Chuong 1 chu de 1

MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC I Định nghĩa Giả sử A B hai biểu thức số chữ Khi + gọi bất đẳng thức + Các bất đẳng thức viết lại sau + Một bất đẳng thức đúng, sai Quy ước: Khi nói bất đẳng thức mà khơng nói thêm ta hiểu bất đẳng thức II Tính chất bất đẳng thức + Tính chất giao hốn Với số thực A B bất kì, ta ln có + Tính chất bắc cầu Với số thực A, B, C bất kì, ta ln có + Tính chất liên hệ với phép cộng - Với số thực A, B M bất kì, ta ln có - Với số thực A, B, C, D , ta ln có + Tính chất liên hệ với phép nhân - Với số thực A, B bất kì, ta ln có - Với số thực A, B, C, D , ta ln có + Tính chất liên hệ với lũy thừa - Với số thực A, B bất kì, ta ln có , với n số thực dương , với n số tự nhiên lẻ , với n số tự nhiên chẵn + Tính chất liên hệ với tính nghịch đảo - Với số thực dương A, B bất kì, ta ln có III Một số bất đẳng thức cần nhớ BÁN FILE WORD CHƯƠNG TRÌNH TỐN TỪ LỚP – 12 Trang 1/41 + + + với với A A k số tự nhiên với + + BÁN FILE WORD CHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỪ LỚP – 12 Trang 2/41 Chương I – MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Nội dung chương I gồm: Giới thiệu phương pháp chứng minh bất đẳng thức Nêu số tính chất liên quan, số lưu ý phương pháp chứng minh bất đẳng thức Giới thiệu tập mẫu q trình phân tích, suy luận để tìm lời giải lời giải trình bày cụ thể Giới thiệu số tập tự luyện Chủ đề MỘT SỐ KỸ THUẬT BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG Kiến thức cần nhớ Giả sử ta cần chứng minh bất đẳng thức Tư tưởng phương pháp biến đổi tương đương bất đẳng thức thành bất đẳng thức mà phổ biến dạng sau: + Sử dụng định nghĩa bất đẳng thức: + Dạng tổng bình phương: , với số m, n, k dương + Dạng tích hai thừa số dấu: + Xây dựng bất đẳng thức từ điều kiện ban đầu: Nếu ta nghĩ tới bất đẳng thức sau Một số đẳng thức cần nhớ + + + + + + + + + BÁN FILE WORD CHƯƠNG TRÌNH TỐN TỪ LỚP – 12 Trang 3/41 + Một số bất đẳng thức + + + + + + Bất đẳng thức tam giác Với a, b, c ba cạnh tam giác Một số kỹ thuật phép biến đổi tương đương + Kỹ thuật xét hiệu hai biểu thức + Kỹ thuật sử dụng đẳng thức + Kỹ thuật thêm bớt số, biểu thức + Kỹ thuật đặt biến phụ + Kỹ thuật thứ tự biến + Kỹ thuật khai thác tính bị chặn biến Một số ví dụ minh họa Ví dụ Cho a, b, c số thực Chứng minh rẳng: Phân tích: Các bất đẳng thức quen thuộc, ta giải cách xét hiệu vế trái vế phải phân tích thành tổng bình phương Lời giải a) Xét hiệu hai vế bất đẳng thức Suy Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy b) Xét hiệu hai vế bất đẳng thức BÁN FILE WORD CHƯƠNG TRÌNH TỐN TỪ LỚP – 12 Trang 4/41 Suy Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy Ví dụ Cho a, b, c số thực Chứng minh rẳng: Phân tích: Đây bất đẳng thức quen thuộc, ta giải cách xét hiệu vế trái vế phải phân tích thành tổng bình phương Lời giải Xét hiệu hai vế bất đẳng thức Suy Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy Nhận xét: Qua hai ví dụ ta nhận thấy biến đổi tương đương bất đẳng thức bậc hai thường xuất đại lượng với điều kiện dấu đẳng thức xẩy Do trước biến đổi bất đẳng thức ta nên dự đoán dấu đẳng thức xẩy để từ có hướng hợp lí Ví dụ Cho a, b, c số thực Chứng minh rẳng: Phân tích: Bất đẳng thức cần chứng minh có hình thức tương tự bất đẳng thức trên, ta giải cách xét hiệu vế trái vế phải phân tích thành tổng bình phương Để tích vào bình phương ta cần ghép a với b, c, d, e, vai trị b, c, d, e nên ta nghĩ đến việc biến đổi sau Trong trường hợp ta chọn Lời giải Xét hiệu hai vế bất đẳng thức , tức ta phải nhân hai vế với BÁN FILE WORD CHƯƠNG TRÌNH TỐN TỪ LỚP – 12 Trang 5/41 Suy Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy Nhận xét: Với bất đẳng thức trên, phép biến đổi tương đương ta cịn dùng tính chất tam thức bậc hai để chứng minh Ví dụ Cho a, b, c số thực thỏa mãn điều kiện Chứng minh rẳng: Phân tích: Để ý ta thấy, mẫu biểu thức xuất hiệt bình phương, ý tưởng chứng minh bất đẳng thức xét hiệu phân tích làm xuất bình phương Chú ý đến giả thiết Lời giải a) Xét hiệu hai vế bất đẳng thức Suy Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy b) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với Áp dụng bất đẳng thức câu a ta Suy Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy Ví dụ Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn BÁN FILE WORD CHƯƠNG TRÌNH TỐN TỪ LỚP – 12 Chứng minh rẳng: Trang 6/41 Phân tích: Quan sát bất đẳng thức cần chứng minh ta thấy có biểu thức Trong giả thiết lại xuất biểu thức Vậy mối liên hệ hai biểu thức nào? Dễ thấy đẳng thức Do cách tự nhiên ta nhân hai vế giả thiết với biểu thức làm xuất cần chứng minh , ta để Tới xong Lời giải Biến đổi giả thiết ta Ta cần chứng minh Do hiển nhiên Nên bất đẳng thức chứng minh Ví dụ Cho a, b số thực dương thỏa mãn điều kiện Chứng minh rằng: Phân tích: Bất đẳng thức có chứa bậc hai biểu thức có chứa bình phương, lại có thêm điều kiện , nên ta bình phương hai vế để biến đổi bất đẳng thức Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: Vì nên Vậy bất đẳng thức chứng minh Ví dụ Cho a, b, c số thực dương tùy ý Chứng minh rằng: Phân tích: Bất đẳng thức bất đẳng thức có vế trái lũy thừa bậc chẵn Để ý ta thấy , tự nhiên ta nghĩ đến việc biến đổi bất đẳng thức thành tổng bình phương Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với BÁN FILE WORD CHƯƠNG TRÌNH TỐN TỪ LỚP – 12 Trang 7/41 Suy Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy Ví dụ Cho a, b số thực dương tùy ý Chứng minh rẳng: Phân tích: Để ý ta thấy , ta biến đổi tương đương để thu gọn chứng minh bất đẳng thức Lời giải Biến đổi tương đương bất đẳng thức Bất đẳng thức cuối Vậy ta có điều phải chứng minh Ví dụ Cho số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện Phân tích: Từ giả thiết chẳng hạn Chứng minh rằng: ta rút biến theo biến lại, , thay vào biểu thức bất đẳng thức ta biểu thức chứa hai biến xuất bình phương Đến ta tìm cách phân tích thành tổng bình phương để chứng minh bất đẳng thức Lời giải Theo giả thiết , nên bất đẳng thức cho tương ứng với Từ ta có điều phải chứng minh Dấu đẳng thức xảy Ví dụ 10 Chứng minh với số thực a dương, ta có: Phân tích: Bất đẳng thức cần chứng minh chứa biến a, nên thông thường ta sử dụng phương pháp biến đổi tương đương để chứng minh Để ý thêm ta thấy, bất đẳng thức chứa đại lượng thức , lại thấy đẳng thức xẩy làm ta liên tưởng đến đẳng nên suy nghĩ tự nhiên biến đổi tương đương bất đẳng thức làm xuất đại lượng BÁN FILE WORD CHƯƠNG TRÌNH TỐN TỪ LỚP – 12 xem chứng minh Trang 8/41 tốn khơng Với ta có nên ta chuyển vế để biến đổi bất đẳng thức Lời giải Biến đổi tương đương bất đẳng thức Bất đẳng thức cuối nên ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy Ví dụ 11 Cho a, b, c số thực dương tùy ý Chứng minh rằng: Phân tích: Quan sát bất đẳng thức cần chứng minh ta nhận thấy đặc điểm sau: + Hai vế bất đẳng thức có bậc + Bất đẳng thức cần chứng minh làm ta liên tưởng đến bất bất đẳng thức hay dùng Lời giải Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức với x, y số dương Thật Áp dụng bất đẳng thức ta Suy Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy Ví dụ 12 Chứng minh với số thực x ta ln có Phân tích: Bất đẳng thức chứa biến có chứa bậc hai Trước hết ta kiểm tra điều kiện xác định thức BÁN FILE WORD CHƯƠNG TRÌNH TỐN TỪ LỚP – 12 Trang 9/41 Nên bất đẳng thức xác định với x Quan sát bất đẳng thức ta thấy thay x thức trở vế trái bất đẳng vế phải bất đẳng thức nhân hai vế với , , tức bất đẳng thức khơng thay đổi Như ta cần xét trường hợp x không âm Với , ta thấy vế trái dương vế phải nhỏ khơng nên ta chia nhỏ trường hợp để chứng minh bất đẳng thức Lời giải Vì Nên bất đẳng thức xác định với x Nếu , ta đặt bất đẳng thức trở thành Bất đẳng thức cuối có dạng bất đẳng thức đề quan trọng lúc ta lại có Như vậy, với lập luận ta thấy cần xét toán trường hợp đủ Lúc có hai khả xảy : + Nếu suy + Nếu Nên bất đẳng thức hai vế dương, nên bình phương hai vế ta Mà nên bất đẳng thức cuối Vậy bất đẳng thức chứng minh Ví dụ 13 Cho số thực Chứng minh rằng: Phân tích: Từ giả thiết ta lũy thừa ta Biểu thức vế trái bất đẳng thức thay đại lượng , theo tính chất Cũng từ giả thiết BÁN FILE WORD CHƯƠNG TRÌNH TỐN TỪ LỚP – 12 biểu thức Trang 10/41