Đề olympics lớp 11 cụm hà đông hoài đức hà nội năm 2018 2019

ĐỀ OLYMPIC LỚP 11 CỤM TRƯỜNG THPT HÀ ĐÔNG – HOÀI ĐỨC – HÀ NỘI NĂM HỌC 2018 – 2019 Mơn: Tốn Lớp: 11 Thời gian: 150 phút (Khơng kể thời gian giao đề) Bài (4,0 điểm) Giải phương trình sau a) Giải phương trình sau sin 3x  cos3x  2sin x b) Giải phương trình sin x  sin x  1 sin 3x Bài (4,0 điểm) 10 2  a) Tìm số hạng chứa x khai triển:   3x  x   x  0 b) Trong hộp kín đựng 100 thẻ đánh số từ đến 100 Lấy ngẫu nhiên ba thẻ hộp Tính xác suất để lấy ba thẻ mà ba số ghi ba thẻ lập thành cấp số cộng Bài (4,0 điểm) 2018 2018 C2018  C2018 x  C2018 x   C2018 x  22017 x 1 x 1 a) Tính lim u1  1; u2  b) Cho dãy số  un  xác định công thức:  un   5un 1  6un  n  1, n   Xác định công thức số hạng tổng quát dãy số  un  Bài (6,0 điểm) a) Cho hình hộp ABCDABCD có tất cạnh Điểm M di động cạnh AB , điểm N di động cạnh AD cho AN  AM Gọi (α) mặt phẳng chứa MN song song với AC Dựng thiết diện hình hộp (α) chứng minh (α) chứa đường thẳng cố định b) Cho tứ diện ABCD Chứng minh rằng: ( AB  CD)2  ( AD  BC )2  ( AC  BD)2 Bài (2,0 điểm) 1 1 Chứng minh với số thực a, b, c  1;2 ta ln có:  a  b  c       10 a b c _Hết _ Lời Giải Chi Tiết Bài (4,0 điểm) Giải phương trình sau a) Giải phương trình sau sin 3x  cos3x  2sin x Lời giải Tác giả:phùng minh nam ; Fb:Nam phùng Ta có : sin 3x  cos 3x  2sin x  sin 3x  cos x  sin x 2     3x   x  k 2 x    k 2     3  sin  3x    sin x    3  3x      x  k 2  x  2  k 2   15 k     2 k 2   k   Vậy phương trình cho có tập nghiệm S    k 2 ; 15   sin x  sin x  1 b) Giải phương trình sin 3x Lời giải Tác giả: Nguyễn Văn Tú ; Fb: Tu Nguyenvan Điều kiện xác định: sin x   sin 3x   3sin x  4sin x   sin x  cos x  1    cos x   Khi đó, phương trình cho tương đương với sin x  sin x  sin 3x   2sin x.cos x  sin x   sin x  cos x  1   sin x   l     cos x   t / m   x   k  1 cos x   l    k   Vậy phương trình cho có nghiệm x    k  k    Bài (4,0 điểm) 10 2  a) Tìm số hạng chứa x khai triển:   3x  x   x  0 Lời giải Tác giả: Hoàng Thị Mến ; Fb: Hồng Mến Hướng 1: Trình bày theo lớp 12 sau: 10  k 10 10 2  k 2 Ta có:   3x    C10   x   x k 0 k  0,1, 2, ,10 k 210k  3 x3k 10 ( x  ) với  3x    C10 k 10 k k 0 Khi 3k 10   k  số hạng chứa x khai triển là: C105 25  3 x5  1959552.x5 Hướng 2: Trình bày theo lớp 11 sau: 10 10  k 10 2  k 2 Ta có   3x    C10   x   x k 0 k  0,1, 2, ,10  3x   C k 10 k 0 k 10 10  k x2k  3 10k , ( x  ) với x k x2k Số hạng chứa x ứng với số k thỏa mãn 10 k  x5  x2k  x15k  2k  15  k  k  x 5 Vậy số hạng chứa x khai triển C10 2105  3 x5  1959552.x5 b) Trong hộp kín đựng 100 thẻ đánh số từ đến 100 Lấy ngẫu nhiên ba thẻ hộp Tính xác suất để lấy ba thẻ mà ba số ghi ba thẻ lập thành cấp số cộng Lời giải Tác giả: Lâm Quốc Toàn; Fb: Lam Quoc Toan Số phần tử không gian mẫu:   C100 Gọi ba số lập thành cấp số cộng là: u1 , u2 , u3 Khi u1 , u3 phải hai số chẵn hai số lẻ Từ đến 100 có 50 số chẵn, 50 số lẻ + Trường hợp 1: u1 , u3 hai số chẵn, có C502 cách chọn u1 ; u3 + Trường hợp 2: u1 , u3 hai số lẻ, có C502 cách chọn u1 ; u3 Với cách chọn u1 ; u3 có cách chọn u2 để u1 , u2 , u3 lập thành cấp số cộng Suy số cách lấy thẻ ghi ba số lập thành cấp số cộng  A  2C502 Xác suất lấy thẻ ghi ba số lập thành cấp số cộng  2C P  A  A  350   C100 66 Bài (4,0 điểm) 2018 2018 C2018  C2018 x  C2018 x   C2018 x  22017 a) Tính lim x 1 x 1 Lời giải Tác giả: Huỳnh Phạm Minh Nguyên ; Fb: Nguyen Huynh 2018 2018 S1  C2018  C2018 x  C2018 x    C2018 x  1  x  2018 2018 2018 S2  C2018  C2018 x  C2018 x    C2018 x  1  x  2018 2018 2018  S  C2018  C2018  C2018  C2018 x  1 2018 2018  x   1  x     2 2018 2018 C2018  C2018  C2018  C2018 x  22017 x 1 x 1  lim 1  x   lim 2018 x 1  1  x   x  1 2018  22018  1  x 2018  22018  x  12017   lim    x 1  x  1   2017    x  1 1  x 2017  1  x 2016  1  x 2015 22    22017  x  1       lim  x 1    x  1    1  x 2017  1  x 2016  1  x 2015 22    22017  x  12017   lim    x 1 2    2018.22016 u1  1; u2  b) Cho dãy số  un  xác định công thức:  un   5un 1  6un  n  1, n   Xác định công thức số hạng tổng quát dãy số  un  Lời giải Tác giả: Nguyễn Quang Thái ; Fb: Nguyễn Quang Thái n 1 n 1 Cách 1:Dự đoán un    Thật vậy, ta chứng minh phương pháp quy nạp - Kiểm tra dễ có mệnh đề với n  1; n  Giả sử mệnh đề với n  k , nghĩa ta có uk  3k 1  2k 1  uk 1  3k 2  2k 2  (*) Ta chứng minh mệnh đề với n  k  Theo giả thiết ta có: uk 1  5uk  6uk 1    3k 1  2k 1  1   3k 2  2k 2  1  5.3k 1  5.2k 1  2.3k 1  3.2k 1   3k  2k  Vậy mệnh đề với n  * u1  1; u2  Cách 2: Cho dãy số  un  xác định công thức:  un   5un 1  6un  n  1, n   Xác định công thức số hạng tổng quát dãy số  un  Theo ra, un2 Lời giải Tác giả: Ngô Mạnh Cường ; Fb: Cuong Ngo Manh  5un1  6un  n  1, n   , ta có un2  2un1  3(un1  2un )  n  1, n   Đặt  un1  2un  n  1, n    ta có v1  u2  2u1   vn 1  3vn   1   3(vn  1) n  1, n    w1  Đặt wn    n  1, n      wn 1  3wn n  1, n   Nhận thấy (wn ) cấp số nhân với công bội q  w1  Do wn  3n1 Suy  3n1  un1  2un  3n1   n  1, n    Từ ta có un1  2un  3n1   un1  3n   2(u n  3n1  1) t  u1    Đặt tn  un  3n1   Nhận thấy (t n ) cấp số nhân với công bội tn 1  2tn t1  nên tn  2n1 Vậy un  2n1  3n1   n  1, n    u1  1; u2  Cách 3:Cho dãy số  un  xác định công thức:  un   5un 1  6un  n  1, n   Xác định công thức số hạng tổng quát dãy số  un  un2 Lời giải Tác giả: Đinh Thị Thu Huế ; Fb: HueDinh  5un1  6un   un2  2un1  3(un1  2un )  v1  u2  2u1  Đặt  un1  2un  vn 1  3vn  Đặt  kwn  l , k , l số, k  kwn 1  l  3(kwn  l )   kwn 1  3kwn  2l   wn 1  3wn  2l  k  w1  Chọn k  1, l   wn   Nhận thấy (wn ) cấp số nhận công bội  wn 1  3wn q  w1  Do wn  3n1 ,  3n1  un1  2un  3n1  Đặt un  tn  a3n1  b , a, b số Khi tn 1  a3n  b  2(tn  a3n 1  b)  3n 1   tn 1  2tn  (1  a)3n 1  b  Chọn a  1, b  1 un  tn  3n1  1, t1  u1  tn1  2tn Nhận thấy (t n ) cấp số nhận với công bội q  t1  Do tn  2n 1 Suy un  2n1  3n1  Bài (6,0 điểm) a) Cho hình hộp ABCDABCD có tất cạnh Điểm M di động cạnh AB , điểm N di động cạnh AD cho AN  AM Gọi (α) mặt phẳng chứa MN song song với AC Dựng thiết diện hình hộp (α) chứng minh (α) ln chứa đường thẳng cố định Lời giải Tác giả: thuy hoang ; Fb: thuy hoang * Dựng thiết diện hình hộp   : Y R B C M X A D Q T C' B' A'  P N D'  M  ( )  (ABCD)  Xét     ABCD   d có:  AC / /( )  AC  (ABCD)  Nên d đường thẳng qua M song song với AC , d cắt AD X , cắt CD Y cắt BC R  Tương tự xét     ABCD   d  , d  qua N song song với AC cắt C D P XN cắt AA T , YP cắt CC  Q Vậy thiết diện cần tìm lục giác MRQPNT * Chứng minh (α) chứa đường thẳng cố định:  AC // ( )   TQ // AC (1) - Ta có:  AC  ( ACC A) ( )  ( ACC A)  TQ  - Trong mặt phẳng  ADDA  có AX // A'N  AT AX  TA AN Mà tứ giác AXRC hình bình hành suy AX  CR (*) AM CR - Xét tam giác ABC cân có MR // BC  = AB CB Mà AB  BC nên AM  RC Suy AX  AM (kết hợp (*)) Suy AT AX AM AT    , hay  Suy điểm T cố định TA AN AN TA Kết hợp (1) suy TQ cố định Vậy   chứa đường TQ cố định (đpcm) b) Cho tứ diện ABCD Chứng minh rằng: ( AB  CD)2  ( AD  BC )2  ( AC  BD)2 Lời giải Tác giả: Nguyễn Mạnh Quyền; Fb: Nguyễn Mạnh Quyền Gọi M , N , P, Q, O trung điểm AB, BC, CD, AD, AC Ta có tứ giác MNPQ hình bình hành điểm O khơng nằm  MNPQ  Từ đó, ta có: ( AB  CD)2  ( AD  BC )2  (2ON  2OQ)2  (2OP  2OM )2  NQ2  4MP2 (1) Ta lại có:     NQ  4MP  NM  MQ  MN  NP      NM  NM MQ  MQ2  MN  2MN NP  NP     NM  MQ2  NP  NM MQ  NP           4(2MN  2MQ2 )  2( AC  BD2 )  ( AC  BD)2 (2) Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh Bài (2,0 điểm) 1 1 Chứng minh với số thực a, b, c  1;2 ta ln có:  a  b  c       10 a b c Lời giải Tác giả: Vũ Quốc Triệu ; Fb: Vũ Quốc Triệu a b c b c a 1 1 +/ Bất đẳng thức  a  b  c       10        b c a a b c a b c +/ Khơng tính tổng quát, giả sử: a  b  c Khi đó:  a  b  b  c    ab  bc  b2  ac  a b a    (vì bc  ) c c b Dấu “=” xảy  a  b b  c Cũng có:  a  b  b  c    ab  bc  b  ac   c b c   (vì ab  ) a a b Dấu “=” xảy  a  b b  c a b b c a c a b b c a c a c Do đó:                  1 b c a b c a b c a b c a c a a +/ Ta có: x  1  x   nên: c 1  x  1 x     x2  3x    x    x     x x x  x  a  2c  Dấu “=” xảy 2   c  2a x  a c    2 c a a b b c a c Từ (1) (2) suy ra:       (đpcm) b c a b c a  a  b  2, c  Dấu xảy khi:  a  c  2, b  b  c  2, a  Suy ra: