Pt lượng giác soạn

Hàm số lượng giác phương trình lượng giác HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Năm học: 2019 – 2020 A.LÝ THUYẾT I.TẬP XÁC ĐỊNH, TẬP GIÁ TRỊ, TÍNH CHẴN-LẺ VÀ CHU KỲ y  sin x : Tập xác định D = R; tập giá trị T    1, 1 ; hàm lẻ, chu kyø T0  2 2 a * y = sin(ax + b) có chu kỳ T0  * y = sin(f(x)) xác định  f ( x ) xác định y  cos x : Tập xác định D = R; Tập giá trị T    1, 1 ; hàm chẵn, chu kỳ T0  2 2 a * y = cos(ax + b) coù chu kỳ T0  * y = cos(f(x)) xác định  f ( x ) xác định   y  tan x : Tập xác định D  R \   k , k  Z  ; taäp giá trị T = R, hàm lẻ, chu kỳ T0  2   a * y = tan(ax + b) có chu kỳ T0  * y = tan(f(x)) xác định  f ( x )    k (k  Z ) y  cot x : Tập xác định D  R \  k , k  Z  ; tập giá trị T = R, hàm lẻ, chu kỳ T0   a * y = cot(ax + b) coù chu kỳ T0  * y = cot(f(x)) xác định  f ( x )  k (k  Z ) * y = f1(x) có chu kỳ T1 ; y = f2(x) có chu kỳ T2 Thì hàm số y  f1 ( x )  f2 ( x ) có chu kỳ T0 bội chung nhỏ T1 T2 II ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 1/ Vẽ đồ thị hàm số lượng giác: – Tìm tập xác định D – Tìm chu kỳ T0 hàm số – Xác định tính chẵn – lẻ (nếu cần) – Lập bảng biến thiên đoạn có độ dài chu kỳ T chọn:  T T  x   0, T0  hoaëc x    ,   2 – – Vẽ đồ thị đoạn có độ dài chu kỳ   Rồi suy phần đồ thị lại phép tịnh tiến theo véc tơ v  k T0 i bên trái phải song  song với trục hoành Ox (với i véc tơ đơn vị trục Ox) 2/ Một số phép biến đổi đồ thị: a/ Từ đồ thị hàm số y = f(x), suy đồ thị hàm số y = f(x) + a cách tịnh tiến đồ thị y = f(x) lên trục hoành a đơn vị a > tịnh tiến xuống phía trục hoành a đơn vị a < b/ Từ đồ thị y = f(x), suy đồ thị y = –f(x) cách lấy đối xứng đồ thị y = f(x) qua trục hoành GV: Phan Văn Ánh ĐT:0905.79.89.96 Hàm số lượng giác phương trình lượng giác  f ( x ), f(x)  c/ Đồ thị y  f ( x )   suy từ đồ thị y = f(x) cách giữ nguyên phần -f(x), f(x) < đồ thị y = f(x) phía trục hoành lấy đối xứng phần đồ thị y = f(x) nằm phía trục hoành qua trục hoành Ví dụ 1: Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = sinx – Tập xác định: D = R – – Tập giá trị:   1, 1 Chu kyø: T =  – Bảng biến thiên đoạn  0, 2  y y = sinx  3    3   x 5  –1 x0
0y 0 – –1   Tịnh tiến theo véctơ v  2k i ta đồ thị y = sinx Nhận xét: – Đồ thị hàm số lẻ nên nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng –     Hàm số đồng biến khoảng  0,  nghịch biến  ,    2 2  y Ví dụ 2: Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = cosx – Tập xác định: D = R – Tập giá trị:   1, 1 Chu kyø: T =  – –  3 y = cosx      3  5 x –1 Bảng biến thiên ñoaïn  0, 2  : x0
0y 1 –1 –   Tịnh tiến theo véctơ v  2k i ta đồ thị y = cosx Nhận xét: – Đồ thị hàm số chẵn nên nhận trục tung Oy làm trục đối xứng y   – Hàm số nghịch biến khoảng  0,  nghịch biến khoảng  2  3  ,    Ví dụ 3: Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = tanx   – Tập xác định: D = R \   k , k  Z  2   – Tập giá trị: R GV: Phan Văn Ánh ĐT:0905.79.89.96 y = tanx  3    O  3 2 5 x Hàm số lượng giác phương trình lượng giác lim y  – Giới hạn: –   x  : tiệm cận đứng Chu kỳ: T =     Bảng biến thiên   ,  :  2 – –  x  x0
0y + –   Tịnh tiến theo véctơ v  k i ta đồ thị y = tanx Nhận xét: – Đồ thị hàm số lẻ nên nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng – Hàm số đồng biến tập xác định D Ví dụ 4: Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = cotx – Tập xác định: D = R \  k , k  Z  – – Tập giá trị: R Giới hạn: lim y  , lim y   x x x y y = cotx  2 – tiệm cận đứng: x = 0, x =  Chu kỳ: T =  – Bảng biến thiên đoạn  0,   :   3  O  2  3  2 x x0
0y + – –   Tịnh tiến theo véctơ v  k i ta đồ thị y = cotx Nhận xét: – Đồ thị hàm số lẻ nên nhận gốc tọa độ O làm tâm đx – Hàm số giảm tập xác định D Ví dụ 5: Vẽ đồ thị y = – sinx – Vẽ đồ thị y = sinx – Từ đồ thị y = sinx, –2  3   O  y ta suy đồ thị y = –sinx cách lấy đối xứng qua Ox y y = –sinx  3  2 –1 Ví dụ 6: Vẽ đồ thị y = sinx sin x , sin x  y  sin x   -sin x, neáu sin x < GV: Phan Văn Ánh ĐT:0905.79.89.96 x y = /sinx/    O   3 2 x Hàm số lượng giác phương trình lượng giác Ví dụ 7: Vẽ đồ thị hàm số y = + cosx – Vẽ đồ thị y = cosx – Từ đồ thị y = cosx, ta suy đồ thị y 1  cos x cách tịnh tiến đồ thị y cos x lên trục hoành đơn vị – Bảng biến thiên đoạn  0, 2  : x0
0y = cosx0
1 –1 01y = + cosx0
2 12 y y = + cosx y = cosx  O   –1 Ví dụ 8: Vẽ đồ thị y = sin2x – y = sin2x có chu kỳ T =  – x 3   Bảng biến thiên ñoaïn  0, 2  : x0

2x0

y = sin2x0
–1 01 y y = sin2x     O   3  5 x –1 GV: Phan Văn Ánh ĐT:0905.79.89.96 Hàm số lượng giác phương trình lượng giác Ví dụ 9: Vẽ đồ thị y = cos2x – y = cos2x có chu kỳ T =  – Bảng biến thiên đoạn  0, 2  : x0

2x0

y = cos2x0
–1 01 –1 y y = cos2x  O   3  x –1   Ví dụ 10: Vẽ đồ thị y  sin  x   có chu kỳ T =  4  x0
–000 –1 y 1 /2   3      /2 y = sin O  40  3  5 3 7 x –1 GV: Phan Văn Ánh ĐT:0905.79.89.96 Hàm số lượng giác phương trình lượng giác   Ví dụ 11: Vẽ đồ thị y  cos  x   có chu kỳ T =  4  x0
–00 –1   Ví dụ 12: Vẽ đồ thò y  sin x  cos x  sin  x   có chu kỳ T =  4  x0
–00–1010 –1 –1 1 y –1 1 y=   3     O    –1 y 3  5 3 7   3     O  x y=  3  5 3 7 x   Ví dụ 13: Vẽ đồ thò y  cos x  sin x  cos  x   có chu kỳ T =  4  GV: Phan Văn Ánh ĐT:0905.79.89.96 Hàm số lượng giác phương trình lượng giác Ví dụ 14: Vẽ đồ thị y = tanx + cotx – –    Tập xác định: D  R \ k , k  Z    x0
0tanx0
–101cotx0
0–110y = Chu kyø T =  tanx0
+ cotx0
– y –+ y = tanx + cotx 3 +       O     x –2 3 III.PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN GV: Phan Văn Ánh ĐT:0905.79.89.96 Hàm số lượng giác phương trình lượng giác Phương trình sinx = sin   x   k 2 (k  Z ) a/ sin x  sin     x     k 2 sin x  a Điều kiện :   a 1 b/ sin x  a   x arcsin a  k 2  x   arcsin a  k 2 (k  Z ) c/ sin u  sin v  sin u sin( v)   d/ sin u  cos v  sin u  sin   v  2    e/ sin u  cos v  sin u  sin  v    2 Các trường hợp đặc biệt: sin x   x  k (k  Z ) sin x 1  x    k 2 (k  Z ) sin x   x    k 2 (k  Z )  sin x 1  sin2 x 1  cos2 x   cos x   x   k (k  Z ) 2 Phương trình cosx = cos  a/ cos x  cos   x   k 2 (k  Z ) cos x  a Điều kiện :   a 1 b/ cos x  a  x arccos a  k 2 (k  Z ) c/ cos u  cos v  cos u cos(  v)   d/ cos u  sin v  cos u  cos   v  2    e/ cos u  sin v  cos u  cos   v  2  Các trường hợp đặc biệt:  cos x   x   k (k  Z ) cos x 1  x  k 2 (k  Z ) cos x   x   k 2 (k  Z ) cos x 1  cos2 x 1  sin x   sin x   x k (k  Z ) Phương trình tanx = tan  a/ tan x  tan   x   k (k  Z ) b/ tan x  a  x  arctan a  k (k  Z ) c/ tan u  tan v  tan u tan( v)   d/ tan u  cot v  tan u  tan   v  2    e/ tan u  cot v  tan u  tan   v  2  Caùc trường hợp đặc biệt: GV: Phan Văn Ánh ĐT:0905.79.89.96 Hàm số lượng giác phương trình lượng giác  tan x 1  x   k (k  Z ) tan x   x  k (k  Z ) Phương trình cotx = cot  cot x  cot   x   k (k  Z ) cot x  a  x  arccot a  k (k  Z ) Các trường hợp đặc biệt:   k (k  Z ) Các dạng tập  cot x 1  x   k (k  Z ) cot x   x  Bài Giải phương trình:   1) cos  x   0 6    4) sin  x   0 3  7) sin  x  1    10) cos   x   6    13) tan  x    6    2) cos  x   1 3  x  5) sin    1 2 4 8) cos x  150      3) cos   x   5    6) sin   x   6  x  9) sin     2 3 2 11) tan  x  1  12) cot x  100    14) cot  x   1 3  15) cos(2x0
+ 250) =    3 2 Baøi Giải phương trình: 1) sin  x  1 sin  x       2) cos  x   cos  x   3 6   3) cos3 x sin x 4) sin x  120  cos x 0     5) cos  x    cos  x   0 3 3       7) tan  x   tan  x   4 6    x 6) sin x  sin    0  2     8) cot  x   cot  x   4 3   9) tan  x  1  cot x 0 10) cos x  x 0   11) sin x  x 0  12) tan  x 13) cot x 1 14) sin x   15) cos x      x  tan 2  2 16) sin  x   cos x 4  IV.PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP Phương trình bậc hai hàm lượng giác GV: Phan Văn Ánh ĐT:0905.79.89.96 Hàm số lượng giác phương trình lượng giác asin x  b sin x  c  Đặt t = sinx0
Điều kiện  t 1 a cos2 x  b cos x  c  t = cosx0
 t 1 a tan x  b tan x  c  t = tanx0
a cot x  b cot x  c  t = cotx0
 x   k (k  Z ) x k (k  Z ) Dạng Nếu đặt: t  sin2 x t  sin x điều kiện :  t 1 Phương trình bậc theo sinx, cosx: a sin x  b cos x c  (1)   a2  b2 ta được: Chia hai vế phương trình cho a a2  b2 sin x  Đặt: sin   b a2  b2 a a b cos x  , cos   c a2  b2 b a b     0, 2   phương trình trở thành: sin  sin x  cos  cos x   cos( x   )   c a b c a  b2  cos  (2) Điều kiện để phương trình có nghiệm là: c 1  a2  b2  c a2  b2 (2)  x    k 2 (k  Z ) Phương trình đẳng cấp theo sinx, cosx: a sin x  b sinx0
cosx0
 c cos x d  Kiểm tra cosx = có thoả mãn hay không?  Lưu ý: cosx =  x   k  sin x 1  sin x 1  Khi cos x  , chia hai vế phương trình (1) cho cos2 x 0 ta được: a.tan x  b.tan x  c  d (1  tan x )  Đặt: t = tanx, đưa phương trình bậc hai theo t: (a  d )t  b.t  c  d  Phương trình đối xứng: a.( sinx cosx)  b.sinx.cosx  c      Ñaët: t  cos x  sin x  2.cos  x   ; t   4  t 1 2sin x.cos x  sin x.cos x  (t  1) Thay vaøo phương trình cho, ta phương trình bậc hai theo t Giải phương trình tìm t thỏa t  Suy x Lưu ý dấu: GV: Phan Văn Ánh ĐT:0905.79.89.96 10 Hàm số lượng giác phương trình lượng giác A 2 Câu 40  C  Hàm số y cos x đồng biến đoạn đây: B   A  0;   2 B   ; 2  C    ;   D k , k   D  0;     Hàm số sau có tính đơn điệu khoảng  0;  khác với hàm số lại ?  2 A y sin x B y cos x C y tan x D y  cot x Câu 42 Hàm số y tan x đồng biến khoảng: Câu 41     A  0;  B  0;   2  2 Câu 43 Khẳng định sau đây đúng?  3 C  0;      3   ;  D    2   3  A Hàm số y sin x đồng biến khoảng  ;  4    3  B Hàm số y cos x đồng biến khoảng  ;  4   3   ;  C Hàm số y sin x đồng biến khoảng   4   3   ;  D Hàm số y cos x đồng biến khoảng   4    Hàm số sau đây nghịch biến khoảng  0;  ?  2 A y sin x B y cos x C y tan x Câu 44 D y  cot x   3  Hàm số đây đồng biến khoảng  ;  ? 2  A y sin x B y cos x C y cot x D y tan x Câu 46 Giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số y 3sin x  là: A   B C  D  Câu 45 Câu 47 A Giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số y 4 sin x   là: B Câu 48 D  Giá trị nhỏ hàm số y sin x  4sin x  là: A  20 Câu 49 C B  C D Giá trị lớn hàm số y 1  cos x  cos x là: A B C D Câu 50 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau y 2  3sin x A y  2; max0
y 5 B y  1; max0
y 4 C y  1; max0
y 5 D y  5; max0
y 5 Câu 51 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau y 1  4sin 2 x A y  2; max0
y 1 C y  5; max0
y 1 GV: Phan Văn Ánh ĐT:0905.79.89.96 B y  3; max0
y 5 D y  3; max0
y 1 17 Hàm số lượng giác phương trình lượng giác Câu 52 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau y 2 cos(3 x  A y 2 , max0
y 5 C y 1 , max0
y 5 Câu 53 B y 1 , max0
y 4 D y 1 , max0
y 3 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau y   2sin 2 x  A y 6 , max0
y 4  C y 5 , max0
y 4  3 Câu 54 B y 5 , max0
y 4  D y 5 , max0
y 4  Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau y 2sin x  cos 2 x A max0
y 4 , y  B max0
y 3 , y 2 C max0
y 4 , y 2 Câu 55  )3 D max0
y 3 , y  Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau y 2sin x  3sin x  cos x A y   1; max0
y 3  B y   1; max0
y 3  C y  2; max0
y 3  D y   2; max0
y 3  Câu 56 Tìm m để hàm số y  5sin x  6cos x  2m  x0
ác định với x A m 1 B m  61  C m  61  D m  61  II PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Câu 1.Tìm tất nghiệm phương trình tan x m ,  m    GV: Phan Văn Ánh ĐT:0905.79.89.96 18 Hàm số lượng giác phương trình lượng giác A x arctan m  k x   arctan m  k ,  k   B x arctan m  k ,  k   C x arctan m  k 2 ,  k   D x arctan m  k ,  k   Câu Phương trình sin x cos x  k   x 6   k   B A   x   k 2     x   k 2  k   D C   x   k 2  có nghiệm  k   x 6    k    x   k 2   k 2   x 6    k    x   k 2  Câu Giải phương trình tan x  0    A x   k  k   B x   k  k   3  x   k  k     C x   k  k   D có tập nghiệm  5     A  x   k ; k   B  x   k 2 ; k   6           C  x   k ; k   D  x   k 2 ; k   3     Câu Phương trình cos x  0 có nghiệm  2  A x  B x  C x  3 Câu Phương trình cos x  D x  5 Câu Cho phương trình cos x  sin x  0 Khi đặt t sin x , ta phương trình đây A 2t  t  0 B t  0 C  2t  t  0 D  2t  t  0 Câu Biểu diễn họ nghiệm phương trình sin x 1 đường trịn đơn vị ta điểm? A B C D Câu Phương trình sin x sin  (hằng số    ) có nghiệm A x   k , x     k  k   B x   k 2 , x    k 2  k   C x   k 2 , x     k 2  k   D x   k , x    k  k   có tập nghiệm    A  x   k 2 ; k     3   C  x   k 2 ; k        B  x   k ; k        D  x   k ; k     Câu Phương trình cos x  Câu 10 Tập nghiệm phương trình 2sin x  0 GV: Phan Văn Ánh ĐT:0905.79.89.96 19 Hàm số lượng giác phương trình lượng giác  A S     C S     7   k ,  k , k   12 12   7   k 2 ,  k 2 , k   12 12  Câu 11 Nghiệm phương trình A x   k 3  tan x 0 là: B x   k 2 Câu 12 Nghiệm phương trình cot x   là:   A x   k 2 B x   k Câu 13 Nghiệm phương trình sin x 1 là:   A x   k 2 B x   k 2  B S     D S     7   k 2 ,  k 2 , k   12   7   k ,  k , k   12  C x    k C x    k D x   k D x    k C x k  D x   k 2 C x k D x  C x k  D x   k 2 C x k 2  D x   k C x   k 2 D x  là:  B x   k 2  C x   k 2  D x   k 2 là:  B x   k 2 2 C x   k 2  D x   k  C x   k 2 D x  Câu 14 Nghiệm phương trình sin x  là:   A x   k B x   k 2 2 Câu 15 Nghiệm phương trình sin x  là:   A x   k 2 B x   k Câu 16 Nghiệm phương trình cos x 1 là:  A x k B x   k 2 Câu 17 Nghiệm phương trình cos x  là:  A x   k B x   k 2 3  k 3  k Câu 18 Nghiệm phương trình cos x   A x   k 2 Câu 19 Nghiệm phương trình cos x   A x   k 2 Câu 20 Nghiệm pt sin x – là:    k 2 A x   k 2 B x  Câu 21 Tập nghiệm phương trình sin x sin x π   A S k 2π;  k 2π k     π   C S k 2π;   k 2π k     GV: Phan Văn Ánh ĐT:0905.79.89.96 5  k 2 π k 2π   k   B S k 2π;  3   D S  k 2π; π  k 2π k   20