Đề thi hsg toán 12 đồng nai năm học 2020 2021

STRONG TEAM TOÁN VD-VDC – TỔ 10 ĐỀ THI HSG 12 – TỈNH ĐỒNG NAI 2018-2019 SỞ GD &ĐT ĐỒNG NAI ĐỀ THI HSG KHỐI 12 (Đề gồm 01 trang) NĂM HỌC 2018 - 2019 MƠN: TỐN Thời gian: 180 phút Họ tên: SBD: Câu (5 điểm) Cho hàm số y 2 x   m  3 x  18mx  m , tham số a) Tìm m để hàm số cho đồng biến  b) Tìm m để đồ thị hàm số cho có hai điểm cực trị nằm hai phía trục tung c) Tìm m để giá trị nhỏ hàm số cho đoạn Câu (3,5 điểm)   1;0  24 x x x1 a) Giải phương trình 8.25  8.10  15.2 0  2sin x  tan x 1 b) Giải phương trình  BCD  Câu (3,5 điểm) Cho tứ diện ABCD có AB vng góc với mặt phẳng  Tam giác BCD tam giác AB a , BC 2a ABC  BCD  1) Tính góc hai mặt phẳng   2) Tính theo a khoảng cách hai đường AC BD Câu (3,0 điểm) Trong tiết học mơn Tốn, giáo viên mời ba học sinh A , B , C thực trò chơi  6;6  sau: Mỗi bạn A , B , C chọn ngẫu nhiên số nguyên khác thuộc khoảng  vào ba tham số hàm số y ax  bx  c , đồ thị hàm số thu có ba điểm cực trị nằm phía trục hồnh nhận thưởng Tính xác suất để ba học sinh A , B , C nhận thưởng  x  x y  y  x  0  1  x  x   3y   y2  2   Câu (2,5 điểm) Giải hệ phương trình Câu (2,5 điểm) 1) Cho ba số thực dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ P a b c   2b  3c 2c  3a 2a  3b n 2) Chứng minh C3n chia hết cho với n nguyên dương ******Hết****** Địa truy cập https://facebook.com/groups/900248096852019?ref=share Trang STRONG TEAM TOÁN VD-VDC – TỔ 10 Câu ĐỀ THI HSG 12 – TỈNH ĐỒNG NAI 2018-2019 LỜI GIẢI CHI TIẾT HSG 12 ĐỒNG NAI 2018-2019 y 2 x   m  3 x  18mx  m Cho hàm số , tham số a) Tìm m để hàm số cho đồng biến  b) Tìm m để đồ thị hàm số cho có hai điểm cực trị nằm hai phía trục tung  1;0 c) Tìm m để giá trị nhỏ hàm số cho đoạn   24 Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Oanh; Fb: Oanh Nguyen a) Ta có y 6 x   m  3 x  18m  0   m  3  108m 0  m  6m  0  m 3 Hàm số đồng biến  y b) Đồ thị hàm số cho có hai điểm cực trị nằm hai phía trục tung y 0 có hai nghiệm trái dấu  x   m   x  18m 0 có hai nghiệm trái dấu  m   1;0 c) Tìm m để giá trị nhỏ hàm số cho đoạn   24  x m y ' 0  x   m  3 x  18m 0    x 3    1;0 Ta thấy  1;0 + Nếu m 3 hàm số đồng biến  , nên hàm số đồng biến  , suy giá trị nhỏ hàm số cho đoạn   1;0 y   1  66  24 , nên m 3 không thỏa mãn  x m y ' 0    x 3    1;0 + Nếu m 3 , *)TH1: m    1;0 , ta tính y min  y   , y   1  y   8 y   1   21m , ,   1;0 Để giá trị nhỏ hàm số cho đoạn   1;0  24 m    1;0 m    1;0    y   1  24    21m  24    21m 8  m 1  y   1  y    *)TH2: m    1;0  , từ bảng biến thiên hàm số Địa truy cập https://facebook.com/groups/900248096852019?ref=share Trang STRONG TEAM TOÁN VD-VDC – TỔ 10 Suy y min  y   , y   1    1;0 ĐỀ THI HSG 12 – TỈNH ĐỒNG NAI 2018-2019 Để giá trị nhỏ hàm số cho đoạn   1;0 y 8  24  24 (do   ) m    1;0   y   1  24 m    1;0    m 1  y   1  y   đó, khơng tồn giá trị m Vậy m 1 Câu x x x1 a) Giải phương trình 8.25  8.10  15.2 0  2sin x  tan x 1 b) Giải phương trình  Lời giải Tác giả: Đỗ Hồng Tú; Fb: Đỗ Hoàng Tú   x     2x x  2  5  5 x x x 1 8.25  8.10  15.2 0     8.   30 0    x 1  x  2  2        a) Vậy x 1   x  k b) Điều kiện   2sin x  tan x 1  k   Khi đó,  sin x  2sin x.sin x cos x  sin x  cos x  cos x cos x    cos   x  cos x 2   sin x cos x    x 6 x  k 2      x  x  k 2      x 16  k  k      x    k      x   k  16   x    k   Vậy phương trình có hai họ nghiệm   k    k   Địa truy cập https://facebook.com/groups/900248096852019?ref=share Trang STRONG TEAM TOÁN VD-VDC – TỔ 10 ĐỀ THI HSG 12 – TỈNH ĐỒNG NAI 2018-2019 BCD  Câu Cho tứ diện ABCD có AB vng góc với mặt phẳng  Tam giác BCD tam giác đều, AB a , BC 2a ABC  BCD  1) Tính góc hai mặt phẳng   2) Tính theo a khoảng cách hai đường AC BD Lời giải Tác giả: Yến Lâm; Fb: Yen Lam A E B H F 1) Ta có AB   BCD  mà D C AB   ABC    ABC    BCD  Suy góc hai mặt phẳng  ABC   BCD  90 2) Gọi E trung điểm BD, dựng hình chữ nhật BFCE Gọi H hình chiếu B AF  BD / /  AFC  Ta có BD / / FC Suy d  BD, AC  d  BD,  AFC   d  B ,  AFC   Mặt khác ta có: BH  AF  1 CF  BF  CF   ABF   CF  BH    CF  AB Từ (1) (2) suy Vậy BH   ACF  BH d  B,  ACF   d  BD, AC  Xét tam giác vng ABF ta có: BH AF  AB.BF  BH  d  BD, AC   Câu AB.BF AB.BF AB.CE a.a a     AF AB  BF AB  CE a  3a a Vậy Trong tiết học môn Toán, giáo viên mời ba học sinh A , B , C thực trò chơi sau:  6;6  Mỗi bạn A , B , C chọn ngẫu nhiên số nguyên khác thuộc khoảng  vào ba tham số hàm số y ax  bx  c ; đồ thị hàm số thu có ba điểm cực trị Địa truy cập https://facebook.com/groups/900248096852019?ref=share Trang STRONG TEAM TOÁN VD-VDC – TỔ 10 ĐỀ THI HSG 12 – TỈNH ĐỒNG NAI 2018-2019 nằm phía trục hồnh nhận thưởng Tính xác suất để ba học sinh A , B , C nhận thưởng Lời giải Tác giả: Phạm Tiến Long; Fb: Long Pham Tien Số phần tử không gian mẫu : n    10 Hàm số có ba điểm cực trị  ab   x 0 y ' 4ax  2bx 0  x  2ax  b  0    x   b  2a Ta có :     b b2 b b2 B    ;  c  C   ;  c  2a 4a 2a a A 0; c   ,   Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị  , *)Trường hợp 1: Nếu a  A điểm cực tiểu nên đồ thị hàm số có ba điểm cực trị nằm phía trục hồnh a    b   y   A a   b   c    a    5;  4;  3;  2;  1  b   1; 2;3; 4;5  c   1; 2;3;4;5  có 5.5.5 125 (cách) *)Trường hợp 2: Nếu a  B , C hai điểm cực tiểu nên đồ thị hàm số có ba điểm cực trị nằm phía trục hồnh a  b     y  B   yC   a   b   b2  c  4a 4a   4;8;12;16;20 Suy c  Ta có khả sau: b2 c 1   b   a  1; 2;3;4;5    có (cách) 4a Với , Với Với c 1  b2  b   a  2;3; 4;5    có (cách) 4a , c 1  b2  b   a  3; 4;5    có (cách) 4a , b2 c 1   b   a     có (cách) 4a Với , Địa truy cập https://facebook.com/groups/900248096852019?ref=share Trang STRONG TEAM TOÁN VD-VDC – TỔ 10 Với c 2  ĐỀ THI HSG 12 – TỈNH ĐỒNG NAI 2018-2019 b2  b   a  1; 2;3;4;5    có (cách) 4a , b2 c 2   b   a  1;2;3;4;5    có (cách) 4a Với , Với Với Với Với c 2  b2  b   a  2;3; 4;5    có (cách) 4a , c 2  b2  b   a  3; 4;5    có (cách) 4a , c 2  b2  b   a  4;5    có (cách) 4a , c 3  b2  b   a  1; 2;3; 4;5    có (cách) 4a , b2 c 3   b   a  1;2;3;4;5    có (cách) 4a Với , Với Với Với Với c 3  b2  b   a  1;2;3;4;5    có (cách) 4a , c 3  b2  b   a  2;3; 4;5    có (cách) 4a , c 3  b2  b   a  3; 4;5    có (cách) 4a , c 4  b2  b   a  1; 2;3;4;5    có (cách) 4a , b2 c 4   b   a  1;2;3;4;5    có (cách) 4a Với , Với Với Với Với c 4  b2  b   a  1;2;3;4;5    có (cách) 4a , c 4  b2  b   a  2;3; 4;5    có (cách) 4a , c 4  b2  b   a  2;3; 4;5    có (cách) 4a , c 5  b2  b   a  1; 2;3; 4;5    có (cách) 4a , b2 c 5   b   a  1;2;3;4;5    có (cách) 4a Với , Với c 5  b2  b   a  1;2;3;4;5    có (cách) 4a , Địa truy cập https://facebook.com/groups/900248096852019?ref=share Trang STRONG TEAM TOÁN VD-VDC – TỔ 10 Với ĐỀ THI HSG 12 – TỈNH ĐỒNG NAI 2018-2019 b2  b   a  1;2;3;4;5    có (cách) 4a , c 5  b2 c 5   b   a  2;3; 4;5    có (cách) 4a Với , Trong trường hợp có 101 (cách) Suy có tất 125  101 226 (cách) Câu 226 113  Vậy xác suất 1000 500  x  x y  y  x  0  1  x  x   y   y  2 Giải hệ phương trình  Lời giải Tác giả: Trịnh Văn Điệp; Fb: Trịnh Văn Điệp Điều kiện: x 0 ,  1   x3  y x y  x    x  xy  x    xy  x     y  0  x  x  y  1  x  x  y  1  x  y  1   y  1  y  1 0  x  x  y  1  x  x  y  1   y  1  x  y  1 0   x  y  1  x  x  y  1 0  x  y 1   x  x  y  0 +) Với x  y  thay vào   ta được: y 1  y   y   y   3y   y    y  y  3 0   y 2  x 2  2y    y   *   y  3  y  1 0  y   y 1 3y   y 1  Phương trình  * vơ nghiệm 1 y  y   y 1 y   ,  3  ;  Trường hợp có nghiệm  2  2 +) Với x  x  y  0   x  x  y , x 0   x  x 1  y 1  y 1 Kết hợp với điều kiện ta Địa truy cập https://facebook.com/groups/900248096852019?ref=share Trang STRONG TEAM TOÁN VD-VDC – TỔ 10 ĐỀ THI HSG 12 – TỈNH ĐỒNG NAI 2018-2019   x  x  1  Ta có  x  x   y f  x  Xét vế trái   : Xét vế phải ta có f  y   Ta có Suy x  x với f  y   3y   y2   3x  3x  0   21   x   0,3  x  x   x    21    f  x    y 1 với 3  y 0  y 3y   y y  3  192 y  128 y  0   f  y   nên phương trình vơ nghiệm  3  ;  Vậy hệ phương trình có nghiệm  2  Câu 1) Cho ba số thực dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ P a b c   2b  3c 2c  3a 2a  3b n 2) Chứng minh C3n chia hết cho với n nguyên dương Lời giải Tác giả: Nhữ Văn Huấn; Fb: Huân Nhu   a  35   6u  9v  w  u 2b  3c    v 2c  3a  b   4u  6v  w  35  w 2a  3b    c  35  9u  4v  w   1) Đặt P   6u  9v  w 4u  6v  9w 9u  4v  w      35  u v w   1 9v w 4u w 9u 4v         18   35  u u v v w w  1  4v 4u   4w 4v   4w 4u   5v 5w 5u    18                 35  v   v w  u w  u v w   u   18  16  16  16  125  35    u v w  a b c Vậy giá trị nhỏ P C3nn  2) Ta có  3n  ! 1.2.3  3n  1 3n 3 1.2.3  3n  1 3  3n  1 ! 3C n n n !. 2n  ! 1.2.3 n. 2n  ! 1.2.3  n  1  2n  !  n  1 !  2n  ! n Nên C3n chia hết cho với n nguyên dương Địa truy cập https://facebook.com/groups/900248096852019?ref=share Trang