Tổ 15 đề olympics lớp 10 cụm thanh xuân cầu giấy thường tín hà nội năm 2018 2019

TỔ 15 – Đ2 – ĐỀ THI THỬ OLYMPIC 10 – HÀ NỘI –2018-2019 STRONG TEAM TOÁN VD-VDC ĐỀ OLYMPIC LỚP 10 CỤM TRƯỜNG THPT THANH XUÂN – CẦU GIẤY – THƯỜNG TÍN - HÀ NỘI NĂM HỌC 2018 – 2019 Mơn: Tốn Lớp: 10 Thời gian: 120 phút (Khơng kể thời gian giao đề) Câu  1 Cho hàm số y x  x  a) Lập bảng biến thiên vẽ đồ thị  P hàm số  1 b) Tìm m để phương trình  x  x   m 0 có hai nghiệm x1 x2 thỏa mãn x1     x2 Câu a) x Giải bất phương trình sau:  x  x  x  0  x  xy  y  x  y  0  x  y  x  y  0 b) Giải hệ phương trình sau :  x2  x  m 3 x  x  m c) Tìm để bất phương trình nghiệm x  ? Cho tam giác ABC Đặt a BC , b  AC , c  AB Gọi M điểm tùy ý 2 a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P MA  MB  MC theo a , b , c 2 Câu   c   cm b) Giả sử a  cm , b 2 cm , Tính số đo góc nhỏ tam giác ABC diện tích tam giác ABC Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD Gọi H hình chiếu A lên BD ; I trung điểm BH Biết đỉnh A  2;1 , phương trình đường chéo BD là:  42 41  I ;  x  y  19 0 , điểm  13 13  a) Viết phương trình tham số đường thẳng AH Tìm tọa độ điểm H ? b) Viết phương trình tổng quát cạnh AD Câu 2 Cho ba số dương a , b , c thỏa mãn a  b  c 1 Chứng minh a b c 3    2 b c c a a b _Hết _ Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang TỞ 15 – Đ2 – ĐỀ THI THỬ OLYMPIC 10 – HÀ NỘI –2018-2019 STRONG TEAM TOÁN VD-VDC Lời Giải Chi Tiết Câu ( 1) Cho hàm số y  x  x  a) Lập bảng biến thiên vẽ đồ thị  P hàm số ( 1) b) Tìm m để phương trình  x  x   m 0 có hai nghiệm x1 x2 thỏa mãn x1     x2 Lời giải Tác giả:Nguyễn Hoài Phước ; Fb:Nguyễn Phước a) Tập xác định: D  Tọa độ đỉnh I  1;1   ;1 đồng biến khoảng Hệ số a 1  nên hàm số nghịch biến khoảng  1;  Bảng biến thiên: Đồ thị:  P có tọa độ đỉnh I  1;1  P  qua điểm ; trục đối xứng đường thẳng x 1 A  0;  B  2;  ; Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang TỔ 15 – Đ2 – ĐỀ THI THỬ OLYMPIC 10 – HÀ NỘI –2018-2019 STRONG TEAM TOÁN VD-VDC b) Tìm m để phương trình  x  x   m 0 có hai nghiệm x1 x2 thỏa mãn x1     x2 Lời giải Tác giả:Lê Thị Hương ; Fb:Lê Hương Cách 1: Để phương trình  x  x   m 0 có hai nghiệm x1 x2 thỏa mãn x1     x2    1   m    ( x1  1)( x2  1)    x1 x2  ( x1  x2 )   ( x  3)( x  3)   x x  3( x  x )    2    m  m     2  m       m5 m   2  m     Vậy m5 Cách 2:  x  x   m 0  x  x   m  * Ta có  * số giao điểm hai đồ thị hàm số: Số nghiệm phương trình y x  x   P  với đường thẳng y  m  * có hai nghiệm x1 x2 thỏa mãn x1     x2 , từ đồ thị phần a) Để phương trình ta có  m   m   Câu a) Giải bất phương trình sau: x  x  x  x  0 Lời giải Tác giả:Thu Hương; Fb: HươngMùa Thu x  x  x  x  0  *  x  x  x  0    x 1  ĐKXĐ:  x   x 0  x  x 0    x   *     x  x  0  x 1  So sánh điều kiện, suy tập nghiệm bất phương trình 1  S    ;  4   ;       3 2   x  xy  y  x  y  0 (1)  x  y  x  y  0 (2) b) Giải hệ phương trình sau :  Lời giải Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang TỞ 15 – Đ2 – ĐỀ THI THỬ OLYMPIC 10 – HÀ NỘI –2018-2019 STRONG TEAM TOÁN VD-VDC Từ phương Tác giả ; Trần Dung ; Fb: Dung Chang x  xy  y  x  y  0 : trình  x  xy  xy  y  x  x  y  y  0  (2 x  xy  x)  (2 xy  y  y )  (2 y  x  2) 0  x (2 x  y  1)  y (2 x  y  1)  2(2 x  y  1) 0  (2 x  y  1)( x  y  2) 0  x  y  0 (3)   x  y  0 (4) Kết hợp (2) (3) (2) (4) ta có hệ :   x  y  x  y  0   2 x  y  0   2  x  y  x  y      x  y  0  5 x  x  0    y 2 x     x  x      y 2  x   x  y  x  y  0   x  (2 x  1)2  x  (2 x  1)  0     y 2 x    y 2 x    2 2   x  y  x  y  0   x  (2  x)  x  (2  x)  0   y 2  x   y 2  x  5 x  x  0    y 2 x    ( x  1)     y 2  x    x     y  13      x 1   y 1    13   S  x ; y   1;1 ,  ;    5  Vậy nghiệm hệ x2  x  m 2 3 x  2x  c) Tìm m để bất phương trình nghiệm x  ? Lời giải Tác giả: Vũ Quốc Triệu ; Fb: Vũ Quốc Triệu +/ Ta có x  x    x  1   x  2 nên :  x  x   x  x  m 3x  x  m   x  4x  m      2 x2  x   x  x  m 3 x  x   x  x   m 0 2 (1) (2) +/ u cầu tốn trở thành tìm m để bất phương trình     nghiệm với x thuộc  Ta thấy :  1 nghiệm với   nghiệm với x thuộc x thuộc   1 42   m     m    2 12    m    m  17  17  m   ;   2 Vậy Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang TỞ 15 – Đ2 – ĐỀ THI THỬ OLYMPIC 10 – HÀ NỘI –2018-2019 STRONG TEAM TOÁN VD-VDC Câu a) Cho tam giác ABC Đặt a BC , b  AC , c  AB Gọi M điểm tùy ý Tìm giá trị nhỏ 2 biểu thức P MA  MB  MC theo a , b , c Lời giải Tác giả:Nguyễn Phi Thanh Phong ; Fb: Nguyễn Phi Thanh Phong     Gọi G trọng tâm tam giác ABC suy GA  GB  GC 0   2 2 2 Ta có P MA  MB  MC MA  MB  MC     2  MA2  MG  GA MG  2.MG.GA  GA     2    MB  MG  GB MG  2.MG.GB  GB      MC  MG  GC MG  2.MG.GC  GC Với   2  2  MA  MB  MC 3MG   GA2  GB  GC     Khi    P 3MG   GA2  GB  GC  Mặt khác Pmin  MG  MGmin  M G  4  b2  c a  2  GA  ma      2b  2c  a  9    4  a  c b2  2 2 GB  mb        2a  2c  b  9 4   2   GC  mc   a  b  c    2a  2b  c  9 4  Từ trên, ta được: M G Pmin GA2  GB  GC    a  b2  c2  Dấu diễn  c   cm b) Giả sử a  cm , b 2 cm , Tính số đo góc nhỏ tam giác ABC diện tích tam giác ABC Lời giải Tác giả: Hoàng Thị Mến ; Fb: Hoàng Mến   a  cm, b 2cm, c   cm Do nên b cạnh nhỏ ba cạnh tam giác Từ góc B góc có số đo nhỏ tam giác Áp dụng hệ định lý Cosin tam giác ABC ta có:   1  4 a  c2  b2  cos B    2ac Vậy góc B có số đo 45   1 3 cm  S  ac.sin B   sin 45   2 Diện tích tam giác ABC là: p Hoặc: Gọi nửa chu vi tam giác ABC Ta có:  p  a b c 3   2 Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang TỞ 15 – Đ2 – ĐỀ THI THỬ OLYMPIC 10 – HÀ NỘI –2018-2019 STRONG TEAM TOÁN VD-VDC p a  p b p c 3  6 3 6 1 S  p  p  a   p  b  p  c  Câu 3 cm   Diện tích tam giác ABC là: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD Gọi H hình chiếu A lên BD ; I trung điểm BH Biết đỉnh A  2;1 , phương trình đường chéo BD là:  42 41  I ;  x  y  19 0 , điểm  13 13  a) Viết phương trình tham số đường thẳng AH Tìm tọa độ điểm H ? Lời giải Tác giả: Lê Quang Nhân ; Fb: Lê Quang Nhân  BD : x  y  19 0 có véc tơ pháp tuyến n BD  1;5  AH  BD nên AH nhận    u AH n BD  1;5   n BD  1;5  + Đường thẳng AH qua A  2;1 làm véc tơ phương có véc tơ phương  u AH  1;5 nên có phương  x 2  t  t    y   t  trình tham số là: + H giao điểm AH BD nên tọa độ H thỏa mãn hệ phương trình:   x 2  t   32 43   y 1  5t  H  ;   13 13   t   13 b) Viết phương trình tổng quát cạnh AD  x 2  t    y 1  5t  x  y  19 0  Lời giải Tác giả: Nguyễn Mạnh Quyền; Fb: Nguyễn Mạnh Quyền Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang TỞ 15 – Đ2 – ĐỀ THI THỬ OLYMPIC 10 – HÀ NỘI –2018-2019 STRONG TEAM TOÁN VD-VDC A B I H C D  32 43  H ;  B 4;3 Theo câu a) ta có  13 13  mà I trung điểm BH nên suy  nên tọa độ  AB  2;  2  1;1 véctơ  n  1;1 A 2;1   Đường thẳng AD qua điểm , nhận làm vectơ pháp tuyến, có phương trình tổng qt là: Câu  x     y  1 0  2 x  y  0 Cho ba số dương a , b , c thỏa mãn a  b  c 1 Chứng minh a b c 3    2 b c c a a b Lời giải Tác giả: Thu Hà ; Fb: Thu Ha 2 2 2 Do a , b , c dương a  b  c 1 nên  a , b , c   a ,1  b ,1  c  2 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm 2a ,1  a ,1  a , ta được: 2a    a     a  3 2a   a    a   2a   a    a   23 27  * , dấu " " xảy  3a 1  a  3 Ta có: a2  a a a2   2a   a    a  b2  c2  a2 a   a  Chứng minh tương tự, ta được: b2  b b b2   2b   b    b  c  a  b b   b2  c2  c c c2   2c   c    c  a  b2  c c   c   *    a2 3a  23  27 3b  23  27  1 b2 3c  23  27  2 c2  3  1 ,   ,  3 vế theo vế ta được: Cộng Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang STRONG TEAM TỐN VD-VDC TỞ 15 – Đ2 – ĐỀ THI THỬ OLYMPIC 10 – HÀ NỘI –2018-2019 a b c 3    a  b2  c   2 b c c a a b 2  a b c 3     a b c  2 b c c a a b (đpcm) Dấu " " xảy Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang