STRONG TEAM TOÁN VD-VDC – TỔ 10 ĐỀ THI HSG 12 – TỈNH ĐỒNG NAI 2018-2019 SỞ GD &ĐT ĐỒNG NAI ĐỀ THI HSG KHỐI 12 (Đề gồm 01 trang) NĂM HỌC 2018 - 2019 MƠN: TỐN Thời gian: 180 phút Họ tên: SBD: Câu (5 điểm) Cho hàm số y 2 x m 3 x 18mx m , tham số a) Tìm m để hàm số cho đồng biến b) Tìm m để đồ thị hàm số cho có hai điểm cực trị nằm hai phía trục tung c) Tìm m để giá trị nhỏ hàm số cho đoạn Câu (3,5 điểm) 1;0 24 x x x1 a) Giải phương trình 8.25 8.10 15.2 0 2sin x tan x 1 b) Giải phương trình BCD Câu (3,5 điểm) Cho tứ diện ABCD có AB vng góc với mặt phẳng Tam giác BCD tam giác AB a , BC 2a ABC BCD 1) Tính góc hai mặt phẳng 2) Tính theo a khoảng cách hai đường AC BD Câu (3,0 điểm) Trong tiết học mơn Tốn, giáo viên mời ba học sinh A , B , C thực trò chơi 6;6 sau: Mỗi bạn A , B , C chọn ngẫu nhiên số nguyên khác thuộc khoảng vào ba tham số hàm số y ax bx c , đồ thị hàm số thu có ba điểm cực trị nằm phía trục hồnh nhận thưởng Tính xác suất để ba học sinh A , B , C nhận thưởng x x y y x 0 1 x x 3y y2 2 Câu (2,5 điểm) Giải hệ phương trình Câu (2,5 điểm) 1) Cho ba số thực dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ P a b c 2b 3c 2c 3a 2a 3b n 2) Chứng minh C3n chia hết cho với n nguyên dương ******Hết****** Địa truy cập https://facebook.com/groups/900248096852019?ref=share Trang STRONG TEAM TOÁN VD-VDC – TỔ 10 Câu ĐỀ THI HSG 12 – TỈNH ĐỒNG NAI 2018-2019 LỜI GIẢI CHI TIẾT HSG 12 ĐỒNG NAI 2018-2019 y 2 x m 3 x 18mx m Cho hàm số , tham số a) Tìm m để hàm số cho đồng biến b) Tìm m để đồ thị hàm số cho có hai điểm cực trị nằm hai phía trục tung 1;0 c) Tìm m để giá trị nhỏ hàm số cho đoạn 24 Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Oanh; Fb: Oanh Nguyen a) Ta có y 6 x m 3 x 18m 0 m 3 108m 0 m 6m 0 m 3 Hàm số đồng biến y b) Đồ thị hàm số cho có hai điểm cực trị nằm hai phía trục tung y 0 có hai nghiệm trái dấu x m x 18m 0 có hai nghiệm trái dấu m 1;0 c) Tìm m để giá trị nhỏ hàm số cho đoạn 24 x m y ' 0 x m 3 x 18m 0 x 3 1;0 Ta thấy 1;0 + Nếu m 3 hàm số đồng biến , nên hàm số đồng biến , suy giá trị nhỏ hàm số cho đoạn 1;0 y 1 66 24 , nên m 3 không thỏa mãn x m y ' 0 x 3 1;0 + Nếu m 3 , *)TH1: m 1;0 , ta tính y min y , y 1 y 8 y 1 21m , , 1;0 Để giá trị nhỏ hàm số cho đoạn 1;0 24 m 1;0 m 1;0 y 1 24 21m 24 21m 8 m 1 y 1 y *)TH2: m 1;0 , từ bảng biến thiên hàm số Địa truy cập https://facebook.com/groups/900248096852019?ref=share Trang STRONG TEAM TOÁN VD-VDC – TỔ 10 Suy y min y , y 1 1;0 ĐỀ THI HSG 12 – TỈNH ĐỒNG NAI 2018-2019 Để giá trị nhỏ hàm số cho đoạn 1;0 y 8 24 24 (do ) m 1;0 y 1 24 m 1;0 m 1 y 1 y đó, khơng tồn giá trị m Vậy m 1 Câu x x x1 a) Giải phương trình 8.25 8.10 15.2 0 2sin x tan x 1 b) Giải phương trình Lời giải Tác giả: Đỗ Hồng Tú; Fb: Đỗ Hoàng Tú x 2x x 2 5 5 x x x 1 8.25 8.10 15.2 0 8. 30 0 x 1 x 2 2 a) Vậy x 1 x k b) Điều kiện 2sin x tan x 1 k Khi đó, sin x 2sin x.sin x cos x sin x cos x cos x cos x cos x cos x 2 sin x cos x x 6 x k 2 x x k 2 x 16 k k x k x k 16 x k Vậy phương trình có hai họ nghiệm k k Địa truy cập https://facebook.com/groups/900248096852019?ref=share Trang STRONG TEAM TOÁN VD-VDC – TỔ 10 ĐỀ THI HSG 12 – TỈNH ĐỒNG NAI 2018-2019 BCD Câu Cho tứ diện ABCD có AB vng góc với mặt phẳng Tam giác BCD tam giác đều, AB a , BC 2a ABC BCD 1) Tính góc hai mặt phẳng 2) Tính theo a khoảng cách hai đường AC BD Lời giải Tác giả: Yến Lâm; Fb: Yen Lam A E B H F 1) Ta có AB BCD mà D C AB ABC ABC BCD Suy góc hai mặt phẳng ABC BCD 90 2) Gọi E trung điểm BD, dựng hình chữ nhật BFCE Gọi H hình chiếu B AF BD / / AFC Ta có BD / / FC Suy d BD, AC d BD, AFC d B , AFC Mặt khác ta có: BH AF 1 CF BF CF ABF CF BH CF AB Từ (1) (2) suy Vậy BH ACF BH d B, ACF d BD, AC Xét tam giác vng ABF ta có: BH AF AB.BF BH d BD, AC Câu AB.BF AB.BF AB.CE a.a a AF AB BF AB CE a 3a a Vậy Trong tiết học môn Toán, giáo viên mời ba học sinh A , B , C thực trò chơi sau: 6;6 Mỗi bạn A , B , C chọn ngẫu nhiên số nguyên khác thuộc khoảng vào ba tham số hàm số y ax bx c ; đồ thị hàm số thu có ba điểm cực trị Địa truy cập https://facebook.com/groups/900248096852019?ref=share Trang STRONG TEAM TOÁN VD-VDC – TỔ 10 ĐỀ THI HSG 12 – TỈNH ĐỒNG NAI 2018-2019 nằm phía trục hồnh nhận thưởng Tính xác suất để ba học sinh A , B , C nhận thưởng Lời giải Tác giả: Phạm Tiến Long; Fb: Long Pham Tien Số phần tử không gian mẫu : n 10 Hàm số có ba điểm cực trị ab x 0 y ' 4ax 2bx 0 x 2ax b 0 x b 2a Ta có : b b2 b b2 B ; c C ; c 2a 4a 2a a A 0; c , Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị , *)Trường hợp 1: Nếu a A điểm cực tiểu nên đồ thị hàm số có ba điểm cực trị nằm phía trục hồnh a b y A a b c a 5; 4; 3; 2; 1 b 1; 2;3; 4;5 c 1; 2;3;4;5 có 5.5.5 125 (cách) *)Trường hợp 2: Nếu a B , C hai điểm cực tiểu nên đồ thị hàm số có ba điểm cực trị nằm phía trục hồnh a b y B yC a b b2 c 4a 4a 4;8;12;16;20 Suy c Ta có khả sau: b2 c 1 b a 1; 2;3;4;5 có (cách) 4a Với , Với Với c 1 b2 b a 2;3; 4;5 có (cách) 4a , c 1 b2 b a 3; 4;5 có (cách) 4a , b2 c 1 b a có (cách) 4a Với , Địa truy cập https://facebook.com/groups/900248096852019?ref=share Trang STRONG TEAM TOÁN VD-VDC – TỔ 10 Với c 2 ĐỀ THI HSG 12 – TỈNH ĐỒNG NAI 2018-2019 b2 b a 1; 2;3;4;5 có (cách) 4a , b2 c 2 b a 1;2;3;4;5 có (cách) 4a Với , Với Với Với Với c 2 b2 b a 2;3; 4;5 có (cách) 4a , c 2 b2 b a 3; 4;5 có (cách) 4a , c 2 b2 b a 4;5 có (cách) 4a , c 3 b2 b a 1; 2;3; 4;5 có (cách) 4a , b2 c 3 b a 1;2;3;4;5 có (cách) 4a Với , Với Với Với Với c 3 b2 b a 1;2;3;4;5 có (cách) 4a , c 3 b2 b a 2;3; 4;5 có (cách) 4a , c 3 b2 b a 3; 4;5 có (cách) 4a , c 4 b2 b a 1; 2;3;4;5 có (cách) 4a , b2 c 4 b a 1;2;3;4;5 có (cách) 4a Với , Với Với Với Với c 4 b2 b a 1;2;3;4;5 có (cách) 4a , c 4 b2 b a 2;3; 4;5 có (cách) 4a , c 4 b2 b a 2;3; 4;5 có (cách) 4a , c 5 b2 b a 1; 2;3; 4;5 có (cách) 4a , b2 c 5 b a 1;2;3;4;5 có (cách) 4a Với , Với c 5 b2 b a 1;2;3;4;5 có (cách) 4a , Địa truy cập https://facebook.com/groups/900248096852019?ref=share Trang STRONG TEAM TOÁN VD-VDC – TỔ 10 Với ĐỀ THI HSG 12 – TỈNH ĐỒNG NAI 2018-2019 b2 b a 1;2;3;4;5 có (cách) 4a , c 5 b2 c 5 b a 2;3; 4;5 có (cách) 4a Với , Trong trường hợp có 101 (cách) Suy có tất 125 101 226 (cách) Câu 226 113 Vậy xác suất 1000 500 x x y y x 0 1 x x y y 2 Giải hệ phương trình Lời giải Tác giả: Trịnh Văn Điệp; Fb: Trịnh Văn Điệp Điều kiện: x 0 , 1 x3 y x y x x xy x xy x y 0 x x y 1 x x y 1 x y 1 y 1 y 1 0 x x y 1 x x y 1 y 1 x y 1 0 x y 1 x x y 1 0 x y 1 x x y 0 +) Với x y thay vào ta được: y 1 y y y 3y y y y 3 0 y 2 x 2 2y y * y 3 y 1 0 y y 1 3y y 1 Phương trình * vơ nghiệm 1 y y y 1 y , 3 ; Trường hợp có nghiệm 2 2 +) Với x x y 0 x x y , x 0 x x 1 y 1 y 1 Kết hợp với điều kiện ta Địa truy cập https://facebook.com/groups/900248096852019?ref=share Trang STRONG TEAM TOÁN VD-VDC – TỔ 10 ĐỀ THI HSG 12 – TỈNH ĐỒNG NAI 2018-2019 x x 1 Ta có x x y f x Xét vế trái : Xét vế phải ta có f y Ta có Suy x x với f y 3y y2 3x 3x 0 21 x 0,3 x x x 21 f x y 1 với 3 y 0 y 3y y y 3 192 y 128 y 0 f y nên phương trình vơ nghiệm 3 ; Vậy hệ phương trình có nghiệm 2 Câu 1) Cho ba số thực dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ P a b c 2b 3c 2c 3a 2a 3b n 2) Chứng minh C3n chia hết cho với n nguyên dương Lời giải Tác giả: Nhữ Văn Huấn; Fb: Huân Nhu a 35 6u 9v w u 2b 3c v 2c 3a b 4u 6v w 35 w 2a 3b c 35 9u 4v w 1) Đặt P 6u 9v w 4u 6v 9w 9u 4v w 35 u v w 1 9v w 4u w 9u 4v 18 35 u u v v w w 1 4v 4u 4w 4v 4w 4u 5v 5w 5u 18 35 v v w u w u v w u 18 16 16 16 125 35 u v w a b c Vậy giá trị nhỏ P C3nn 2) Ta có 3n ! 1.2.3 3n 1 3n 3 1.2.3 3n 1 3 3n 1 ! 3C n n n !. 2n ! 1.2.3 n. 2n ! 1.2.3 n 1 2n ! n 1 ! 2n ! n Nên C3n chia hết cho với n nguyên dương Địa truy cập https://facebook.com/groups/900248096852019?ref=share Trang