Cđ 6 phân số lớp 7

CHUYÊN ĐỀ PHÂN SỐ Dạng 1: TÌM N ĐỂ PHÂN SỐ TỐI GIẢN Bài 1: Tìm n  N để phân số tối giản: n 7 n  13 2n  3n  C A A B n n 4n  7n 1 a, b, c, d, HD: n  29 A 1  n n a, Để A tối giản n  tối giản hay n  3k  n 3k  2(k  N ) n   15 15 A 1  n n b, 15 Để A tối giản n  tối giản hay n  3k  n 3k  2(k  N ) n  5h  n 5h  2(h  N ) c, Gọi d =UCLN( 2n+3; 4n+1) => 2( 2n+3) - (4n +1)  d=> d, Để C tối giản d # hay 2n+3 # 5k => 2n+8 # 5k=>n # 5k – (k  N) d, Gọi d=UCLN (3n+2; 7n+1) => 7(3n+2) - 3(7n+1) d => 11 d, Để A tối giản d # 11 hay 3n+2 # 11k=> n # 11k+3 (k  N) Bài 2: Tìm n  N để phân số tối giản: 2n  8n  193 18n  21n  C A A A 5n  4n  21n  6n  a, b, c, d, HD: d UCLN  3n  2;2n     2n     5n   d  31d a, Gọi  31   31  2n   31   31   n  19   Để A tối giản d 31  2n   n # 31k – 19 (k  N) d UCLN  8n  193;4n  3   8n  193   4n  3 d  187d b, Gọi Mà 187 11.17 , Nên để C tối giản thì: d 11, d 17  11  4n   11   11  4n    11  n    11k  n 11k   k  N  d 11  4n   TH1:  17  4n   17   17   n     17  n 17h   h  N *  d 17  n   TH2: d UCLN  18n  3;21n     18n  3   21n   d  21d c, Gọi Mà 21 3.7 , Nên để A tối giản d 3,  3 d 3,  21n   Thấy hiển nhiên   18n  3  6n  1    6n      n 7k  d 7  18n   Với d UCLN  21n  3;6n     21n  3   6n   d  22 d d, Gọi Mà 22 = 2.11, Nên để A tối giản thì: d 2, d 11 TH1: d 2  21n  2k  n số chẵn  11  6n   22   11  n    11  n 11k  TH2: d 11  6n   n 3 B n  12 Bài 3: Tìm n  N để phân số tối giản: A 21n  6n  rút gọn Bài 4: Tìm n để HD: Giả sử tử mẫu chia hết cho số nguyên tố d => 22 d=> d=2 d=11 TH1: d=1=> 6n+4 2 với n 21n +3 2 n lẻ TH2: d=11=> 21n +3 11=> n – 11=> n = 11k +3 => Với n= 11k+3 => 6n+4 11 7n2  n n Bài 5: CMR phân số : số tự nhiên với n  N phân số phân số tối giản ? HD : 7n2  Vì phân số số tự nhiên với n nên n  16 => n lẻ n không chia hết cho n n ; Vậy phân số tối giản A a  2a  a  2a  2a  Bài 6: Cho biểu thức a/ Rút gọn biểu thức b/ CMR a số nguyên giá trị biểu thức tìm câu a phân số tối giản n 3 Bài 7: Tìm tất số tự nhiên n để n  12 phân số tối giản 3n  M n  có giá trị số nguyên Bài 8: Tìm giá trị nguyên n để phân số HD: 3n  M  Z  3n  1n    n  1  2n   n  n Dạng 2: CHỨNG MINH PHÂN SỐ LÀ TỐI GIẢN Bài 1: Chứng minh phân số sau tối giản: n3  2n n 1 2n  5n  a, 2n  b, 3n  c, 3n  d, n  3n  HD: n  1d d UCLN  n  1;2n  3     n  1   2n  3 d   1d  d 1 n   d  a, Gọi 2n  3d d UCLN  2n  3;3n  5     2n  3   3n   d   1d  d 1 n   d  b, Gọi 5n  3d d UCLN  5n  3;3n       3n     5n  3 d  1d  d 1 3n  2d c, Gọi n  1d 4 d UCLN  n  2n; n  3n  1  n  n  2n    n  3n  1 d   n  2n d d, Gọi n d  n d    1d  d 1   n  2n   n  n  1 d    n   d n   d    Bài 2: Chứng minh phân số sau tối giản: 2n  16n  14n  2n  n ( n  1) a, 6n  b, 21n  c, d, 4n  HD: d UCLN  16n  5;6n     6n     16n   d  1d  d 1 a, Gọi 14n  3d d UCLN  14n  3;21n       14n  3   21n   d 1d  d 1 21n  4d b, Gọi n  2n  1 d n d 2n  n d d UCLN  2n  1;2n  2n        2n  2n d  2n  1d 2n  2n d c, Gọi   2n  1  2n d  1d  d 1  2n  3d d UCLN  2n  3;4n       4n     2n  3 d  2d  d 1, d 2 n   d  d, Gọi Vì 2n  3d mà 2n+3 số lẻ nên d lẻ, d 2 loại Bài 3: Chứng minh phân số sau tối giản: 3n  n 12n  a, 5n  b, n  c, 30n  HD: 5n  3d d UCLN  5n  3;3n       3n     5n  3 d  1d  d 1 n   d  a, Gọi n  1d d UCLN  n; n  1     n  1  n d  1d  d 1 n  d  b, Gọi 12n  1d d UCLN  12n  1;30n       12n  1   30n   d  1d  d 1, 30n  2d c, Gọi Bài 4: Tìm n  Z để phân số sau số nguyên: n 2n  a, n  b, n  c, n  HD: A  Z  n   U    1; 2; 3; 6  n   n a, Để n n 44 B  1   Z  n   U    1; 2; 4 n n n b, Để 2n  2n   1 C  2   Z  n   U  1  1  n    n 3 n 3 n 3 c, Để 12 D  Z  3n   U  12   1; 2; 4 3 3n  d, Để , Vì 3n    Bài 5: Tìm n Z để phân số sau số nguyên: 3n  a, n  HD: 6n  b, 2n  3n  c, n  12 d, 3n  6n  d, 3n  3n  3n   5  3   Z  n   U  5  1; 5 n n n a, Để 6n  6n   13 13 B  3   Z  2n   U  13  1; 13 2n  2n  2n  b, Để 3n  3n   7 C  3   Z  n   U    1; 7 n n n c, Để 6n  6n   5 D  2   Z  3n  U  5  1; 5 3n  3n  3n  d, Để 63 A 3n  với n  N, tìm n để A số tự nhiên Bài 6: Cho phân số  Bài 7: Tìm n Z để phân số sau số nguyên: n2  n  10 n 3 2n  a, 2n  b, 2n  c, d, n  HD : a, Ta có : 2n – =2(n-4) => n+10 2 n+10  n – hay n số chẵn n  10n  b, Ta có : 2n – =2(n – 1)=> n+3 2 n+3 n – hay n số lẻ n  3n  c, Ta có : 2n+3 7 => 2n+10 7= >n+5 7 => n= 7k – (k  N ) A d, Ta có : n  2n  2n  3n   n(n  2)  2n   n   n( n  2)  2(n  2)  n  =>7 n+2 8n  193 A 4n  cho: Bài 8: Tìm n  N để a, Có giá trị số tự nhiên b, Là phân số tối giản c, Với n từ 150-170 A rút gọn HD : 187 A 2  4n  để A số tự nhiên 4n+3  U(187) =  1; 11; 17; 187 a, 187 b, Để A tối giản 4n  tối giản hay 187 không chia hết cho 4n+3 hay 4n+3 # 11k 4n+3 # 17  100 11k  170  c, Để A rút gọn n = 11k + n = 17h – 5=>  100 17 h  170 A 3a  5b  5a  8b  phân số tối giản Bài 9: CMR (a – 1; b+1) HD: Gọi d=UCLN(3a+5b+2; 5a+8b+3) => 5(3a+5b+2) – 3(5a+8b+3) d=> b+1 d Và 8(3a+5b+2) – 5(5a+8b+3) d=> a – d => d  UC( a – 1; b+1) Mà UCLN( a – 1; b+1) =1 => d =1; - n4 A B n  n  số nguyên Bài 10: Tìm n  Z cho n 9 A n  (n  Z, n > 6), Tìm n để phân số có giá trị nguyên dương Bài 11: Cho phân số 75 A 5n  (n  N*) Tìm n để Bài 12: Cho phân số a, Phân số A số tự nhiên b, A rút gọn 2n  Bài 13: Tìm n  N để n  số nguyên 2001 2002 ; ; ; ; ; n  2003 n  2004 Bài 14: Tìm số tự nhiên n nhỏ để phân số sau tối giản: n  n  n  HD: a Các phân số cho có dạng: n   a với a=1; 2; 3; ; 2001; 2002 a Để n   a tối giản UCLN(n+2+a;a) =1, => UCLN(n+2; a)=1=> n+2 a nguyên tố Với số 1,2,3, , 2002 n+2 nhỏ n+2=2003( Vì 2003 số nguyên tố) 19 n Bài 15: Tìm n để tích hai phân số n  có giá trị ngyên 3x  P x  số nguyên Bài 16: Tìm x để giá trị biểu thức: 2017  x T 10  x , tìm giá trị nguyên x để: T có giá trị nguyên, T có giá trị lớn Bài 17: Cho x2 M x  , biết x số hữu tỉ âm, M số nguyên, Tìm x Bài 19: Cho Dạng 3: TÌM N ĐỂ PHÂN SỐ CĨ GTLN HOẶC GTNN Bài 1: Tìm n  Z để phân số sau có GTNN: 6n  6n  x  13 2x  A B A B 2n  3n  x 3 x 1 a, b, c, d, HD: 13 13 A 3  2n  nhỏ 2n  số dương lớn a, Do n  Z nên 2n+3  Z , Để 2n+3 số nguyên dương nhỏ nhất=> 2n+3 =1=> n = -1 5 B 2  3n  nhỏ 3n  số dương lớn b, Do n  Z nên 3n+2  Z , Để hay 3n+2 số nguyên dương bé => 3n+2 =1 =>n = -1/3( loại) nên 3m+2 =2=> n=0 16 16 A 1  x  nhỏ x  số dương lớn c, Do x  Z nên x+3  Z Để hay x+3 số nguyên dương nhỏ hay x+3 =1=> x = - 2 B 2  x  nhỏ x  số âm nhỏ d, Do x  Z nên x+1  Z để hay x+1 số nguyên âm lớn hay x+1 = - => x = - Bài 2: Tìm n  Z để phân số sau có GTNN: 10 x  25 3x  20a  13 3 A B E D 2x  x 4a  2x  a, b, c, d, HD: 5 E 5  x  nhỏ x  số âm nhỏ a, Do x  Z nên 2x+4  Z Để hay 2x+4 số nguyên âm lớn hay 2x+4 = - => x= - 5/2 (loại) 2x+4 = - => x= - 10 10 A 3  x  nhỏ x  số âm nhỏ b, Do x  Z nên x-1  Z Để hay x -1 số nguyên âm lớn hay x - = - 1=> x=0 2 B 5  4a  nhỏ 4a  số dương lớn c, Do a  Z nên 4a+3  Z Để hay 4a+3 số nguyên dương nhỏ hay 4a+3 =1=> a =-1/2(loại) hay 4a+3 =2 => a = -1/4(loại) hay 4a+3=3=> a=0 3 D x  nhỏ 2x – số nguyên dương bé d, Do x  Z nên 2x-5  Z , Đề hay 2x – =1=> x =3 Bài 3: Tìm n  Z để phân số sau có GTNN: 4n  2n  8 x 3 A B E C 2n  n2 x 2n  a, b, c, d, HD: 5 2 2n  nhỏ 2n  số dương lớn a, Do n  Z nên 2n+3  Z , Để A = => 2n+3 số nguyên dương nhỏ => 2n+3=1=> n= - 7 B 2  n  nhỏ n  số dương lớn b, Do n  Z nên n+2  Z , Để => n+2 số nguyên dương nhỏ nhất=> n+2 =1=> n= - 5 C   x  nhỏ x  số âm nhỏ c, Do x  Z nên x-3  Z , Để => x – số nguyên âm lớn => x – = - => x= 3 2n  nhỏ 2n  số dương lớn d, Do n  Z nên 2n-5  Z , Để => 2n-5 số nguyên dương nhỏ => 2n-5 =1=>n=3 x A 5x  Bài 4: Tìm n  Z để phân số sau có GTNN: HD :  5x    A    1  5 x  5 x      nhỏ x  số âm nhỏ Do x  Z nên 5x-2  Z , Để  x  (loại) 5x - 2= - => x = => 5x - số nguyên âm lớn => 5x - 2= -1 Bài 5: Tìm n  Z để phân số sau có GTLN n 1 14  n 7 x D C E C n 4 n x 4 x a, b, c, d, HD: 3 C 1  n  lớn n  số dương lớn a, Do n  Z nên n-2  Z , Để n – số nguyên dương nhỏ => n - = 1=> n = 10 10 D 1   n lớn  n số dương lớn b, Do n  Z nên – n  Z , Để hay – n số nguyên dương nhỏ => – n = => n = 2 E   x  lớn x  số dương lớn c, Do x  Z nên x-5  Z , Để hay x – số nguyên dương nhỏ => x – = 1=> x = 1 C  x lớn  x số dương lớn d, Do x  Z nên 4+x  Z , Để hay 4+x số nguyên dương nhỏ => + x = => x = Bài 6: Tìm n  Z để phân số sau có GTLN x  19 3 3n  D D C x 2x   2n  a, b, c, HD: 26 26 D 5  x  lớn x  số dương lớn a, Do x  Z nên x-9  Z , Để hay x – số nguyên dương nhỏ => x – =1=> x = 10 3 D x  lớn x  số ấm nhỏ b, Do x  Z nên 2x-5  Z ,Để hay 2x -5 số nguyên âm lớn => x – 5= - 1=> x =  6n     C      3    2n     2n   lớn c, Do n  Z nên -2n +  Z , Để hay  2n  số dương lớn nhất, hay -2n + số nguyên dương bé => -2n+3 =1 => n =1 Bài 7: Tìm n  Z để phân số sau có GTNN: 7n  2n  8 x A B D A x 2n  n n 3 a, b, c, d, Bài 8: Tìm n  Z để phân số sau có GTNN: x 14  x C B D x2 4 x x 5 a, b, c, Bài 9: Tìm n  Z để phân số sau có GTLN E a, C x 5 b, E n 1 n c, D 6n  3n  d, E 2n  n Bài 10: Tìm n  Z để phân số sau có GTLN n 1 4n  2n  B C A n 2n  n2 a, b, c,  Bài 11: Tìm n Z để phân số sau có GTLN 7n  2n  3n  F G I 2n  n  2n  a, b, c, 10n  B 4n  10 Đạt giá trị lớn nhất, Tìm GTLN Bài 12: Tìm số tự nhiên n để HD :  2n    22 11 B    2n   2n  d, d, E 6n  3n  K 6n  3n  1  6n x  đạt giá trị nhỏ Bài 13: Tìm số nguyên n cho Bài 14: Tìm giá trị nguyên x để: 8 x A B  x có giá trị lớn x  có GTNN a, b, ab A a b Bài 15: Tìm GTNN phân số : x  19 A 2 x  , C  x  y x+y=1 Bài 16: Tìm GTNN biểu thức: A Bài 17: Tìm số tự nhiên a, b nhỏ cho a b (1) HD: a b     b  b  N nên a b => a=b.k (k  N) Từ a b => a   k 2 7 Và a > b => b , thay a = b.k vào (1) ta b k b  k b 7 7 Mà k 2 => k 2  b 2 mà b nhỏ nên b 2 , k = => a 2 2 n M x y Bài 18: Cho số tự nhiên n có hai chữ số, chữ số hàng chục x, hàng đơn vị y, Gọi a, Tìm n để M=2 HD: b, Tìm n để M nhỏ 10 x  y 2  y 8 x x  y a, Ta có: , Mà x,y chữ số nên x=1 y=8 x  y  9x 9x M 1  1  y y x y xy 1 1 x để M nhỏ x lớn hay y lớn x nhỏ nhât b, 10 Dạng 4: CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN PHÂN SỐ 30  43 a  1 b Bài 1: Tìm a, b, c, d  N* , biết : c d 17 11 Bài 2: Cộng tử mẫu phân số 21 với số nguyên rút gọn ta phân số 13 Hãy tìm số ngun ? Bài 3: Khi cộng tử mẫu phân số với số nguyên x phân số có giá trị Tìm số nguyên x? Bài 4: Tìm phân số tối giản, Biết cộng tử mẫu phân số với mẫu số số lớn giấp hai lần phân số ban đầu ? HD: a Gọi phân số tối giản lúc đầu b , cộng mẫu số vào mẫu số ta phân số : a a a  b  b 2b phân số nhỏ phân số b lần, a b Để 2b gấp hai lần phân số ban đầu a+b giấp lần a => Mẫu số b phải giấp lần tử số a, phân số tối giản thỏa mãn điều kiện a a 21 Bài 5: Tìm phân số tối giản b nhỏ nhât khác cho chia b cho phân số 14 35 ta kết số tự nhiên Bài 6: Tìm số tự nhiên n nhỏ để phân số sau tối giản: 2001 2002 ; ; ; ; ; n 3 n 4 n 5 n  2003 n  2004 HD : a a , a 1, 2,3, , 2002 Các phân số có dạng n   a , để n   a tối giản : UCLN (a; n  a  2) 1  UCLN (n  2; a) 1  n+2 a hai số nguyên tố Với số : 1,2,3, ,2002 n+2 nhỏ =>n+2=2003 số nguyên tố=> n=2001 1 1 51      a , a , a , , a a a a a , Chứng minh 50 số 50 50 Bài 7: Cho 50 số tự nhiên: , t/ m : có hai số 11