Bài 6 tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau

CHUYÊN ĐỀ BÀI TÍNH CHẤT CỦA HAI TIẾP TUYẾN CẮT NHAU Mục tiêu  Kiến thức + Nắm tính chất hai tiếp tuyến cắt + Nắm đường tròn nội tiếp, đường tròn bàng tiếp tam giác  Kĩ + Vẽ tiếp tuyến + Vẽ đường tròn nội tiếp tam giác, đường trịn bàng tiếp tam giác Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Định lý hai tiếp tuyến cắt Nếu hai tiếp tuyến đường tròn cắt điểm thì: - Điểm cách hai tiếp điểm - Tia kẻ từ điểm qua tâm tia phân giác góc tạo hai tiếp tuyến - Tia kẻ từ tâm qua điểm tia phân giác góc tạo hai bán kính qua tiếp điểm   AB  AC , BAO CAO , AOB  AOC Đường tròn nội tiếp tam giác Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh tam giác gọi đường tròn nội tiếp tam giác, tam giác gọi ngoại tiếp đường tròn Tâm đường tròn nội tiếp tam giác giao ba đường phân giác tam giác Đường tròn bàng tiếp tam giác Đường tròn tiếp xúc với cạnh tam giác tiếp xúc với phần kéo dài hai cạnh gọi đường tròn bàng tiếp tam giác Tâm đường tròn bàng tiếp tam giác ABC giao điểm đường phân giác góc A hai đường phân giác góc ngồi B C giao đường phân giác góc A với đường phân giác góc ngồi B (hoặc C ) Một tam giác có ba đường trịn bàng tiếp Trang SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA tiếp tuyến HAI TIẾP TUYẾN CẮT NHAU Đường tròn nội tiếp tam giác Tâm đường tròn nội tiếp giao ba đường phân giác tam giác Đường tròn bàng tiếp tam giác Tâm đường tròn bàng tiếp giao đường phân giác hai đường phân giác Trang II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Chứng minh hai đoạn thẳng nhau, hai đường thẳng song song, hai đường thẳng vng góc Phương pháp giải Dùng tính chất hai tiếp tuyến cắt Nếu hai tiếp tuyến đường tròn cắt điểm thì: - Điểm cách hai tiếp điểm - Tia kẻ từ điểm qua tâm tia phân giác góc tạo hai tiếp tuyến Ví dụ: Cho đường tròn  O; R  , dây AB khơng đường kính Qua O kẻ đường vng góc với AB , cắt tiếp tuyến A đường tròn điểm C Chứng minh CA CB Hướng dẫn giải - Tia kẻ từ tâm qua điểm tia phân giác góc tạo hai bán kính qua tiếp điểm Gọi I giao điểm OC với AB Vì OC  AB nên I trung điểm đoạn thẳng AB Xét tam giác ABC có CI vừa đường cao vừa đường trung tuyến nên tam giác ABC cân C Vậy CA CB Ví dụ mẫu Ví dụ Hai tiếp tuyến B C đường tròn  O  cắt A a) Chứng minh AO đường trung trực đoạn thẳng BC b) Vẽ đường kính CD  O  Chứng minh BD OA song song Hướng dẫn giải Trang a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có AB  AC Ta lại có OB OC R Suy A, O hai điểm cách hai đầu mút đoạn thẳng BC Vậy AO đường trung trực đoạn thẳng BC b) Xét tam giác BCD có CD đường kính đường tròn  O  ngoại tiếp tam giác nên tam giác BCD vuông B Suy DB  BC Mặt khác ta có AO đường trung trực đoạn thẳng BC nên AO  BC Vậy DB //AO (cùng vng góc với BC ) Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Hai tiếp tuyến A B đường tròn  O  cắt M Đường thẳng vng góc với OA O cắt MB C Chứng minh CM CO Câu 2: Hai tiếp tuyến A B đường tròn  O  cắt I Đường thẳng qua I vng góc với IA cắt OB K Chứng minh: a) IK //OA b) Tam giác IOK cân Bài tập nâng cao Câu 3: Cho đường trịn tâm O , K nằm bên ngồi đường tròn Kẻ tiếp tuyến KA, KB với đường tròn ( A, B tiếp điểm) Kẻ đường kính AOC Tiếp tuyến đường tròn  O  C cắt AB E a) Chứng minh tam giác KBC OBE đồng dạng b) Chứng minh CK vng góc với OE Câu 4: Từ điểm A ngồi đường trịn  O; R  kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (với B , C tiếp điểm) Kẻ BE vng góc với AC CF vng góc với AB ( E , F thuộc AC , AB ), BE CF cắt H a) Chứng minh tứ giác BOCH hình thoi b) Chứng minh ba điểm A, H , O thẳng hàng Dạng 2: Chứng minh tiếp tuyến, độ dài, tính số đo góc Phương pháp giải Sử dụng kiến thức sau: Dùng tính chất hai tiếp tuyến cắt Dùng khái niệm đường tròn nội tiếp, bàng tiếp Ví dụ: Cho đường trịn  O  Từ điểm M  O  , vẽ hai tiếp tuyến MA MB cho Dùng hệ thức lượng cạnh góc tam góc AMB 60 Biết chu vi tam giác MAB 18 cm Tính độ dài dây AB Trang giác vng Hướng dẫn giải Vì MA MB tiếp tuyến đường tròn  O  nên ta có MA MB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Suy tam giác MAB cân M Mặt khác AMB 60 nên tam giác MAB Theo giả thiết ta có chu vi tam giác AB 18  AB 6 (cm) Ví dụ mẫu Ví dụ Cho đường trịn tâm O bán kính R 6 (cm) điểm A cách O khoảng 10 (cm) Từ A vẽ tiếp tuyến AB ( A tiếp điểm) Tính độ dài đoạn tiếp tuyến AB Hướng dẫn giải Vì AB tiếp tuyến đường tròn  O  nên AB  OB Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vng AOB có OA2 OB  BA2  102 62  AB  AB 8 (cm) Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Từ điểm M ngồi đường trịn  O  vẽ hai tiếp tuyến MA MB ( A, B tiếp điểm) Cho biết góc AMB 40 Tính góc AOB Câu 2: Cho nửa đường trịn tâm O , đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax, By phía với nửa đường trịn AB Từ điểm M nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba với đường trịn, cắt Ax By C D a) Chứng minh tam giác COD tam giác vuông MC.MD OM b) Cho biết OC BA 2 R Tính AC BD theo R Bài tập nâng cao Câu 3: Cho hai đường tròn  O; R   O; R cắt A B cho đường thẳng OA tiếp tuyến đường tròn  O; R Biết R 12 cm, R 5 cm Trang a) Chứng minh OA tiếp tuyến đường tròn  O; R  b) Tính độ dài đoạn thẳng OO, AB Câu 4: Cho nửa đường tròn  O  đường kính AB điểm M nằm nửa đường trịn Gọi H chân đường vng góc hạ từ M xuống AB Biết AH 2 cm, MH 4 cm Hãy tính độ dài đoạn thẳng AB, MA, MB Câu 5: Cho đường trịn  O;3cm  điểm A có OA 6 cm Kẻ tiếp tuyến AB AC với đường tròn ( B, C tiếp điểm) Gọi H giao điểm OA BC a) Tính độ dài đoạn thẳng OH b) Qua điểm M thuộc cung nhỏ BC , kẻ tiếp tuyến với đường tròn, cắt AB AC theo thứ tự E F Tính chu vi tam giác AEF c) Tính số đo góc EOF ĐÁP ÁN Dạng 1: Chứng minh hai đoạn thẳng nhau, hai đường thẳng song song, hai đường thẳng vng góc Bài tập Câu  Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có BMO AMO (1) Vì MA tiếp tuyến đường tròn  O  nên MA  OA Suy MA//OC (cùng vuông góc với OA )  (so le trong)  AMO COM (2)   Từ (1) (2) suy COM CMO   Xét tam giác COM có COM nên tam giác COM cân C CMO Vậy CM CO Câu a) Vì IA tiếp tuyến đường tròn  O  nên IA  OA Mặt khác IK  OA (giả thiết) Suy IK //OA (cùng vng góc với IA )  b) Vì IK //OA nên AOI KIO (so le trong) (1) Vì tiếp tuyến đường trịn  O  A B cắt I nên  BOI  AOI (2)   Từ (1) (2) suy KOI KIO   Xét tam giác IOK có KOI nên tam giác IOK cân K KIO Trang Bài tập nâng cao Câu a) Tam giác ABC có AC đường kính đường tròn  O  ngoại tiếp tam giác nên ABC vuông B , tức CB  AB Vì CE tiếp tuyến đường trịn  O  nên CE  AC Xét tam giác ACE vng C , đường cao CB có   (cùng phụ góc CEA ) BCE BAC (1)   Ta lại có OKA (tính chất tiếp tuyến cắt nhau); OKB AKO BAC  (góc có cạnh tương ứng vng góc);    OKB BAC (2)   Từ (1) (2) suy BCE OKB   Xét hai tam giác vuông KBO CBE có BCE OKB  KBO CBE (g.g) KB OB  CB EB Suy     Ta có KBC KBO  OBC 90  OBC (3)     OBE BOC  CBE 90  OBC (4)   Từ (3) (4) suy KBC OBE Xét tam giác KBC OBE có   ; KBC OBE KB OB  ; CB EB  KBC OBE (c.g.c) b) Gọi I , J giao điểm CK với OB, CE   Vì KBC OBE nên CKB EOB Xét tam giác OIJ KBJ có   ; CKB EOB  KJB  (đối đỉnh); OJI    OIJ KBJ 90 Vậy CK  OE Câu Trang a) Vì AC tiếp tuyến đường tròn  O  nên AC  OC Do BE //OC (cùng vng góc với AC ) suy BH //OC Vì AB tiếp tuyến đường tròn  O  nên AB  OB Do CF //OB ( vng góc với AB ) suy CH //OB Xét tứ giác BOHC có BH //OC CH //OB nên BOCH hình bình hành Mặt khác OB OC R Vậy tứ giác BOHC hình thoi b) Vì BOHC hình thoi (chứng minh phần a) nên OH  BC (1) Vì OB OC R AB  AC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên AO đường trung trực đoạn thẳng BC suy AO  BC (2) Từ (1) (2) suy O, H , A thẳng hàng Dạng 2: Chứng minh tiếp tuyến, độ dài, tính số đo góc Bài tập Câu Vì MA, MB tiếp tuyến đường tròn  O  nên MA  OA, MB  OB   A  M  B  360 Xét tứ giác MAOB có O   90  90  40 360 O  140 O Vậy AOB 140 Câu   a) Vì tiếp tuyến A M đường trịn cắt C nên COA COM   Vì tiếp tuyến B M đường trịn cắt D nên DOB DOM    Ta có AOB  AOC  COM  MOD  DOB 180      2COM  DOM 180  COM  DOM 90    Xét tam giác COD có COD COM  DOM 90 Vậy tam giác COD vuông O Vì CD tiếp tuyến đường trịn  O  có tiếp điểm M nên OM  CD Vì tam giác COD vng O có đường cao OM nên ta có OM MC.MD b) Xét tam giác AOC vuông A có AO R, OC 2 R Trang Áp dụng định lý Pi-ta-go cho tam giác vng AOC có OC OA2  AC  R R  AC  AC R Vì tiếp tuyến A M đường trịn  O  nên CA CM R Xét tam giác vng COD có OM đường cao OC CM CD  R R 3.CD  CD  Suy MD CD  CM  3R  3R  3R 3R Vì tiếp tuyến B M đường tròn cắt D nên DM DB  3R Cách khác: Chứng minh tam giác AOC đồng dạng với tam giác BDO Vậy AC R 3, BD  R Bài tập nâng cao Câu a) Vì OA tiếp tuyến đường trịn  O nên ta có OA  OA Vì OA cắt đường trịn  O  A OA  OA nên OA tiếp tuyến đường tròn  O  b) Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vng OAO có OO2 OA2  AO2  OO2 122  52  OO 13 (cm) Gọi H giao điểm AB với OO Ta có OA OB R OA OB R nên OO đường trung trực AB Do H trung điểm AB AH  OO Xét tam giác vuông OAO , đường cao AH có AO AO  AH OO  12.5  AH 13  AH  60 (cm) 13 120 Vậy AB 2 AH  cm OO = 13 cm 13 Câu Xét tam giác vng MHO có OM R, MH 4 cm, OH R  Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông OHM có OM MH  HO  R 42   R    R 5 cm Do AB 2 R 10 cm BH 8 cm Trang 10 Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vng AHM có AM  AH  HM  AM 22  42  AM 2 (cm) Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vng BHM có BM BH  HM  82  42 80  BM 4 (cm) Vậy AB 10 cm, AM 2 cm, BM 4 cm Câu a) Vì AB tiếp tuyến đường tròn  O  nên AB  OB Ta có OB OC R AB  AC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Do OA đường trung trực đoạn thẳng BC nên OA  BC H trung điểm BC Xét tam giác OAB vuông B có đường cao BH nên ta có: OB OH OA  32 OH  OH 1,5 (cm) b) Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vng AOB có OA2 OB  BA2  62 32  BA2  AB 3 (cm)  AC 3 (cm) Vì tiếp tuyến B M đường tròn  O  cắt E nên EB EM Vì tiếp tuyến C M đường tròn  O  cắt F nên FC FM Chu vi tam giác AEF AE  AF  EF  AE  AF  EM  MF  AE  AF  EB  FC  AB  AC 6 (cm)   c) Vì tiếp tuyến B M đường tròn  O  cắt E nên BOE EOM   Vì tiếp tuyến C M đường tròn  O  cắt F nên COF FOM 1          BOE  EOM  MOF  FOC 2 EOM  MOF 2EOF  EOF  BOC Ta có BOC    Xét tam giác vng OAB có cos BOA  OB     BOA 60 OA 1   BOC Vì tiếp tuyến B C cắt A nên OA tia phân giác góc BOC hay BOA 1    BOC BOA 60 Vậy EOF Trang 11