De thi hsg mon toan lop 10 so gd dt hai duong nam hoc 2016 2017

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH HẢI DƯƠNG LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2016 - 2017 MƠN THI: TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút Ngày thi: 05/4/2017 (Đề thi gồm 01 trang) Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = -x2 + 2(m + 1)x + - m2 (1), (m tham số) 1) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành hai điểm phân biệt A, B cho tam giác KAB vng K, K(2; -2) 2) Tìm giá trị m để hàm số (1) có giá trị lớn Câu II (3,0 điểm)  x y  y  x 4 xy  1) Giải hệ phương trình  1 x  x  xy  y 3  2) Giải phương trình ( x   x  1)( x  x  x  3) 2 x 3) Giải bất phương trình (x2 - 3x + 2)(x2 - 12x + 32) ≤ 4x2 Câu III (3,0 điểm) 1) Cho hình bình hành ABCD Gọi M trung điểm cạnh CD; N điểm thuộc cạnh AD cho AN  AD Gọi G trọng tâm tam giác BMN, đường thẳng AG cắt BC K Tính tỉ số BK BC 2) Cho tam giác ABC khơng có góc vng có cạnh BC a, CA b, AB c Chứng minh tam giác ABC thỏa mãn a  b 2c tan A  tan C 2 tan B tam giác ABC 3) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ABC cân C có diện tích 10 Đường thẳng AB có phương trình x  y 0 Điểm I  4;  trung điểm cạnh AB, điểm  9 M  4;  thuộc đường thẳng BC Tìm tọa độ điểm A, B, C biết điểm B có tung độ  2 số nguyên Câu IV (1,0 điểm) Một nông trại dự định trồng cà rốt khoai tây khu đất có diện tích Để chăm bón loại này, nơng trại phải dùng phân vi sinh Nếu trồng cà rốt cần dùng phân vi sinh thu 50 triệu đồng tiền lãi Nếu trồng khoai tây cần dùng phân vi sinh thu 75 triệu đồng tiền lãi Hỏi nông trại cần trồng loại diện tích để thu tổng số tiền lãi cao nhất? Biết số phân vi sinh cần dùng không vượt 18 Câu V (1,0 điểm) Cho số thực dương a, b, c Tìm giá trị lớn biểu thức P ab bc ca   a  ab  bc b  bc  ca c  ca  ab SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM HẢI DƯƠNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10 THPT – NĂM HỌC 2016 - 2017 MƠN: TỐN (Hướng dẫn chấm gồm trang) Câu Câu I.1 Nội dung Cho hàm số y  x  2(m  1) x   m2 Điểm (1) (m tham số) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành hai điểm phân biệt A, B cho tam giác KAB vuông K , K (2;  2) Phương trình hoành độ giao điểm  x  2(m  1) x   m 0  x  2(m  1) x  m  0 (2) Đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành hai điểm phân biệt A, B phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt 2   '   (m  1)  m    2m    m   Gọi nghiệm phương trình (2) x1 , x2 Tọa độ giao điểm A, B A( x1 ;0), B( x2 ;0) ;   KA ( x1  2;2), KB ( x2  2;2)   KA  KB  KA KB 0  ( x1  2)( x2  2)  0  x1 x2  2( x1  x2 )  0  m 1  m   2.2(m  1)  0  m  4m  0    m 3 Câu 0,25 0,25 0,25 0,25 Kết hợp điều kiện m   , ta m 1 , m 3 Tìm giá trị m để hàm số (1) có giá trị lớn I.2 y  x  2(m  1) x   m2  y  x  2(m  1) x  (m  1)  (m  1)   m  y  ( x  m  1)  2m  0,25  y 2 m  0,25 Dấu " " xảy x m  Giá trị lớn hàm số 2m  0,25 Giá trị lớn hàm số 2m  6  m 2 Câu II.1 0,25  x y  y  x 4 xy (1)  Giải hệ phương trình  1 x (2)  x  xy  y 3  Điều kiện x 0, y 0 Chia hai vế (1) cho xy ta có phương trình x   4 x y  1 1 x 1 1 x 11 1   3      3      x    4 x xy y x x y y x x y  y x  1     x      4 x  y x     x  x  y 4   Ta có hệ    1    x     4  x  y x   x  2  x     2  x y Câu  1  1  x       4 x  x y      1    x     4  x  y x    x  x  0   1  x  y 2  Giải phương trình II.2  x 3  x 3     x 1   y 1 0,25 0,25 0,25   x  x  x  x  2 x Điều kiện x  Với x     x  2 x  1   2  x y 0,25 x   x 1    x  x  x  x  2 x x 3   x 1 x2  x2  x   x  x  x  x   x   x 1  x   x  2 x  x   x 1  0,25   x  x x   ( x  3)( x  1)  x x  0   x  x 3 x  x x  0    x   x  0 x  0 0,25  x 0  x 0  13 x  0  x   x     x   2  x  x  x  x  0  x 0  x 0 1 x  x  0  x   x     x  2  x 1 x  x  x  0 x Câu II.3 0,25 0,25 Giải bất phương trình ( x  3x  2)( x  12 x  32) 4 x (1) ( x  3x  2)( x  12 x  32) 4 x   x  1  x    x    x   4 x   x    x    x  1  x   4 x   x  x    x  x  8 4 x (2) Xét x 0 , thay vào bất phương trình (2) khơng thỏa mãn Xét x 0 , chia hai vế (2) cho x ta bất phương trình x  x  8 x x  x  8 x  4   x   x   6  x   x  0,25 0,25   4  Đặt t  x  , có bất phương trình x 0,25  t    t   4  t  15t  54 4  t  15t  50 0  t 10   x  x 5 t 10     x  10 x   x2  5x  0  x    x  10 x  0  x x    x     17  x 5  17    17 x 5  17 Câu III.1 Cho hình bình hành ABCD Gọi M trung điểm cạnh CD ; N điểm thuộc cạnh AD cho AN  AD Gọi G trọng tâm tam giác BMN , đường thẳng AG cắt BC K Tính tỉ số BK BC 0,25     AG  AN  AM  AB 1     5 A 1  AD  AD  AC  AB  AD  AC  AB N G        AD  AB  AD  AB  AB  AD D M 2  1   AG  AB  AD 2          Đặt BK  xBC  AK  AB  BK  AB  xBC  AB  x AD Ba điểm A, G , K thẳng hàng nên     B C K Câu      1  4 m  4m   AK mAG  AB  x AD m  AB  AD   AB  x AD  AB  AD 9 2   m m 2 1      x  4m  x    8 BK  BK  BC   BC Cho tam giác ABC khơng có góc vng có cạnh III.2 BC a, CA b, AB c Chứng minh tam giác ABC thỏa mãn 0,25 0,25  0,25 0,25 a  b 2c tan A  tan C 2 tan B tam giác ABC a sin A abc tan A   2R  2 cos A b  c  a R  b2  c2  a2  2bc 0,25 tan B  abc abc , tan C  2 R c a  b  R  a  b2  c   tan A  tan C 2.tan B  abc abc abc  2 2 2 2 R b c  a  R a b  c  R  a  c2  b2  1  2  2 2 2 b c  a a b  c a c  b 2 2 2   c  a  b   a  b  c    b  c2  a   a  c2  b2  0,25 2  b  c  a   a  b  c  2   a   b  c   c   a  b  2 b4   a  c   0,25  a  a  b  2c    c  b   c  2b  0 Câu Kết hợp với a  b 2c  a b c Vậy tam giác ABC Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ABC cân C có diện tích III.3 10 Đường thẳng AB có phương trình x  y 0 Điểm I  4;  trung   0,25 9 điểm cạnh AB , điểm M  4;  thuộc đường thẳng BC Tìm tọa độ  điểm A, B, C biết điểm B có tung độ số nguyên B  AB  B  2b; b  , (b  )  A   2b;  b  ; AB  20 b  C Phương trình CI : x  y  10 0 C  CI  C  c;10  2c   CI   c SABC  CI AB 10  4b  2c  bc  2   bc  4b  2c   1   bc  4b  2c  10   M A I B 0,25  11   9   CM   c; 2c   , MB  2b  4; b   2 2   4  c k  2b      M  BC  k   | CM k MB   11    2bc  6b  5c  16 0 2c  k  b       b 1  Từ  1 ,  3   ( không thỏa mãn)  b 1  b 3  A  2;1 , B  6;3  ; C  2;6  Từ   ,  3   c 2  3 Câu Một nông trại dự định trồng cà rốt khoai tây khu đất có diện tích IV Để chăm bón loại này, nơng trại phải dùng phân vi sinh Nếu trồng cà rốt cần dùng phân vi sinh thu 50 triệu đồng tiền lãi Nếu trồng khoai tây cần dùng phân vi sinh thu 75 triệu đồng tiền lãi Hỏi nông trại cần trồng loại 0,25 0,25 0,25 diện tích để thu tổng số tiền lãi cao nhất? Biết số phân vi sinh cần dùng không vượt 18 Giả sử trồng x(ha) cà rốt y (ha ) khoai tây Điều kiện : x 0, y 0 x  y 5 Số phân vi sinh cần dùng là: x  y (tấn) 0,25 Ta có x  y 18 Số tiền thu T 50 x  75 y (triệu đồng) Ta cần tìm x, y thoả mãn:  x 0, y 0   x  y 5 3 x  y 18  (I) 0,25 cho T 50 x  75 y đạt giá trị lớn Trên mặt phẳng tọa độ Oxy vẽ đường thẳng d1 : x  y 5; d : 3x  y 18 Đường thẳng d1 cắt trục hoành điểm C (5;0) , cắt trục tung điểm E (0;5) Đường thẳng d cắt trục hoành điểm D (6;0) , cắt trục tung điểm  18  A  0;   5  3  2 Đường thẳng d1 d cắt điểm B  ;  Biểu diễn hình học tập nghiệm hệ bất phương trình (I) miền đa giác OABC 0,25  x 0  T 0 ;   y 0  x 5  T 250 ;   y 0  x 0   18  T 270 ; y    x    T 287,5   y 3  0,25 Vậy để thu tổng số tiền lãi cao nơng trại trồng 3,5 cà rốt Câu V 1,5 khoai tây Cho số thực dương a, b, c Tìm giá trị lớn biểu thức ab bc ca   a  ab  bc b  bc  ca c  ca  ab 1 P   a b c a c b a c b Đặt x  ; y  ; z  1  1  1  b c a b a c b a c P 1   Ta có P  3 với x, y, z dương x  z  y  x  z  y3  0,25 xyz 1 x  y ( x  y )  ( x  y )  xy  ( x  y ) xy  x  y  1  ( x  y ) xy  x3  y  ( x  y ) xy  xyz  xy ( x  y  z ) 1   x  y  xy ( x  y  z ) 0,25 Tương tự 1 1   ; 3 y  z  yz ( x  y  z ) z  x  xz ( x  y  z ) 1 1    1 xy ( x  y  z ) yz ( x  y  z ) zx( x  y  z ) xyz Dấu " " xảy x  y  z 1  a b c P Vậy giá trị lớn P Lưu ý: Học sinh làm theo cách khác cho điểm tối đa 0,25 0,25