Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 17 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
CHƯƠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN BÀI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Mục tiêu Kiến thức + Nắm khái niệm phương trình bậc hai ẩn + Hiểu tập nghiệm phương trình bậc hai ẩn Kĩ + Xác định cặp x0 ; y0 có nghiệm phương trình bậc hai ẩn khơng + Viết cơng thức tập nghiệm phương trình bậc hai ẩn biểu diễn tập nghiệm mặt phẳng tọa độ + Tìm điều kiện tham số để đường thẳng biểu diễn tập nghiệm phương trình ax by c thỏa mãn số điều kiện + Tìm nghiệm nguyên phương trình bậc hai ẩn I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Khái niệm phương trình bậc hai ẩn Ví dụ: Các phương trình 3x y 0 , x y 0 , Phương trình bậc hai ẩn x y hệ thức x y 7 , x y 9 phương trình bậc dạng ax by c , hai ẩn a , b c số biết ( a 0 Ví dụ: b 0 ). Cặp số Nghiệm phương trình bậc hai ẩn Trong phương trình ax by c , giá trị vế trái x x0 , y y0 vế phải cặp số x0 ; y0 2;6 nghiệm phương trình 3x y 0 3.2 0 Cặp số 4;1 nghiệm phương trình x y 0 4.1 0 gọi nghiệm phương trình ax by c Ta viết phương trình ax by c có nghiệm x0 ; y0 Chú ý: Trong mặt phẳng Oxy , nghiệm phương trình ax by c biểu diễn điểm Nghiệm x0 ; y0 biểu diễn điểm có tọa độ x0 ; y0 Tập nghiệm phương trình bậc hai ẩn Phương trình bậc hai ẩn ax by c ln có vơ số nghiệm Tập nghiệm biểu diễn Ví dụ: Tập nghiệm phương trình x y 4 biểu diễn đồ thị hàm số bậc d1 : y 2 x Trang Tập nghiệm phương trình x y 4 biểu đường thẳng ax by c , kí hiệu d - Nếu a 0 b 0 đường thẳng d diễn đường thẳng d : x 2 cắt trục hoành điểm có hồnh độ song song với Oy a c đồ thị hàm số bậc y x b b Tập nghiệm phương trình x y 6 biểu - Nếu a 0 b 0 phương trình trở thành diễn đường thẳng ax c hay x d3 : y 3 cắt trục tung điểm có tung độ song song với Ox c đường thẳng d song song a trùng với trục tung - Nếu a 0 b 0 phương trình trở thành by c hay y c đường thẳng d song song b trùng với trục hoành SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HĨA Phương trình bậc hai ẩn hệ thức dạng Trong , , số biết ( ) PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Phương trình bậc hai ẩn ln có vơ số nghiệm Tập nghiệm biểu diễn đường thẳng II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Xác định cặp x0 ; y0 có nghiệm phương trình bậc hai ẩn khơng? Bài tốn 1: Xác định cặp x0 ; y0 nghiệm phương trình bậc hai ẩn ax by c Phương pháp giải Trang Thực theo bước sau Bước Lần lượt thay giá trị x x0 ; y y0 vào Ví dụ: Trong cặp 2;3 ; 1; cặp phương trình ax by c nghiệm phương trình bậc hai ẩn x y 1 ? Bước Tính giá trị vế trái ax0 by0 Hướng dẫn giải Bước So sánh ax0 by0 với c Xét phương trình bậc hai ẩn x y 1 -Nếu VT VP cặp x0 ; y0 nghiệm phương Với cặp số 2;3 ta có trình ax by c - Nếu VT VP cặp x0 ; y0 khơng nghiệm phương trình ax by c 2.2 1 1 (đúng) Với cặp số 1; ta có 1 1 1 (không đúng) Vậy cặp số 2;3 nghiệm phương trình bậc hai ẩn x y 1 cặp số 1; khơng phải nghiệm phương trình bậc hai ẩn x y 1 Ví dụ mẫu Ví dụ Trong cặp số sau 1; ; 2;5 ; 3;7 cặp số nghiệm phương trình bậc hai ẩn x y Hướng dẫn giải a) Xét phương trình bậc hai ẩn x y Với cặp số 1; ta có 1 (không đúng) Vậy cặp số 1; khơng phải nghiệm phương trình bậc hai ẩn x y Với cặp số 2;5 ta có (đúng) Vậy cặp số 2;5 nghiệm phương trình bậc hai ẩn x y Với cặp số 3;7 ta có 3 (đúng) Vậy cặp số 3;7 nghiệm phương trình bậc hai ẩn x y Ví dụ Trong phương trình bậc hai ẩn x y 3 ; x y 5 ; 3x y 6 phương trình nhận cặp số 1; nghiệm? Hướng dẫn giải Xét phương trình x y 3 Với cặp số 1; ta có 1 3 3 (đúng) Trang Vậy phương trình x y 3 nhận cặp số 1; nghiệm Xét phương trình x y 5 Với cặp số 1; ta có 1 2.2 5 5 (đúng) Vậy phương trình x y 5 nhận cặp số 1; nghiệm Xét phương trình 3x y 6 Với cặp số 1; ta có 1 6 6 (khơng đúng) Vậy phương trình 3x y 6 không nhận cặp số 1; nghiệm Bài tốn 2: Tìm m để phương trình bậc hai ẩn nhận cặp x0 ; y0 làm nghiệm Phương pháp giải Thực theo bước sau Ví dụ: Tìm m để phương trình x y m nhận cặp Bước Lần lượt thay giá trị x0 ; y0 vào phương số 1; nghiệm trình ax by c Hướng dẫn giải Bước Thiết lập phương trình theo ẩn m Phương trình x y m nhận cặp số Bước Giải phương trình theo ẩn m Bước Kết luận 1; nghiệm m m 3 Vậy m 3 phương trình x y m nhận cặp số 1; nghiệm Ví dụ mẫu Ví dụ Xác định m để phương trình bậc hai ẩn mx y 2 nhận cặp số 1;3 nghiệm Hướng dẫn giải Phương trình bậc hai ẩn mx y 2 nhận cặp số 1;3 nghiệm m.1 2 m Vậy với m phương trình bậc hai ẩn mx y 2 nhận cặp số 1;3 nghiệm Ví dụ Xác định phương trình bậc hai ẩn nhận hai cặp số 1; 2;5 hai nghiệm Hướng dẫn giải Giả sử phương trình bậc hai ẩn nhận hai cặp số 1; 2;5 hai nghiệm có dạng ax by c a b 0 Vì phương trình ax by c nhận cặp số 1; nghiệm nên a 2b c (1) Trang Vì phương trình ax by c nhận cặp số 2;5 nghiệm nên 2a 5b c (2) Từ (1) suy a c 2b thay vào (2) ta 4b 2c 5b c c b Với c b thay vào (1) ta a 2b b a 3b Vì a b 0 nên a 0 ; b 0 Với a 3b c b phương trình bậc hai ẩn có dạng 3bx by b x y 1 Vậy phương trình bậc hai ẩn nhận hai cặp số 1; 2;5 hai nghiệm 3x y 1 Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Tìm giá trị m để phương trình 2mx y 1 nhận cặp số 1;3 nghiệm Câu 2: Trong cặp số 1; ; 2;3 ; 3; ; 1; 1 cặp số nghiệm phương trình x y 5 Câu 3: Tìm điều kiện m để phương trình 2m 1 x my 2 nhận cặp số 1; 1 nghiệm Câu 4: Xác định phương trình bậc hai ẩn biết phương trình nhận hai cặp số 1; 3 2;3 nghiệm phương trình ĐÁP ÁN Câu 1: Phương trình 2mx y 1 nhận cặp số x; y 1;3 nghiệm 2m.1 1 m Câu 2: Xét phương trình x y 5 Với cặp số 1; ta có 1 5 5 (vơ lí) Vậy 1; nghiệm phương trình x y 5 Với cặp số 2;3 ta có 5 5 (thỏa mãn) Vậy 2;3 nghiệm phương trình x y 5 Với cặp số 3; ta có 4.3 5 16 5 (vơ lí) Vậy 3; khơng phải nghiệm phương trình x y 5 Với cặp số 1; 1 ta có 4.1 1 5 5 (thỏa mãn) Vậy 1; 1 nghiệm phương trình x y 5 Câu 3: Phương trình 2m 1 x my 2 nhận cặp số 1; 1 nghiệm 2m 1 m 1 2 2m m 2 m 3 Vậy với m 3 phương trình 2m 1 x my 2 nhận cặp số 1; 1 nghiệm Câu 4: Trang Giả sử phương trình bậc hai ẩn nhận hai cặp số 1; 3 2;3 nghiệm có dạng ax by c a b 0 Vì phương trình ax by c nhận cặp số 1; 3 nghiệm nên a 3b c (1) Vì phương trình ax by c nhận cặp số 2;3 nghiệm nên 2a 3b c (2) Từ (1) suy a 3b c thay vào (2) ta 6b 2c 3b c b c Với b c thay vào (1) ta a 3b c 3b b 2b a 2b Vì a b 0 nên a 0 ; b 0 Với a 2b c b phương trình bậc hai ẩn có dạng 2bx by b x y Vậy phương trình bậc hai ẩn nhận hai cặp số 1; 3 2;3 hai nghiệm x y Dạng 2: Viết cơng thức nghiệm phương trình bậc hai ẩn biểu diễn tập nghiệm mặt phẳng tọa độ Phương pháp giải Thực theo bước sau Bước Biểu diễn theo hai cách sau Cách Biểu diễn x theo y:x b c y a a a 0 Cách Biểu diễn Ví dụ: Viết cơng thức nghiệm phương trình bậc hai ẩn x y 4 Biểu diễn tập nghiệm phương trình mặt phẳng tọa độ Hướng dẫn giải y theo x: y -a c x b b Xét phương trình x y 4 y x Vậy nghiệm tổng quát phương trình x y 4 b 0 x0 ; x0 Bước Đưa công thức nghiệm tổng quát Biểu diễn tập nghiệm phương trình x y 4 Bước Biểu diễn tập nghiệm phương trình mặt phẳng tọa độ, ta vẽ đường thẳng y -a c b c x x y b b a a mặt phẳng tọa độ: Vẽ đồ thị hàm số y x Với x 0 y 4 suy đồ thị hàm số qua điểm A 0; Với y 0 x 2 suy đồ thị hàm số qua điểm B 2;0 Trang Ví dụ mẫu Ví dụ Viết cơng thức nghiệm tổng qt phương trình y 5 Biểu diễn tập nghiệm phương trình mặt phẳng tọa độ Hướng dẫn giải Xét phương trình y 5 y 6 y 3 Vậy cặp nghiệm tổng quát phương trình y 5 x;3 Biểu diễn tập nghiệm phương trình y 5 mặt phẳng tọa độ: Đồ thị hàm số y 3 đường thẳng qua A 0;3 song song với Ox Trang Ví dụ Viết công thức nghiệm tổng quát phương trình x y Biểu diễn tập nghiệm phương trình mặt phẳng tọa độ Hướng dẫn giải Xét phương trình x y y x y 1 x 2 1 Vậy công thức nghiệm tổng quát phương trình x y x; x 2 Biểu diễn tập nghiệm phương trình x y mặt phẳng tọa độ: Vẽ đồ thị hàm số y 1 x 2: Với x 0 y suy đồ thị hàm số qua điểm A 0; Với x y suy đồ thị hàm số qua điểm B 2; 1 b Lưu ý: Đồ thị hàm số y ax b cắt trục tung điểm A 0; b , cắt trục hoành điểm B ;0 a Nếu giá trị b khó biểu diễn ta cho giá trị x x0 cho giá trị y0 tương ứng dễ biểu diễn a Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Tìm nghiệm tổng quát phương trình bậc hai ẩn x y 3 Câu 2: Tìm phương trình bậc hai ẩn có nghiệm tổng quát x; x Câu 3: Cho đồ thị hàm số hình vẽ Trang Tìm phương trình bậc hai ẩn có tập nghiệm biểu diễn mặt phẳng tọa độ hình Câu 4: Phương trình x my 0 có nghiệm tổng quát x; x Tìm m Câu 5: Viết cơng thức nghiệm tổng qt phương trình x y Biểu diễn tập nghiệm phương trình mặt phẳng tọa độ ĐÁP ÁN Câu 1: Ta có x y 3 y x nên nghiệm tổng quát phương trình x y 3 x; x 3 Câu 2: Ta có phương trình bậc hai ẩn có nghiệm tổng qt x; x suy y x x y 2 Câu 3: Đường thẳng qua điểm 2;0 0; nên phương trình bậc cần tìm x y Câu 4: Phương trình x my 0 có nghiệm tổng quát x; x , suy y x Ta có x my 0 x m x 0 m x 2m 0 m 0 m 2m 0 Câu 5: Xét phương trình x y y x Vậy công thức nghiệm tổng quát phương trình x; x 1 Biểu diễn tập nghiệm phương trình mặt phẳng tọa độ Vẽ đồ thị hàm số y x Với x 0 y , suy đồ thị hàm số qua điểm A 0; 1 Với x y 1 , suy đồ thị hàm số qua điểm B 1;1 Trang Dạng Tìm điều kiện tham số để đường thẳng biểu diễn tập nghiệm cùa phương trình ax by c a b 0 thỏa mãn điều kiện cho trước Bài tốn 1: Tìm điều kiện tham số để đường thẳng biểu diễn tập nghiệm phương trình ax by c a b 0 qua điểm cho trước Phương pháp giải Thực theo bước sau Ví dụ: Tìm điều kiện tham số m để đường Bước Xét b 0 phương trình đường thẳng biểu thẳng biểu diễn tập nghiệm phương trình diễn tập nghiệm phương trình bậc mx y 2 qua điểm A 1; c ax by c có dạng x a Hướng dẫn giải Ta có b 1 0 Bước Xét b 0 phương trình đường thẳng biểu Xét phương trình mx y 2 y mx diễn tập nghiệm phương trình bậc Vậy phương trình đường thẳng biểu diễn tập ax by c có dạng y a c x b b nghiệm phương trình bậc hai ẩn mx y 2 có dạng y mx Bước Để đường thẳng biểu dỉễn tập nghiệm Vì đường thẳng biểu diễn tập nghiệm phương phương trình ax by c qua điểm M x0 ; y0 trình x0 ; y0 thỏa mãn ax0 by0 c m.1 Bước Giải tìm m m mx y 2 qua điểm A 1; nên Vậy m đường thẳng biểu diễn tập nghiệm phương trình mx y 2 qua điểm A 1; Ví dụ mẫu Ví dụ Tìm điều kiện tham số m để đường thẳng biểu diễn tập nghiệm phương trình mx m 1 y 2m cắt trục tung điểm có tung độ Hướng dẫn giải Xét phương trình mx m 1 y 2m Với m 1 phương trình có dạng x 5 Đường thẳng biểu diễn tập nghiệm qua điểm 5;0 song song với Oy Suy m 1 không thỏa mãn yêu cầu đề Với m 1 ta có mx m 1 y 2m m 1 y mx 2m y m 2m x m m Trang 10 Vì đường thẳng biểu diễn tập nghiệm phương trình mx m 1 y 2m cắt trục tung điểm có tung độ nên đường thẳng y 1 m 2m m 2m x qua điểm 0;1 , suy m m m m 2m m 2m m (thỏa mãn m 1 ) m Vậy với m đường thẳng biểu diễn tập nghiệm phương trình mx m 1 y 2m cắt trục tung điểm có tung độ Ví dụ Tìm điều kiện tham số m để đường thẳng biểu diễn tập nghiệm phương trình 2mx 3m 1 y m cắt đường thẳng y x điểm có hoành độ Hướng dẫn giải Xét đường thẳng y x Với x ta có y 0 suy đường thẳng y x qua điểm A 1;0 Đường thẳng biểu diễn tập nghiệm phương trình 2mx 3m 1 y m cắt đường thẳng y x điểm có hồnh độ , suy đường thẳng biểu diễn tập nghiệm phương trình 2mx 3m 1 y m qua điểm A 1;0 Do phương trình bậc hai ẩn 2mx 3m 1 y m nhận 2m m 3m 2 m Vậy với m 1;0 nghiệm, hay 2 2 đường thẳng biểu diễn tập nghiệm phương trình 2mx 3m 1 y m cắt đường thẳng y x điểm có hồnh độ Bài tốn 2: Tìm điều kiện cùa tham số để đường thẳng biểu diễn tập nghiệm phương trình ax by c a b 0 vng góc, song song với đường thẳng cho trước Phương pháp giải Thực theo bước sau Ví dụ: Tìm điều kiện tham số m để đường Bước Xét b 0 phương trình đường thẳng biểu thẳng biểu diễn tập nghiệm phương trình diễn tập nghiệm phương trình bậc m 1 x y c ax by c có dạng x a y 2 x Bước Xét b 0 phương trình đường thẳng biểu diễn tập nghiệm phương trình bậc song song với đường thẳng Hướng dẫn giải Ta có b 1 0 Ta có m 1 x y y m 1 x Trang 11 ax by c có dạng y Vậy phương trình đường thẳng biểu diễn tập a c x b b nghiệm phương trình bậc hai ẩn Bước Để đường thẳng biểu diễn tập nghiệm phương trình ax by c - Song song với đường thẳng d : y ax b m 1 x y có dạng Đường thẳng biểu diễn tập nghiệm phương trình m 1 x y song song với đường thẳng a c a b b b - Cắt đường thẳng d : y ax b m 1 2 y 2 x 1 a a b - Vng góc với đường thẳng d : y ax b y m 1 x m m m Vậy với m đường thẳng biểu diễn tập nghiệm a a b phương trình m 1 x y song song với Bước Giải tìm m đường thẳng y 2 x Ví dụ mẫu Ví dụ Tìm điều kiện tham số m để đường thẳng biểu diễn tập nghiệm phương trình mx m 1 y 5m vng góc với đường thẳng y 1 x4 Hướng dẫn giải Xét phương trình mx m 1 y 5m Với m 1 phương trình trở thành x Đường thẳng biểu diễn tập nghiệm qua điểm 5;0 song song với Oy, vng góc với Ox nên khơng vng góc với đường thẳng y y 1 x (do đường thẳng 1 x cắt hai trục tọa độ) Vậy với m 1 không thỏa mãn yêu cầu đề Với m 1 ta có mx m 1 y 5m m 1 y mx 5m y m 5m x m m Vì đường thẳng biểu diễn tập nghiệm phương trình mx m 1 y 5m vuông góc với đường thẳng y 1 x nên Trang 12 m 1 m m 1 m 3m m m Vậy với m đường thẳng biểu diễn tập nghiệm phương trình mx m 1 y 5m vng góc với đường thẳng y 1 x4 Ví dụ Tìm điều kiện tham số m để đường thẳng biểu diễn tập nghiệm phương trình mx m y song song với trục Ox Hướng dẫn giải Đường thẳng song song với trục Ox có dạng y a a 0 Đường thẳng biểu diễn tập nghiệm phương trình mx m y song song với trục Ox m 0 m 0 Xét m 0 m 2 Vậy để đường thẳng biểu diễn tập nghiệm phương trình mx m y song song với trục Ox m 0 Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Tìm giá trị tham số m để đường thẳng biểu diễn tập nghiệm phương trình bậc hai ẩn m 1 x m 1 y 2 song song với trục hồnh Câu 2: Tìm giá trị m để đường thẳng biểu diễn tập nghiệm phương trình bậc hai ẩn 2mx m 3 y song song với trục tung Câu 3: Tìm giá trị m để đường thẳng biểu diễn tập nghiệm phương trình bậc hai ẩn m 1 x y 3m song song với đường thẳng y x Câu 4: Tìm giá trị m để đường thẳng biểu diễn tập nghiệm phương trình bậc hai ẩn x 2my qua điểm A 1; Câu 5: Tìm giá trị m để đường thẳng biểu diễn tập nghiệm phương trình bậc hai ẩn mx 2m 1 y 3 cắt trục hồnh điểm có hồnh độ Câu 6: Tìm điều kiện tham số m để đường thẳng biểu diễn tập nghiệm phương trình m 1 x my 3 qua điểm A 1;1 Câu 7: Tìm điều kiện tham số m để đường thẳng biểu diễn tập nghiệm phương trình mx y 3m song song với đường thẳng y 3x Trang 13 Câu 8: Tìm điều kiện tham số m để đường thẳng biểu diễn tập nghiệm phương trình 2m x my 7 cắt đường thẳng y 2 x điểm có hồnh độ ĐÁP ÁN Câu 1: Đường thẳng song song với trục hồnh có dạng y a a 0 Đường thẳng biểu diễn tập nghiệm phương trình m 1 x m 1 y 2 song song với trục hoành m 0 m 1 m 0 Vậy để đường thẳng biểu diễn tập nghiệm phương trình m 1 x m 1 y 2 song song với trục hồnh m 1 Câu 2: Đường thẳng song song với trục tung có dạng x a a 0 Đường thẳng biểu diễn tập nghiệm phương trình 2mx m 3 y song song với trục tung m 0 2m 0 m 3 Vậy để đường thẳng biểu diễn tập nghiệm phương trình 2mx m 3 y song song với trục tung m 3 Câu 3: Ta có m 1 x y 3m y m 1 x 3m Đường thẳng biểu diễn tập nghiệm phương trình bậc hai ẩn m 1 x y 3m song song m 1 1 m 0 m 0 với đường thẳng y x m 3m 5 Vậy để đường thẳng biểu diễn tập nghiệm phương trình bậc hai ẩn m 1 x y 3m song song với đường thẳng y x m 0 Câu 4: Đường thẳng x 2my qua điểm A 1; nên 2m.2 m Câu 5: Đường thẳng mx 2m 1 y 3 cắt trục hoành điểm có hồnh độ nên m.1 2m 1 3 m 3 Câu 6: Trang 14 Xét m 0 phương trình m 1 x my 3 có dạng x x đường thẳng qua điểm M 3;0 song song với Oy Do m 0 khơng phải giá trị cần tìm m 1 3 x Xét m 0 Suy công thức nghiệm tổng quát phương trình x; m m Vậy đường thẳng biểu diễn tập nghiệm phương trình m 1 x my 3 y m 1 x m m Mà đường thẳng biểu diễn tập nghiệm phương trình qua điểm 1 A 1;1 nên m 1 m m 2m 4 m 2 m m Vậy với m 2 đường thẳng biểu diễn tập nghiệm phương trình m 1 x my 3 qua điểm A 1;1 Câu 7: Phương trình đường thẳng biểu diễn tập nghiệm phương trình mx y 3m y mx 3m Vì đường thẳng biểu diễn tập nghiệm phương trình mx y 3m song song với đường thẳng m 3 y 3x nên m 3m Vậy với m đường thẳng biểu diễn tập nghiệm phương trình mx y 3m song song với đường thẳng y 3x Câu 8: Đường thẳng biểu diễn tập nghiệm phương trình 2m x my 7 cắt đường thẳng y 2 x điểm có hoành độ 2, suy đường thẳng biểu diễn tập nghiệm phương trình 2m x my 7 qua điểm 2;1 Xét phương trình bậc hai ẩn 2m x my 7 Với m 0 phương trình có dạng 3x 7 x Đường thẳng x 7 7 đường thẳng qua điểm ;0 song song với Oy m 0 khơng thỏa mãn 3 yêu cầu đề Xét m 0 phương trình biểu diễn tập nghiệm phương trình y 2m x my 7 có dạng 2m x m m Trang 15 Đường thẳng biểu diễn tập nghiệm qua điểm 2;1 , suy 1 2m 1 m 4m 3m 1 m m m Vậy với m 1 đường thẳng biểu diễn tập nghiệm phương trình 2m x my 7 cắt đường thẳng y 2 x điểm có hồnh độ Dạng Tìm nghiệm nguyên phương trình bậc hai ẩn Bài tốn 1: Tìm nghiệm ngun phương trình bậc hai ẩn Phương pháp giải Thực theo cách sau Ví dụ: Tìm nghiệm ngun dương phương Cách 1: Vận dụng linh hoạt tính chất chia hết đồng trình x y 9 (1) dư, chẵn lẻ để tìm đặc điểm biến số Hướng dẫn giải biểu thức phương trình, từ đưa Do y3 93 nên x 3 x 3 phương trình dạng mà ta biết cách giải Mà x nguyên dương nên x 3k k * đưa phương trình dạng đơn giản Thay vào (1) phương trình trở thành 6k y 9 Cách 2: Bước Đưa hết hệ số a, b, c hệ số a', b', c' y 2k cho a, b, c 1 Bước Tìm cặp nghiệm x0 ; y0 phương trình Do k 1 nên 2k y 2k 1 Mặt khác y nguyên dương nên y 1 k 1 x 3 Vậy nghiệm ngun dương phương trình Khi ax0 by0 c ; ax by c a x x0 b y y0 0 (1) Bước Biện luận tìm nghiệm nguyên x x0 b Ta có a, b 1 nên từ (1) suy y y0 a x x0 bt Vậy tồn số nguyên t cho y y0 at x y 9 x; y 3;1 Ví dụ: Tìm nghiệm nguyên phương trình x y 11 Hướng dẫn giải Ta có 2,3 1 Do 2.1 3.3 11 nên phương trình x y 11 nhận x; y 1;3 nghiệm Mặt khác 2,3 1 suy phương trình có nghiệm x 1 3t tổng qt y 3 2t với t Ví dụ mẫu Ví dụ Tìm nghiệm ngun dương phương trình x y 4 (1) Trang 16 Hướng dẫn giải Do x2 42 nên y 2 y 2 Mà y nguyên dương nên y 2k k * Thay vào (1) phương trình trở thành x 6k 4 x 3k Do k 1 nên 3k y 3k Do phương trình x y 4 khơng tồn nghiệm ngun dương Ví dụ Tìm nghiệm ngun phương trình 3x y 11 Hướng dẫn giải Do 2.3 5.1 11 nên phương trình 3x y 11 nhận x; y 2;1 nghiệm x 2 5t Mặt khác 3,5 1 suy phương trình có nghiệm tổng quát y 1 3t với t Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Tìm nghiệm nguyên phương trình x y 7 Câu 2: Tìm nghiệm nguyên phương trình 3x y 21 ĐÁP ÁN Câu 1: Do 2.2 1 7 nên phương trình x y 7 nhận x; y 2; 1 nghiệm Mặt khác 2; 3 1 suy phương trình có nghiệm tổng quát x 2 3t với t y 2t Câu 2: Do 3.2 5.3 21 nên phương trình 3x y 21 nhận x; y 2;3 nghiệm x 2 5t Mặt khác 3;5 1 suy phương trình có nghiệm tổng quát y 3 3t với t Trang 17