Đs9 chủ đề 5 một số hệ phương trình khác ( 1 buổi )

ĐS9-CHỦ ĐỀ 5.MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÁC A.MỘT SỐ DẠNG BÀI Dạng 1: Hệ phương trình đối xứng loại I Phương pháp giải Hệ phương trình đối xứng loại I theo ẩn x y hệ phương trình mà ta đổi vai trò ẩn x y hệ phương trình khơng thay đổi  f  x, y  0 Hệ phương trình đối xứng loại I có dạng  ,  g  x, y  0  f  x, y   f  y, x    g  x, y  g  y , x  Bước 1: Đặt S  x  y; P xy Điều kiện: S 4 P Bước 2: Biến đổi hệ phương trình có hai ẩn S, P giải S P (sử dụng phương pháp cộng đại số) Bước 3: Tìm S P, x y nghiệm phương trình bậc hai: X  SX  P 0 Giải phương trình bậc hai theo ẩn X Bước 4: Kết luận nghiệm hệ phương trình Chú ý: Nếu  x0 ; y0  nghiệm hệ phương trình  y0 ; x0  nghiệm hệ phương trình Bài tập mẫu  x  y  xy 3 Ví dụ 1: Giải hệ phương trình   x  y 2 Giải chi tiết Ý tưởng: Biến đổi phương trình (1) tổng tích x y  x  y  xy 3   x  y    x  y   xy  xy 3   x  y    x  y   xy 3   x  y 2 Đặt S  x  y; P xy Điều kiện: S 4 P  S  P 3  Ta có hệ:   S 2  S 2   4  P 3  S 2 (thỏa mãn)   P 1 x y nghiệm phương trình bậc hai: X  X  0   X  1 0  X 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm  1;1  x  y 10 Ví dụ 2: Giải hệ phương trình   x  1  y  1 8 Giải chi tiết 2  x  y 10    x  1  y  1 8  x  y   xy 10   xy  x  y  8 Đặt S  x  y; P xy Điều kiện: S 4 P  S  P 10  Ta có hệ:   P  S  8  S  P 10    P 7  S  S    S  10    P 7  S  S  S  24 0   P 7  S  S 4  S     P 3  P 13 Mà S 4 P  S 4, P 3 thỏa mãn Khi đó, x y nghiệm phương trình bậc hai  X 1 X  X  0   X  1  X   0    X 3 Vậy hệ phương trình có nghiệm  1;3 ,  3;1  x  y  xy 16 Ví dụ 3: Giải hệ phương trình   x  y 10 Giải chi tiết Điều kiện xác định: x 0; y 0 Đặt S  x  y ; P  xy Điều kiện: S 4 P S 0; P 0  S  P 16  S  P 16  S  P 16   Ta có hệ:   S  P 10 2 S  P 20 2 S  S  36 0  S    S 4   (thỏa mãn )  (loại)  P 3  P  41  Khi x y nghiệm phương trình bậc hai  X 1 X  X  0   X  1  X   0    X 3 Vậy hệ phương trình có nghiệm  1;9  ,  9;1 Dạng 2: Hệ phương trình đối xứng loại II Phương pháp giải Hệ phương trình đối xứng loại II theo ẩn x y hệ phương trình mà ta đổi vai trò ẩn x y hai phương trình hệ hốn đổi cho  f  x, y  0 Hệ phương trình đối xứng loại II có dạng   f  y, x  0 Bước 1: Cộng trừ hai vế hai hệ phương trình thu phương trình Biến đổi phương trình phương trình tích, tìm biểu thức liên hệ x y đơn giản Bước 2: Thế x theo y (hoặc y theo x) vào hai phương trình hệ ban đầu Bước 3: Giải tìm nghiệm x (hoặc y) Từ suy nghiệm cịn lại Bước 4: Kết luận nghiệm hệ phương trình Bài tập mẫu  x  3x  y (1) Ví dụ 1: Giải hệ phương trình   y  y  x (2) Giải chi tiết Trừ vế hai phương trình ta được: x  y  x  y  y  x   x  y   x  y    x  y  0   x  y   x  y   0  x y   x 5  y  y 0  x 0 Với x  y thay vào (1) ta được: y  y 0  y  y  1 0    y 1  x 1 Với x 5  y thay vào (1) ta được: y  y    y   y  y  10  y  y  y  10 0 Vậy nghiệm hệ phương trình cho  x; y     0;0  ,  1;1   x  x  y (1) Ví dụ 2: Giải hệ phương trình   y  y x (2) Giải chi tiết Trừ vế hai phương trình ta được: x3  y  3x  y 0   x  y   x  y  xy  0    y  y2   x  y  x     3 0  y x 2    Với y  x thay vào (1) ta được: x  x 0  x 0 Vậy nghiệm hệ phương trình  0;0   x2  x   y2  Ví dụ 3: Giải hệ phương trình  3 y  y   x2 Giải chi tiết x  Vì vế phải phương trình dương nên ta có  y  (vơ nghiệm)  x2  x  2  y2  3 xy x  (1)  Ta có:   2 3 yx  y  (2) 3 y  y   x2 Trừ vế hai phương trình (1) (2) ta được: 3xy  yx x  y  3xy  y  x   x  y   x  y    x  y   3xy  x  y  0 Vì x  0, y   xy  x  y   x y 2 Với x  y thay vào (1) ta được: x  x  0   x  1  x  x   0  x 1  y 1 Vậy nghiệm hệ phương trình  1;1 Dạng 3: Một số hệ phương trình khác Bài tập mẫu  x  y m Ví dụ 1: Cho hệ phương trình  (m tham số) 2  x  y  m  Hãy tìm giá trị m để hệ phương trình có nghiệm  x; y  cho biểu thức A xy   x  y  đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ Giải chi tiết  x  y m Nhận xét:  hệ phương trình đối xứng loại 2  x  y  m  Đặt S  x  y; P xy Điều kiện: S 4 P  x  y  x  y   xy S  P  S m  S m  Ta có hệ:  2  S  P  m   P m  Hệ phương trình có nghiệm  x; y  S 4 P  m 4m2  12  3m 12  m 4   m 2 Ta có: A xy   x  y  m   2m m  2m    m  1  Vì  m 2   m  3   m  1 9    A 5 Giá trị nhỏ A  đạt m  0  m   3a  b  b3 1 2 Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức M a  b biết a, b thỏa mãn:   3b  1  a a Giải chi tiết Điều kiện xác định: a 0; b 0  3a  b  b3 1 3a 2b 1 b3 b  3a b 1    Ta có:   3 a  3ab 2  3b  1 3ab  a  a a 2   b  3a b  1   a  3ab  4  Cộng vế hai phương trình ta được: b  6a 2b  9a 4b    a  6a 4b  9a 2b  5  b6  3a 2b  3a 4b  a 5   a  b  5  a  b2  Vậy M   x  y xy   Ví dụ 3: Giải hệ phương trình   x  y  1  Giải chi tiết Điều kiện xác định: x 0 y  2 x  y  xy    1  x  y  1  2 x  y  xy   xy 2 x  y  (1)   (2)  xy  y   y   x x  y  1 Trừ vế hai phương trình ta có: x  y  0  x 3  y Thay x 3  y vào phương trình (2) ta được:   y  y  y 1  y  y  0   y  1 0  y 1  x 2 Vậy nghiệm hệ phương trình  2;1 BÀI TẬP TỰ LUYỆN  x  y  x Câu 1: Giải hệ phương trình   y  x  y  x 2 y  x Câu 2: Giải hệ phương trình   y 2 x  y  xy  x  y 3 Câu 3: Giải hệ phương trình   x y  xy 2 3 x  y  12 xy 23 Câu 4: Giải hệ phương trình   x  y 2  x  y 5 Câu 5: Giải hệ phương trình   x  y    xy  27  x  x  y  y 27  Câu 6: Giải hệ phương trình   x   x 15  y y 1    Câu 7: Giải hệ phương trình  x y  x y  xy 30   2x  y 5  2  2x  Câu 8: Giải hệ phương trình  y  (với x  ; y   ) 3 x  y 19   x2  y  x 2  Câu 9: Giải hệ phương trình   y  y 1  x  3 (1)  xy  xy Câu 10:Giải hệ phương trình   x(1  y )  15 0 (2)   x (2 x  y  1)  y Câu 11:Giải hệ phương trình  2  y   x  x 2(1  y )  x  4y 18 Câu 12: Giải hệ phương trình   3x  y 10  x  4y 18 Câu 13: Giải phương trình  3 x  y 10  x   y  5  1 Câu 14: Giải hệ phương trình   x  4y     x   y  5 Câu 15: Giải phương trình  3 x   y  4 HƯỚNG DẪN Câu 1: Hệ phương trình đối xứng loại II, trừ vế hai phương trình ta  x  y   x  y  1 0   x y  x 1  y   1 1   1 1  ; ; Vậy nghiệm hệ phương trình  0;0  ,  3;3 ,   ,    2   Câu 2: Hệ phương trình đối xứng loại II, trừ vế hai phương trình ta  x  y   x  xy  y  1 0  x y Vậy nghiệm hệ phương trình  0;0  ,    3; ,  3;  Câu 3: Hệ phương trình đối xứng loại I Đặt S  x  y; P xy (điều kiện: S 4 P ), ta  P  S 3  S 1; P 2    S P 2  S 2; P 1 Kết hợp điều kiện  S 2; P 1 Vậy nghiệm hệ phương trình  1;1 Câu 4: Cộng vế hai phương trình ta được:  x  y 5 x  y  12 xy 25   x  y  25    x  y   x 1; y 1  2x 2 Với x  y 5  y  thay vào x  y 2 ta   x  ; y 17 13   x  1; y    2x 2 Với x  y   y  thay vào x  y 2 ta   x  ; y  17 13   17   17  Vậy nghiệm hệ phương trình  1;1 ,   1;  1 ,  ;  ,   ;    13   13  Câu 5:  x  y 5    x  y    xy  27 2  x   y  5   x  y  x y  27       x  y    xy  5   x  y    2.2 xy  27 Đặt a x  2; b 2 xy (điều kiện: a 4b ) ta a  2b 5  a 3; b 2  a   2b  27  X 1 x 2y nghiệm hai phương trình bậc hai: X  X  0    X 2  1 Vậy nghiệm hệ phương trình  1;1 ,  2;   2 Câu 6: x Ta có: x   27  y y 2  1 x  x    27 y y  Điều kiện: y 0  a  b 27 x  Đặt a x  , b  (điều kiện: a 4b ) ta  y y  a  b 15  a 6; b 9  a  7; b 22  Kết hợp điều kiện  a 6; b 9 x nghiệm phương trình bậc hai: X  X  0  X 3 y  1 Vậy nghiệm hệ phương trình  3;   3 Câu 7: Điều kiện: x 0; y 0 1  x  y 6    x y  xy 30  6  x  y  5 xy   xy  x  y  30 Đặt S  x  y; P xy (điều kiện: S 4 P ) ta 6 S 5 P  S 5; P 6  (thỏa mãn điều kiện)   S P 30  S  5; P   x 2; y 3 Với S 5; P 6    x 3; y 2  x 1; y  Với S  5; P     x  6; y 1 Vậy nghiệm hệ phương trình  2;3 ,  3;  ,  1;   ,   6;1 Câu 8: Đặt t  2x   t  0 y 5 2x  1  x  y 8 Ta có phương trình: t  2   t  1 0  t 1  t y 5  x  y 8  x 5  Ta có hệ:  3 x  y 19  y 2 Vậy nghiệm hệ phương trình  5;  Câu 9: Điều kiện xác định: x 0 y 0 Đặt x ky (điều kiện: k 0 )  k y2  y  ky 2   Ta có hệ:   y  y 1  ky k y  ky 2  y   ky  y   ky  k  1 2  y  1 k   k Nếu k  0  k  hệ vơ nghiệm Nếu k  0  k  , chia theo vế hai phương trình ta được: k 4  k 2 2 Với k 2     y 2  y   x  3 Với k         y 2  y 1  x   1 Vậy nghiệm hệ phương trình  ;  ,   2;1  3 Câu 10: Điều kiện xy  Đặt xy t , t  Phương trình (1) trở thành  t  (l)  t 4  Với t 4 , suy xy 4  xy 16 Biến đổi phương trình (2) ta x  xy  15 0  x  16  15 0  x 1  y 16 Vậy nghiệm hệ (1;16) Câu 11: Điều kiện:  x  x 0    x  Phương trình tương đương với  x   x  xy  x  y 0  (2 x  1)( x  y ) 0    x  y t 3  t  3t  0  t  y 0 2 Nếu x  , thay vào phương trình thứ hai ta có y  2(1  y )  y 2 y    y 1 2  Nếu x  y , thay vào phương trình thứ hai ta có y   y  y 2  y Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si ta có  y  y (1  y  y )  2  y  y Do y   y  y 2  y 2  y Dấu đẳng thức xảy y 0 Vì phương trình (*) có nghiệm y 0 , x 0 (thỏa mãn) (*)     1  Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) thuộc tập S (0;0),   ;0  ,   ;      2   Câu 12: TH1: x 0  x x Khi đó, hệ phương trình trở thành:  x  4y 18 3x  12y 54  11y 54     3x  y 10  3x  y 10 3x  y 10  y 4   3x  y 10  y 4   x 2  TM  TH1: x   x  x Khi đó, hệ phương trình trở thành:   x  4y 18    3x  y 10  3x  12y 54    3x  y 10 22   13y 64  y  13   3x  y 10 3x  y 10 22  y  13   x  64  KTM   13 Vậy phương trình có tập nghiệm S   2;   Câu 13:   x 2   3 x  12y 54  11y 44  y 4  y 4  x  4y 18  y 4         x  Vậy 3 x  y 10 3 x  y 10  x 2 3 x  y 10  x  y 10    y 4 phương trình có tập nghiệm S   2;  ;   2;   Câu 14: Từ    x  4  y  1 0  y 1  x   y  5 Do hệ phương trình cho    x  4y  Suy y  9  4y  y 2 Thay y 2 vào phương trình x  4y   x  4  x 3 x   x 3  x  Vậy hệ phương trình có nghiệm  ;   y 2  y 2 Câu 15:  x   y  5   3 x   y  4 3 x   12 y  15  11 y  11     x   y  4 3 x   y  4   x 3    y    y  1   y    x 1     y  1  y    y    y       x  1   x  1   x 3   x 3     x     x 1   y       x 1   y   Vậy phương trình có tập nghiệm S   3;   ;  1;   ;  3;   ;  1;     y  1  3 x   y  4