + 5x2 + 2y + 2) Giải hệ phương trình ïỵ ( ) Câu (4,0 điểm) ìï 3x + - x + ïï x > ï x2 - f ( x) = ïí ïï ( a + 2) x ïï x £ ïỵ 1) Tìm a để hàm số liên tục điểm x = 2) Cho dãy số limun (u ) n xác định u1 = 2019;u2 = 2020;un+1 = 2un + un- , n ³ 2, n ẻ Ơ Tớnh Cõu (2,5 iờm)Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vng ABCD có tâm I Trung điểm cạnh AB M (0;3) , trung điểm đoạn CI J (1;0) Tìm tọa độ đỉnh hình vng, biết đỉnh D thuộc đường thẳng D : x - y + = Câu (4,0 điểm) 1) Cho hình chóp S.ABCD , có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a 3, BC = a SA = SB = SC = SD = 2a Gọi K hình chiếu vng góc B AC H hình chiếu vng góc K SA a) Tính độ dài đoạn HK theo a HK , SO ( a ) di động, b) Gọi I giao điểm hai đường thẳng Mặt phẳng A ¢, B ¢,C ¢, D ¢ SA, SB, SC , SD qua I cắt đoạn thẳng Tìm giá trị nhỏ P = SA ¢.SB ¢.SC ¢.SD ¢ Trang Mã đềHỌC SINH GIỎI TOÁN 11 BẮC NINH NĂM X STRONG TEAM TOÁN VD VDC ĐềHỌC SINH GIỎI TOÁN 11 BẮC NINH NĂM HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 BẮC NINH NĂM C SINH GIỎI TOÁN 11 BẮC NINH NĂM I TOÁN 11 BẮC NINH NĂM C NINH NĂM 2019 ( P ) chứa AH cắt ba cạnh 2) Cho tứ diện ABCD có đường cao AH Mặt phẳng BC ,CD, BD M , N , P ; gọi a; b; g góc hợp AM ;AN ;AP với mặt phẳng ( BCD ) Chứng minh tan2 a + tan2 b + tan2 g = 12 Câu (3,0 điểm) f ( x) = x Chứng minh phương trình có é ù ff x( ) ú= x ë û hai nghiệm phân biệt b - 2b - > 4c phương trình ê có bốn nghiệm phân biệt 1) Cho tam thức f ( x) = x2 + bx + c 2) Cho a,b,c số thực dương thay đổi thỏa mãn (a + b - c) = ab Tìm giá tr nh ổ c ab c2 ữ ỗ ữ P = + +ỗ ữ a + b a2 + b2 ỗ a + b - cữ ố ứ biểu thức 3) Lớp 11 Tốn có 34 học sinh tham gia kiểm tra mơn Tốn để chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi cấp tỉnh.Đề kiểm tra gồm tốn.Biết tốn có 19 học sinh giải được.Chứng minh có học sinh cho tốn hai học sinh giải -Hết - Trang Mã đềHỌC SINH GIỎI TOÁN 11 BẮC NINH NĂM X STRONG TEAM TOÁN VD VDC ĐềHỌC SINH GIỎI TOÁN 11 BẮC NINH NĂM HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 BẮC NINH NĂM C SINH GIỎI TOÁN 11 BẮC NINH NĂM I TOÁN 11 BẮC NINH NĂM C NINH NĂM 2019 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu Cho hàm số y (m  1) x  2m  có đồ thị đường thẳng d Tìm m để đường thẳng d cắt trục Ox, Oy hai điểm A B cho tam giác OAB cân Lời giải Tác giả: Đoàn Thị Minh Hương; Fb: Hương Đoàn y d B O A x Cách 1: Để đường thẳng d cắt trục Ox, Oy hai điểm A B phân biệt khác O m  m 1  2m   A ;0  , B  0;  2m   m    Khi Vì tam giác OAB vuông O nên tam giác OAB cân O  OA OB  2m    2m   m  1  m Vậy m   2;0  m 2  m 0  thỏa yêu cầu toán Cách 2: Để đường thẳng d cắt trục Ox, Oy hai điểm A B phân biệt m 1 m  · Vì tam giác OAB vuông O nên tam giác OAB cân O  OAB 45  m 0 ·  tan OAB 1  m  1    m 2 m   2;0 Vậy thỏa yêu cầu toán luuhanhlqd@gmail Trang Mã đềHỌC SINH GIỎI TOÁN 11 BẮC NINH NĂM X STRONG TEAM TOÁN VD VDC ĐềHỌC SINH GIỎI TOÁN 11 BẮC NINH NĂM HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 BẮC NINH NĂM C SINH GIỎI TOÁN 11 BẮC NINH NĂM I TOÁN 11 BẮC NINH NĂM C NINH NĂM 2019 Câu Tranthithuyduong0710@gmail.com; x 3   4sin  cos x   cos  x     0 cos x  1) Giải phương trình Lời giải Tác giả: Hà Quốc Vũ ; Fb: Hà Quốc Vũ 3   cos x   cos  x     0  1 cos x  cos x    cos 3x   (*) ĐKXĐ: x 3  1  4sin  cos x   cos  x   0   4sin x  3    cos  x    cos x     cos x   0 2   cos x  cos x    sin x 0  sin x  cos x 2 cos x sin x  cos x cos x 2      sin  x   sin   x  3  2       x    x  k 2   x       x  k 2  5   x   k 2   x  5  k 2  5 2   x  18  k   k    x  5  k 2  So điều kiện (*), ta loại nghiệm ) Nhận nghiệm 5 x   k 2 Vậy x x   5 2   5 2 cos   k  k     2   18 18 (Do   5  5 cos    k 2   0    k 2 )    6 (Do  k   Tranthithuyduong0710@gmail.com; Trang Mã đềHỌC SINH GIỎI TOÁN 11 BẮC NINH NĂM X STRONG TEAM TOÁN VD VDC ĐềHỌC SINH GIỎI TOÁN 11 BẮC NINH NĂM HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 BẮC NINH NĂM C SINH GIỎI TOÁN 11 BẮC NINH NĂM I TOÁN 11 BẮC NINH NĂM C NINH NĂM 2019  x  xy  x 2 y  y  3  x  y   x  x 3 y  x  y  Câu2b Giải hệ phương trình Lời giải Tác giả:Trần Thị Thùy Dương; Fb:Thùy Dương 3   x  xy  x 2 y  y  1  3   x  y   x  x 3 y  x  y   2  x 0 x  x 0    x   Điều kiện: Ta có  1   x3  y    xy  y   x  y 0   x  y   x  xy  y  1 0  x y  2  x  xy  y  0  * y  y2  x  xy  y   x    1  0, x, y   ( *) vô nghiệm   Mà nên phương trình 2 ( ) Thay x  y vào phương trình ta được: x  x   x  x 3 x  x  x    x3  3x  5   x  x  3x3  x  x    x  3x     x  3x  5  x  5x  2 x  5x 1  x  x  x  1  x3  3x     x  x  1   x  0   x  5x 1  (3)  x   x  x  0  3   x  x  x x  x         33   33  x 4 (thỏa mãn điều kiện)  (4)  x  x   x x  x   x3  (2 x  5)   x  x  x  2   x   x (2 x  5)  (2 x  5)  x (2 x  5)   x   x (2 x  5)  (2 x  5) 0 2x      x3    (2 x  5) 0    Vậy hệ 2 x  x  0  2 x  0 (khơng thỏa mãn) phương trình    33   33     33   33  ; ;  ;   4 4     Câu3  x; y   Trang Mã đềHỌC SINH GIỎI TOÁN 11 BẮC NINH NĂM X cho có nghiệm STRONG TEAM TỐN VD VDC ĐềHỌC SINH GIỎI TOÁN 11 BẮC NINH NĂM HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 BẮC NINH NĂM C SINH GIỎI TOÁN 11 BẮC NINH NĂM I TOÁN 11 BẮC NINH NĂM C NINH NĂM 2019  3x   x   x2  f ( x )   (a  2) x  1) Tìm a để hàm số x  x 1 liên tục điểm x 1 Lời giải Tác giả: Đàm Thị Lan Anh ; Fb: Đàm Anh Tập xác định D  Ta có: f (1)  a2 ; lim f ( x)  lim x x (a  2) x a   4 ; 3x   x  2( x  1)  lim x x x  ( x  1)( x  1)( x   x 1 x  3)  lim  x  ( x  1)( x   x  3) lim f ( x)  lim Hàm số liên tục x 1 a2 f (1)  lim f ( x)  lim f ( x )    a  x x 4 Vậy a  thỏa mãn yêu cầu toán 2) Cho dãy số limun Tính ( un ) xác định u1 = 2019;u2 = 2020;un+1 = 2un + un- , n 2,n ẻ Ơ Li gii Tác giả:Đinh Công Huấn ; Fb: Đinh Công Huấn Ta có: un 1  2un  un    un 1  un    un  un    * Đặt un 1  un , n 1 v1 u2  u1 1  *  3vn      cấp số nhân cơng bội Ta có: v1 u2  u1 v2 u3  u2 v3 u4  u3 un 1  un cộng vế với vế ta Trang Mã đềHỌC SINH GIỎI TOÁN 11 BẮC NINH NĂM X q  STRONG TEAM TOÁN VD VDC ĐềHỌC SINH GIỎI TOÁN 11 BẮC NINH NĂM HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 BẮC NINH NĂM C SINH GIỎI TOÁN 11 BẮC NINH NĂM I TOÁN 11 BẮC NINH NĂM C NINH NĂM 2019 n   1 1   n 3  1    v1  v2  v3   un 1  u1  v1 un 1  2019  un 1  1       2019 4     n n 3  1  3  1  8079  un         2019  lim un lim        2019          Vậy lim un  8079 Câu4 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vng ABCD có tâm I Trung điểm cạnh AB M (0;3) , trung điểm đoạn CI J (1;0) Tìm tọa độ đỉnh hình vuông, biết đỉnh D thuộc đường thẳng  : x  y  0 Lời giải Tác giả: Lương Đức Tuấn ; Fb:Tuấn Luong Duc A M E H B I J D K C + Gọi cạnh hình vng a + Qua J kẻ đường thẳng song song với cạnh BC hình vng ABCD , đường thẳng cắt cạnh AB , CD hình vng ABCD H K a   MH JK    JH DK 3a JC  AC + Ta có, nên  2 5a  a   3a  JM MH  HJ        4   , + 2 5a  a   3a  JD  JK  DK        4   , 5a a MD MA  AD    a   2 2 2 2 + Có MD  JM  JD nên tam giác JMD vuông J , hay JM  JD  MJ  1;  3 làm vectơ pháp tuyến nên J 1;0   + Đường thẳng JD qua nhận có phương trình tổng qt: x  y  0 Trang Mã đềHỌC SINH GIỎI TOÁN 11 BẮC NINH NĂM X STRONG TEAM TOÁN VD VDC ĐềHỌC SINH GIỎI TOÁN 11 BẮC NINH NĂM HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 BẮC NINH NĂM C SINH GIỎI TOÁN 11 BẮC NINH NĂM I TOÁN 11 BẮC NINH NĂM C NINH NĂM 2019 + Có D   DJ nên tọa độ điểm D nghiệm hệ phương trình  x  y  0   x  y  0 Giải hệ phương trình ta D   2;  1 + Có MD 2  a nên a 4 + Gọi E trung điểm MD Ta có E   1;1 + Gọi A  x ; y  Có A J khác phía với MD  MA  AB 2    x   y  3 4    EA  MD    2   x   y        Ta có   x  y  y  0  2  x  y  x  y  0 (1) (2) Lấy (1)  (2) theo vế ta  x  y  0  x 4  y x 4  y Thay   y vào phương trình (1) ta  y  y  0  y  22 y  21 0  y 3   y 7   A   2;3 (thỏa mãn) + Với y 3 , ta có x  y + Với  7 x   A ;   5  (loại A J phía với MD ) , ta có B 2;3 + Có M trung điểm AB nên tọa độ điểm B    C  xC ; yC  DC  xC  2; yC 1 AB  4;  + Gọi Có ,  xC  4  xC 2    C  2;  1  yC  0 yC    DC  AB Có nên  Vậy  A   2;3 , B  2;3 , C  2;  1 , D   2;  1 Cách 2: Theo đáp án tỉnh Bắc Ninh: Gọi a độ dài cạnh hình vng ABCD 2 a 2 a 2 5a AC a  JD DI  IJ          Ta có 2 2  3a  a 3a a 5a JM  JA  AM  JA AM cos 45      4 2   2 Trang Mã đềHỌC SINH GIỎI TOÁN 11 BẮC NINH NĂM X STRONG TEAM TOÁN VD VDC ĐềHỌC SINH GIỎI TOÁN 11 BẮC NINH NĂM HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 BẮC NINH NĂM C SINH GIỎI TOÁN 11 BẮC NINH NĂM I TOÁN 11 BẮC NINH NĂM C NINH NĂM 2019 5a DM  AM  AD   DM DJ  JM  DMJ vng J 2 Do JM vng góc với JD (1)   D thuộc  nên D(t ; t  1)  JD (t  1; t  1), JM (  1;3) Theo (1)   JD.JM 0   t   3t  0  t   D( 2;  1) a2 DM 2  a   a 4 Dễ thấy Gọi A( x; y ) Vì  AM 2    AD 4 2  x  ( y  3) 4   2 ( x  2)  ( y  1) 16  x  2; y 3    x  ; y  Với A( 2;3) (thỏa mãn)(vì A, J phía so với DM )  B(2;3)  I (0;1)  C (2;  1)  J (1;0) 6 7 A ;   5  (loại) (vì A, J phía so với DM ) Với Vậy tọa độ đỉnh hình vng A(  2;3), B(2;3), C (2;  1), D(  2;  1) Câu 1) Cho hình chóp S.ABCD , có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a 3, BC = a SA = SB = SC = SD = 2a Gọi K hình chiếu vng góc B AC H hình chiếu vng góc K SA a) Tính độ dài đoạn HK theo a ( a ) di Mặt phẳng SA, SB, SC , SD cắt đoạn thẳng b) Gọi I giao điểm hai đường thẳng HK , SO động, qua I A ¢, B ¢,C ¢, D ¢ Tìm giá trị nhỏ P = SA ¢.SB ¢.SC ¢.SD ¢  P  chứa AH cắt ba 2) Cho tứ diện ABCD có đường cao AH Mặt phẳng cạnh BC , CD , BD M , N , P ; gọi  ,  ,  góc hợp AM , 2 AN , AP với mặt phẳng  BCD  Chứng minh tan   tan   tan  12 Lời giải: Tác giả: Nguyễn Thị Hà; Fb: Ha Nguyen Trang Mã đềHỌC SINH GIỎI TOÁN 11 BẮC NINH NĂM X STRONG TEAM TOÁN VD VDC ĐềHỌC SINH GIỎI TOÁN 11 BẮC NINH NĂM HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 BẮC NINH NĂM C SINH GIỎI TOÁN 11 BẮC NINH NĂM I TOÁN 11 BẮC NINH NĂM C NINH NĂM 2019 a) + Ta có AB a 3; BC a  AC 2a BD + Gọi O giao điểm AC BD  BO a + Xét OBC có: OB OC BC a  OBC đều, mà K hình chiếu vng góc B lên AC  BK  OC  K trung điểm OC  AK  3a 2 2 + Xét SOB có: SO  SB  OB  4a  a a + Xét SAK có: S SAK SO AK  HK   SO AK HK SA SA 3a  3a 2a a 9a 27a 3a AH  AK  HK    16 b) + Xét AHK có: 3a 5a  SH SA  AH 2a   4 2 + Từ O kẻ đường song song với HK , cắt SA điểm J a HJ KO  2  a HA AK  HJ 1 HA 1 3a  a 3 4 + Xét AHK có: 5a SI SH   5 SH SI IO HJ a  + Xét SJO có: HJ IO Trang 10 Mã đềHỌC SINH GIỎI TOÁN 11 BẮC NINH NĂM X STRONG TEAM TOÁN VD VDC ĐềHỌC SINH GIỎI TOÁN 11 BẮC NINH NĂM HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 BẮC NINH NĂM C SINH GIỎI TOÁN 11 BẮC NINH NĂM I TOÁN 11 BẮC NINH NĂM C NINH NĂM 2019 + Từ A từ C kẻ đường song song với AC  cắt đường SO điểm D E   + Xét tam giác ADO OEC có: DAO OCE (so le trong) AO OC   DOA EOC (đối đỉnh)  ADO CEO (g.c.g)  DO EO SA SD SC SE   + Trong SAD có: SA ' SI ; SEC có: SC ' SI  SA SC SD SE SD  SE 2SO 12       SA ' SC ' SI SI SI SI SB SD 12   + Tương tự có: SB ' SD ' SA SB SC SD SA SB SC SD    4 SA ' SB ' SC ' SD ' + Áp dụng BĐT Cơ – si ta có: SA ' SB ' SC ' SD '  24 16a 4 SA '.SB '.SC '.SD ' 625  5a   SA '.SB '.SC '.SD '    a 81   + Dấu “=” xảy  SA SB SC SD      SA ' SB ' SC ' SD '  a SA ' SB ' SC ' SD ' Cách 2: Sử dụng định lý Menelauyt: 5a 3a SH AK OI OI 1  1 OI 3a a IS HA KO IS   IS + Ta có: Trang 11 Mã đềHỌC SINH GIỎI TOÁN 11 BẮC NINH NĂM X STRONG TEAM TOÁN VD VDC ĐềHỌC SINH GIỎI TOÁN 11 BẮC NINH NĂM HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 BẮC NINH NĂM C SINH GIỎI TOÁN 11 BẮC NINH NĂM I TOÁN 11 BẮC NINH NĂM C NINH NĂM 2019 + Gọi giao điểm AC  AC M , đặt SA '  x x AM MO x AO x  10a SA ' AM OI 1  1     2a  x MO AM 10a  x AM 10a  x + Ta có: A ' A MO IS  MC x  10a x  10a 2 1  AM 10a  x 10a  x SA ' AM CC ' x 10a  x CC ' CC ' x  10a 1  1   2a  x x  10a C ' S C 'S 5x + Ta lại có: SA MC C ' S CS 12 x  10a   C 'S 5x SA SC 2a 12 x  10a 12     5x + Khi đó: SA ' SC ' x + Các bước làm tương tự cách  P  chứa AH cắt ba 2) Cho tứ diện ABCD có đường cao AH Mặt phẳng cạnh BC , CD , BD M , N , P ; gọi  ,  ,  góc hợp AM , 2 AN , AP với mặt phẳng  BCD  Chứng minh tan   tan   tan  12 Lời giải Tác giả: Vũ Ngọc Phát; Fb: Vũ Ngọc Phát Khơng tính tổng qt, giả sử tứ diện có cạnh a Suy Khi tan   tan   tan  12  1 18    2 2 MH NH PH a Trang 12 Mã đềHỌC SINH GIỎI TOÁN 11 BẮC NINH NĂM X AH a STRONG TEAM TOÁN VD VDC ĐềHỌC SINH GIỎI TOÁN 11 BẮC NINH NĂM HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 BẮC NINH NĂM C SINH GIỎI TOÁN 11 BẮC NINH NĂM I TOÁN 11 BẮC NINH NĂM C NINH NĂM 2019 Gọi I , J , K hình chiếu vng góc H lên BC , CD , BD Vì tứ diện ABCD tứ diện nên tam giác BCD tam giác Do IH  JH KH a Khơng tính tổng qt giả sử M nằm B I , gọi 1 , 2 , 3 ba góc hợp MH , NH , PH với BC , CD , BD    Vì HIC  HJC 90  90 180 nên tứ giác HICJ nội tiếp Suy IHJ 120          Vì IMH  IHM  JNH  JHN 180 IHM  JHI  JHN 180 nên IMH  JNH 120 hay 1   120 Suy 2 120  1     MBP  MPB Tam giác BMP có IMH góc ngồi tam giác nên IMH  3 1  60 Suy ra: 1 sin 1 sin 2 sin 3 12        sin 1  sin 2  sin 3  2 2 2 MH NH PH HI HJ HK a 12   sin 1  sin  120  1   sin  1  60   a    cos 21   cos  120  1    cos  1  60   a2    18  3  cos 21  cos 21  sin 21  cos 21  sin 21   2   a  2 2  a 2 Vậy tan   tan   tan  12 Câu6 f  x  x  bx  c f x x Chứng minh phương trình   f  f  x    x có hai nghiệm phân biệt b  2b   4c phương trình  có bốn nghiệm phân biệt 1) Cho tam thức Lời giải Tác giả:Nguyễn Mạnh Hà ; Fb: Nguyễn Mạnh Hà Xét phương trình: f  f  x    x  f  x   b f  x   c  x 0  f  x   f  x   x   b  f  x   x   x  f  x   x   x  bx  c  x 0   f  x   x   f  x   b  x   f  x   x 0   f  x   x   f  x   b  x  1 0  f  x   x 0  1   f  x   b  x  0  2 - Từ giả thiết phương trình  1 ln có hai nghiệm phân biệt Trang 13 Mã đềHỌC SINH GIỎI TOÁN 11 BẮC NINH NĂM X STRONG TEAM TỐN VD VDC - Phương trình ĐềHỌC SINH GIỎI TỐN 11 BẮC NINH NĂM HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 BẮC NINH NĂM C SINH GIỎI TOÁN 11 BẮC NINH NĂM I TOÁN 11 BẮC NINH NĂM C NINH NĂM 2019  2  x   b  1 x  b  c  0 có   b  1   b  c  1 b  2b   4c  Do phương trình  2 ( theo giả thiết b  2b   4c ) ln có hai nghiệm phân biệt - Giả sử x0 nghiệm phương trình   đó: x0  bx0  c  x0 0  x0   b  1 x0  c  x0 0  x0   b  1 x0  c 2 x0 Khi x0 nghiệm phương trình   : b x0   b  1 x0  b  c  0  x0  b  0  x0  Khi  1 trở thành: 2 b 1   b  1 b b  c  0   b  2b   4c 0  b  2b  4c   2   (trái với giả thiết đề b  2b   4c ) Do x0 nghiệm phương trình   khơng nghiệm phương trình   Vậy phương trình f  f  x    x có bốn nghiệm phân biệt 2) Cho a,b,c số thực dương thay đổi thỏa mãn P nhỏ biểu thức ab c c      a b a b  a b  c   a  b  c ab Tìm giá trị Lời giải Tác giả:Lưu Thị Hạnh ; Fb: Hạnh Lưu a  b  c  ab Đặt a xc, b  yc thay vào biểu thức  ta có: xy 1 2 P   2  xc  yc  c  c xy   x  y  1 xy xy x y xy Ta có: x y  x  y  1 xy     2   x  y     x  y    x  y   1 0   2   x  y    x  y   0   x  y 2 2  t  x  y,  t 2  2 xy  x  y  1 xy  t  1   Đặt Từ ta có Thay vào biểu thức P ta Trang 14 Mã đềHỌC SINH GIỎI TOÁN 11 BẮC NINH NĂM X STRONG TEAM TOÁN VD VDC P     t  1 t  t  1  t  t  1 t   ĐềHỌC SINH GIỎI TOÁN 11 BẮC NINH NĂM HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 BẮC NINH NĂM C SINH GIỎI TOÁN 11 BẮC NINH NĂM I TOÁN 11 BẮC NINH NĂM C NINH NĂM 2019 t   t  1   t  1 1   t  4t   t  1 2  t  1  1   t  4t  2  t  1 2 4 2     2, t   ;  t t   t  4t    t  1)  t t1 t 3  Vậy Pmin 2  a b c 1 3) Lớp 11 Tốn có 34 học sinh tham gia kiểm tra mơn Tốn để chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi cấp tỉnh.Đề kiểm tra gồm toán.Biết tốn ln có 19 học sinh giải được.Chứng minh có học sinh cho toán hai học sinh giải Lời giải Tác giả: Vũ Ngọc Phát; Fb: Vũ Ngọc Phát Giả sử ngược lại: với học sinh bất kì, ln tồn toán x , y , a mà hai học sinh không giải Gọi  gồm hai học sinh x , y toán a mà hai học sinh x , y không giải Gọi k số x , y , a ba  Số cách chọn hai học sinh từ 34 học sinh C34 Vì với học sinh bất kì, ln tồn tốn mà hai học * sinh không giải nên k C34 561   Theo đề ta có tốn ln có 19 học sinh giải nên tốn có nhiều 15 học sinh không giải Như với tốn a có nhiều C15 cặp học sinh khơng giải tốn a Do k C152 525 Mâu thuẫn với  * Vậy có học sinh cho toán hai học sinh giải Trang 15 Mã đềHỌC SINH GIỎI TOÁN 11 BẮC NINH NĂM X STRONG TEAM TOÁN VD VDC ĐềHỌC SINH GIỎI TOÁN 11 BẮC NINH NĂM HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 BẮC NINH NĂM C SINH GIỎI TOÁN 11 BẮC NINH NĂM I TOÁN 11 BẮC NINH NĂM C NINH NĂM 2019 Trang 16 Mã đềHỌC SINH GIỎI TOÁN 11 BẮC NINH NĂM X STRONG TEAM TOÁN VD VDC ĐềHỌC SINH GIỎI TOÁN 11 BẮC NINH NĂM HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 BẮC NINH NĂM C SINH GIỎI TOÁN 11 BẮC NINH NĂM I TOÁN 11 BẮC NINH NĂM C NINH NĂM 2019 Trang 17 Mã đềHỌC SINH GIỎI TOÁN 11 BẮC NINH NĂM X