Phan 6

Một số loại chóp khác Câu Cho khối chóp OABC có OA , OB , OC đơi vng góc O OA 2 , OB 3 , OC 6 Thể tích khối chóp A 12 B D 36 C 24 Lời giải C B O A 1 1  Thể tích khối chóp: V  SOAB OC   OA.OB  OC 6 3  Câu   Cho khối chóp S ABC có góc ASB BSC CSA 60 SA 2 , SB 3 , SC 4 Thể tích khối chóp S ABC A 2 B C D Lời giải Gọi B SB cho SB  SB C  SC cho SC   SC Khi SA SB SC  2  S ABC  khối tứ diện Ta có: AM  2   AO  AM  3 Nên SO  SA2  AO  S ABC   2 Khi VS ABC   S ABC .SO  3 Mà ta lại có: VS ABC SA SB SC  3  VS ABC 3VS ABC  2 VS ABC  SA SB SC  Cách khác: VS ABC  Câu SA.SB.SC    cos.BSC  cosCSB   cos ASB  cos BSC  cos CSB  2cos ASB 2 Cho khối chóp S ABC tích V , giữ ngun chiều cao tăng cạnh đáy lên lần thể tích khối chóp thu A 3V B 6V C 9V Lời giải Gọi a , b , c độ dài cạnh ABC Đặt p  S1  D 12V 3 a  b  c a b c  p  a   p  b   p  c  9 S ABC  Thể tích khối chóp thu 9V Câu   Cho khối chóp S ABC có góc ASB BSC CSA 60 SA 2, SB 3, CS 4 Tính thể tích khối chóp S ABC A B C 2 D Lời giải Lấy M  SB, N  SC cho SA SM SN 2 Suy tứ diện SAMN tứ diện cạnh a 2 nên VS AMN  Ta có: Câu a 23 2   12 12 VS AMN SA SM SN 2         VS ABC 3VS AMN 2 VS ABC SA SB SC Cho tứ diện ABCD có AB CD 6  cm  , khoảng cách AB CD 12  cm  , góc AB CD 30 Tính thể tích khối tứ diện ABCD A 36  cm  B 25  cm  C 60  cm  Lời giải D 32  cm  Dựng hình lăng trụ AEF BCD suy EC  AB CD 6  cm  Góc hai đường thẳng AB CD góc EC CD 30 Gọi H hình chiếu A lên mặt phẳng  CDFE  Ta có d  AB, CD  d  AB,  CDFE   d  A,  CDEF    AH 12  cm  1 Suy VA.CDFE  AH SCDFE  12.EC.CD.sin EC , CD  72  cm  3 Ta có VABCD  VAEF BCD , mặt khác VABCD  VA.CDFE VAEF BCD 3 Suy VABCD  VA.CDFE 36  cm  Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD tứ giác lồi góc tạo mặt phẳng  SAB  ,  SBC  ,  SCD  ,  SDA với mặt đáy 90 , 60 , 60 , 60 Biết tam giác SAB vuông cân S , AB a chu vi tứ giác ABCD 9a Tính thể tích V khối chóp S ABCD A V  a3 B V  a3 C V  Hướng dẫn giải 2a 3 D V a 3 Gọi I trung điểm AB Tam giác SAB vuông cân S nên SI  AB SI   SAB    ABCD  a Mặt khác nên SI   ABCD  Thể tích khối chóp S ABCD V  SI S ABCD  Kẻ IH  BC ta có góc  SBC   ABCD  SHI Do mặt  SBC  ,  SCD  ,  SDA  tạo với  ABCD  góc 60 nên khoảng  cách từ I đến cạnh CD , DA IH Ta có SIH 60 IH SI cot 60  S ABCD  nên a a   BC  CD  DA HI   9a  AB  a  2a 2 1 a 2a a 3 Vậy V  SI S ABCD   3 Câu Cho hình chóp S ABC có chiều cao a , AB a , BC a , ABC 60 Tính thể tích V khối chóp A V  a3 B V  a3 C V  a3 D V  Lời giải S h C A a H 60° B a 1 3a Ta có: Diện tích mặt đáy S ABC  BA.BC.sin ABC  a.a 3.sin 60  2 a3 12 1 3a a3 Thể tích VS ABC  S ABC h   a  3 4 Câu Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác ABC cạnh a , tam giác SBA vuông B , tam giác SAC vuông C Biết góc hai mặt phẳng  SAB   ABC  60 Tính thể tích khối chóp S ABC theo a A 3a B 3a 12 C 3a D 3a Lời giải S D C B A Gọi D hình chiếu S lên mặt phẳng  ABC  , suy SD   ABC  Ta có SD  AB SB  AB ( gt ) , suy AB   SBD   BA  BD Tương tự có AC  DC hay tam giác ACD vuông C Dễ thấy SBA SCA , suy SB SC Từ ta chứng minh SBD SCD nên có DB DC  Vậy DA đường trung trực BC , nên đường phân giác góc BAC  Ta có DAC 30 , suy DC  a Ngồi góc hai mặt phẳng  SAB   ABC  SD a    SBD 60 , suy tan SBD  BD  SD BD tan SBD  a 1 a2 a3 Vậy VS ABC  S ABC SD  a  3 12 Câu Cho tứ diện ABCD có cạnh AD BC 3 ; AC BD 4 ; AB CD 2 Thể tích tứ diện ABCD bằng: A 2047 12 B 2470 12 C Lời giải 2474 12 D 2740 12 A G B D E F C Từ đỉnh tam giác BCD ta kẻ đường thẳng song song với cạnh đối diện chúng tạo thành tam giác EFG có diện tích gấp lần diện tích tam giác BCD Các tam giác AEF , AFG , AGE tam giác vuông A nên ta có: AE  AF EF 64  1 ; AF  AG FG 36   AE  AG EG 48  3 2 Từ  1 ,   ,  3 ta có:  AE  AF  AG  148  AE  AF  AG 74   Từ  1 ,   ta có: AG 10  AG  10 Từ   ,   ta có: AE 38  AE  38 Từ  3 ,   ta có: AF 26  AF  38 1 Thể tích khối chóp A.EFG là: V   AE AF AG  9880  2470 6 2470 Do thể tích tứ diện ABCD là: V  V   12 Câu 10 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành thoả mãn AB a AC a , BC 2a Biết tam giác SBC cân S , tam giác SCD vuông C khoảng cách từ D đến a mặt phẳng  SBC  Tính thể tích V khối chóp cho 2a A V  a3 B V  a3 C V  3 Lời giải a3 D V  S I A D H B K C Ta có BC  AB  AC  ABC vuông A CD  SC    CD   SAC    SAC    ABCD  CD  AC  Kẻ SH  AC , H  AC  SH   ABCD  Gọi K trung điểm BC BC  SK    BC   SHK   BC  HK BC  SH  Kẻ HI  SK ,  I  SK   HI   SBC   d  H ;  SBC   HI AD //  SBC   d  A;  SBC   d  D;  SBC   CKH CAB  d  A;  SBC   d  H ;  SBC    HK CH CK 2a , HK  a     HC  AC  AB BC CA 3 3 AC   HI  2a HC 1 1 81 15 2a        SH  2 2 HI HK SH SH 12a a 4a 15 Thể tích cần tìm V  2a 2a a  15 3 Câu 11 Cho khối chóp S ABC có SA a , SB a , SC a Thể tích lớn khối chóp là: A a3 B a3 C a Lời giải D a3 A a a S C H a B Gọi H hình chiếu vng góc điểm A  SBC  VSABC  AH S SBC AH SA Đẳng thức xảy  SA   SBC  1 a2    Đẳng thức xảy sin BSC S SBC  SB.SC sin BSC  a 2.a  1  BSC 90 2 1 a3 VSABC  AH SSBC  a.a  3 Đẳng thức xảy SA , SB , SC đơi vng góc  Câu 12 Cho hình chóp S ABC có ASB 60 , ASC 90 , CSB 120 SA 1 , SB 2 , SC 3 Khi thể tích khối chóp S ABC A B C D Lời giải S N A O M C B Lấy M trung điểm SB lấy N  SC cho SN 1 Ta có SA SM SN 1 nên hình chiếu vng góc S lên  AMN  trùng với tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN Ta có: AM 1 tam giác SAM AN  cạnh huyền tam giác vng SAN có cạnh góc vng MN  SM  SN  SM SN cos120  Dễ đánh giá tam giác AMN vng A nên có S AMN  OA  2 AM AN MN 3   4.S AMN 2 Suy SO  SA2  AO    1 2 Suy VS AMN   2 12 Áp dụng cơng thức tỉ số thể tích ta có VS AMN 1    suy V S ABC 6.VS AMN  VS ABC    Câu 13 Cho hình chóp SABC , SA 4 , SB 5 , SC 6 , ASB BSC 45 , CSA 60 Các điểm M ,       N , P thỏa mãn đẳng thức: AB 4 AM , BC 4 BN , CA 4CP Tính thể tích chóp S MNP A 128 B 35 C 245 32 D Lời giải S P A C M N B 2  VS ABC  abc  cos   cos   cos   cos  cos  cos  VS ABC  4.5.6 1 1 1     10 2 2 35  3 3 S MNP S  S AMP  S MBN  S NCP S  S      S , S S ABC  16 16 16  16 Mà VS MNP SMNP 35    VS MNP  VS ABC SABC 16 AM AP.sin SAMP  Chú ý: S ABC AB AC.sin   MAP  1    BAC  4 16  Câu 14 Khối chóp O ABC có OB OC a , AOB  AOC 45 , BOC 60 , OA a Khi thể tích khối tứ diện O ABC bằng: A a2 12 B a3 12 C a3 12 D a3 Lời giải Cách 1:   Tam giác OBC có OB OC a , BOC 60  OBC tam giác  BC a  Tam giác OAC OAB  AB  AC  Áp dụng định lí cosin tam giác OAB ta có: AB OA2  OB  2.OA.OB.cos 45  AB a  AB  AC a Khi tam giác ABC Gọi H trung điểm BC OH  AH    sin OHA  OH  AH  OA2  a  cos OHA   AH OH 2 a2   SOAH  OH AH sin OHA   BC  OH  BC   OAH  Ta có   BC  AH VO ABC 2VB.OAH  VO ABC 2 .BH SOAH  VO ABC  a 12 Cách 2: Áp dụng công thức giải nhanh OA a, OB b, OC c Khối tứ diện OABC có      AOB  , AOC  , BOC VOABC  abc a3  cos   cos   cos   cos  cos  cos   12 Câu 15 Cho tứ diện ABCD có AB CD 2a AC a Gọi M , N trung điểm AB CD Biết MN a MN đoạn vng góc chung AB CD Tính thể tích tứ diện ABCD A a3 B a3 a3 C D a3 Lời giải A M D B N C Ta có MN  NC  ND a , mà MN vừa đường cao, vừa đường trung tuyến CMD  CMD vuông cân M  MC MD a Lại có MN MA MB a , mà MN vừa đường cao, vừa đường trung tuyến ANB  ANB vuông cân N  AN  NB a CA2  CB AB Do CM đường trung tuyến ACB nên CM     a   a 2  2  CB   2a   BC 2a AN đường trung tuyến ACD nên AC  AD CD AN    a 2   AD 2a BC   a 2  2  AD   2a  BN đường trung tuyến BCD nên BC  BD CD BN    a 2    2a   2  BD  2a    BD a  AC Công thức cần nhớ: Nếu tứ diện ABCD có AB CD a, AC BD b, AD  BC c thể tích tính cơng thức: VABCD  a  b2  c   b2  c  a   c  a  b2  Áp dụng cơng thức trên, ta có: VABCD     2a  2    2a   a    2a    a    2a    2a    a    2a   a3 Câu 16 Cho hình chóp S ABC , có đáy  SAB  ,  SAC  ,  SBC  ABC tam giác cạnh a Các mặt bên tạo với đáy góc 30 , 45 , 60 Tính thể tích V khối chóp S ABC Biết hình chiếu vng góc S mặt phẳng  ABC  nằm bên tam giác ABC A V  a3  4 B V   a3  4  C V  a3  4 D V   a3   3 Lời giải Gọi H hình chiếu vng góc S mặt phẳng  ABC  Kẻ HD  AB  D  AB  , HE  AC  E  AC  , HF  BC  E  BC  Khi ta có HD  Ta có S ABC SH SH SH SH SH 3, HE  SH , HF   0 tan 30 tan 45 tan 60 1  a2 3a  a2 SH       SH  suy  3 4    3a a2 a3 V   Vậy 4 4     Câu 17 Cho hình chóp S ABC có AB 3, BC 4, AC 5 Các mặt bên  SAB  ,  SAC  ,  SBC  hợp với mặt đáy  ABC  góc 60 hình chiếu H S lên  ABC  nằm khác phía với A đường thẳng BC Thể tích khối chóp S ABC A VS ABC 6 B VS ABC 12 C VS ABC 2 Lời giải D VS ABC 4 S A P C M I B H N Gọi M , N , P hình chiếu H lên CB, BA, AC Ta có SHM SHN SHP  HM HN HP Theo ta có H tâm đường trịn bàng tiếp ABC Ta có ABC vng B  BMHN hình vng Gọi I  AH  BC BI 3   BI  BC  IC Ta có BI NH    B trung điểm AN  HN  AB 3 AB AN  SH HN tan 60 3 1 S ABC  BA.BC 6  VS ABC  S ABC SH 6 Câu 18 Tính thể V khối SA BC 5, SB  AC 6, SC  AB 7 A V 2 95 tích B V  35 chóp S ABC C V  35 có độ dài D V 2 105 Lời giải Dựng tam giác ABC  cho A, B, C trung điểm BC , AC , AB Ta có SA BC  BC  nên tam giác SBC  vuông S cạnh Tương tự tam giác SAB, SAC  tam giác vuông S Hay S ABC  tứ diện có ba cạnh đơi vng góc 1 1 VS ABC   SA.S SB 'C '  SA SB.SC   SA.SB.SC  3  SA2  SB2  AB2 (2 AB ) 196  2 2  SB  SC  BC  (2 BC ) 100   SA2  SC 2  AC 2 (2 AC ) 144   SA2 120   SB 76   SC 2 24   SA 2 30   SB 2 19   SC  2 1 1 VS ABC  SA.S SBC  SA SB.SC   SA.SB.SC   30.2 19.2 8 95 3 6 1 VSABC  VSABC   95 2 95 4 Câu 19 Cho khối chóp S ABC có cạnh đáy AB  AC 5a, BC 6a mặt bên tạo với đáy góc 60 Hãy tính thể tích V khối chóp A V 6a 3 B V 2a 3 C V 12a 3 D V 18a 3 Lời giải Kẻ SO   ABC  OD, OE , OF vng góc với AC , CA, AB Theo định lí ba đường vng góc ta có SD  BC , SE  AC , SF  AB Từ suy SDO SEO SFO 60 Do tam giác vng SDO; SEO; SFO Từ suy OD OE OF Vậy O tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Vì tam giác ABC cân A nên OA vừa đường phân giác, vừa đường cao, vừa đường trung tuyến Suy A, O, D thẳng hàng Suy AD  AB  BD  16a 4a Gọi p nửa chu vi tam giác ABC , r bán kính đường trịn nội tiếp Khi S ABC  6a.4a 12a  pr 8ar với r  a 2 Do SO OD.tan 60  3a Vậy V 6a 3 Câu 20 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác có cạnh Biết khoảng cách từ A 15 30 , từ C đến  SAB  hình chiếu vuông , từ B đến  SCA  10 20 góc S xuống đáy nằm tam giác ABC Thể tích khối chốp S ABC đến  SBC  A 36 B 48 12 Lời giải C D 24 Gọi M , N , P hình chiếu H lên cạnh AB, BC CA h Đặt SH h  VS ABC  B.h  12 Ta có AP  2S SAB 2 SSAB AB h 6VS ABC   h 10 d  C ;  SAB   30 20  PH  SP  SH 3h Tương tự ta tính HM 2h, HN h Ta có S ABC S HAB  S HAC  S HBC   3h  3  h 12 Vậy VS ABC  3  12 12 48  HP  HM  HN    Câu 21 Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a SAB = SCB = 90° Gọi M trung điểm SA Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( MBC ) 6a Tính thể tích V khối chóp S ABC A V = 3a 12 B V = 3a C V = 3a D V = 3a 12 Lời giải Gọi I trung điểm SB   Do SAB = SCB = 90° nên I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC Gọi O tâm đáy ABC Þ OI ^ ( ABC ) Gọi H hình chiếu S lên mặt phẳng ( ABC ) Ta có AB ^ ( SAH ) Þ AB ^ AH Tương tự, BC ^ CH Suy H thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , có tâm O nên O trung điểm BH Do đó, SH = 2OI Gọi N trung điểm BC Þ IN // SC nên BC ^ IN Þ BC ^ ( AIN ) (*) Gọi G trọng tâm tam giác SAB K hình chiếu G lên mặt phẳng ( ABC ) Þ K ẻ AO v GK // OI ị AK = AO = AN Þ KN = AN 9 ù é ù 10a Þ dé ëK , ( MBC ) û= d ëA, ( MBC ) û= 21 10a ù Kẻ KE ^ GN Þ KE ^ BC Þ KE ^ ( MBC ) Þ d é ëK , ( MBC ) û= KE = 21 (*) Tam giác GKN vng K có 1 10a = + Þ GK = Þ SH = 2OI = 3GK = 10a 2 KE GK KN a2 5a 3 Vậy thể tích khối chóp S ABC V = 10a = Câu 22 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang vuông A B , AB BC a , AD 3a ; cạnh bên SA SB SC a Tính thể tích khối chóp S ABCD A a3 B a3 C 2a D a3 Lời giải S D A H B C Vẽ SH   ABCD  , H   ABCD  Có SA SB SC a Suy HA HB HC Suy H tâm đường trịn ngoại tiếp ABC , mà ABC vng cân B Suy H trung điểm AC 2 Có SH  SA  AH  a 1 Có V VS ABCD  SH S ABCD , S ABCD  AB  AD  BC  2a a a3 a3 2a  Suy V  Vậy V  6