skkn một số giải pháp nhằm nâng cao năng lực tư duy cho học sinh thông qua dạy giải bài tập phân số lớp 6

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc -ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN Kính gửi: Hội đồng sáng kiến thành phố Thái Nguyên Tôi ghi tên đây: Là tác giả đề nghị xét công nhận sáng kiến: “Một số giải pháp nhằm nâng cao lực tư cho học sinh thông qua dạy giải tập phân số lớp 6” - Chủ đầu tư tạo sáng kiến: Nguyễn Thị Xuân - Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Chuyên môn - Toán - Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu áp dụng thử: Ngày 25/1/2018 - Mô tả chất sáng kiến: Những kiến thức phân số ❖ Định nghĩa - Người ta gọi với phân số, tử số (tử), mẫu số (mẫu) phân số - Hai phân số gọi - Phân số tối giản (hay phân số không rút gọn nữa) phân số mà tử mẫu có ước chung -1 - Số đối: Hai số gọi đối tổng chúng - Số nghịch đảo: Hai số gọi nghịch đảo tích chúng ❖ Các tính chất - Nếu ta nhân tử mẫu phân số với số nguyên khác ta phân số phân số cho: - Nếu ta chia tử mẫu phân số cho ước chung chúng ta phân số phân số cho: ❖ Một số quy tắc phân số - Rút gọn phân số: Muốn rút gọn phân số ta chia tử mẫu phân số cho ước chung () chúng để phân số đơn giản - Quy đồng phân số với mẫu số dương : Bước 1: Tìm BCNN mẫu Bước 2: Tìm thừa số phụ mẫu Bước 3: Nhân tử mẫu phân số với thừa số phụ tương ứng - So sánh phân số: - Cộng (trừ) hai phân số: ▪ Cộng (trừ) hai phân số mẫu: ▪ Cộng (trừ) hai phân số không mẫu: Bước 1: Quy đồng mẫu số hai phân số Bước 2: Cộng (trừ) tử với tử, mẫu giữ nguyên Các dạng tập phân số a) Bài toán so sánh phân số Một số phương pháp giải tập so sánh Phân số: + Đưa so sánh hai phân số có mẫu số tử số + So sánh với Phân số trung gian + So sánh phần bù đơn vị + So sánh với + Sử dụng tính chất: - Cho - Cho , tương ứng Bài tốn 1: So sánh phân số: A = ❖ B= Phân tích Ta thấy A, B hai phân số không mẫu, giá trị tử số mẫu số lớn khơng thể so sánh hai phân số cách quy đồng tử (mẫu) số để đưa hai phân số dạng tử (mẫu) số Nhận thấy hai phân số đem so sánh có tử số mẫu số chứa số hạng lũy thừa 17 Trong số mũ tử nhỏ số mũ mẫu đơn vị Điều gợi ý cho ta nhân A B với 17 nhằm tách 17A 17B thành tổng số nhằm xuất phân số có tử số so sánh ❖ Lời giải Ta có: 17.A = 17.B = Ta thấy 17.A > 17.B hay A > B Cách 2: Ngoài cách để so sánh A B ta nghĩ đến việc áp dụng tính chất có lời giải sau: Ta có: B = Suy Vậy A > B Cách 3: Bằng cách xét hiệu A – B ta có cách giải sau: Xét hiệu A – B = = Vậy A > B * Nhận xét: Hai phân số đem so sánh có tử mẫu chứa số hạng lũy thừa 17, số mũ tử nhỏ số mũ mẫu đơn vị Nhờ vào việc nhân A B với 17 nhằm xuất phân số có tử, từ ta giải tốn cách dễ dàng Nhận thấy lời giải không ảnh hưởng đến số mũ lũy thừa 17 hai phân số đem so sánh nên phương pháp giải ta giải toán tương tự sau: Bài toán 2: So sánh A B với: A = B = 17100  103 Bài toán 3: So sánh A B với: A = B = 17  3 (Hướng dẫn: So sánh 17 A 17 B để suy A B) 17 200  17 205  201 206 1 Bài toán 4: So sánh A B với: A = 17  B = 17 (Hướng dẫn: So sánh 17 A 17 B để suy A B) Qua ta thấy số mũ lũy thừa 17 không ảnh hưởng đến kết so sánh mà chênh lệch số mũ lũy thừa 17 tử mẫu yếu tố định kết so sánh Khi thay lũy thừa 17 lũy thừa số ta có tốn tương tự sau: 1099  10100  100 101 Bài toán 5: So sánh A B với:A = 10  B = 10  Bài toán tổng quát: So sánh A B với: A = B = () Lời giải: Ta có A = B = Ta thấy > A > B hay A > B Vậy A > B Bài toán 6: So sánh hai biểu thức A B biết rằng: A = B = ❖ Phân tích Ta thấy phân số B có tử tổng tử mẫu tổng mẫu phân 2000 2000 2001 2001  ;  số A Nhận thấy: 2001 2001  2002 2002 2001  2002 Từ ta đến cách giải cho toán ❖ Lời giải Cách 1: 2000 2000 2001 2001  ;  Ta có 2001 2001  2002 2002 2001  2002 2000 2001 2000 2001    Suy 2001 2002 2001  2002 2001  2002 2000 2001 2000  2001   2001 2002 2001  2002 Vậy A > B 2000 2.103 1       2.103  2 Cách 2: Ta nhận thấy 2001 2.10  2001 2.103  1 1  1 1  3 2.10  2 Tương tự 2002 2.10  2000 2001   Suy 2001 2002 Mặt khác B = = Vậy A > B ❖ Nhận xét Ta thấy tổng mẫu phân số B tổng tử tổng mẫu phân số A từ ta tìm lời giải toán tương tự sau: 5000 5001 5000  5001 Bài toán 7: So sánh A B với: A = 5001 + 5002 B = 5001  5002 97 98 97  98  Bài toán 8: So sánh A B với: A = 98 99 B = 98  99 Bài toán tổng quát: So sánh A = B =  a   1     2 1002 Bài toán 9: Cho A = Chứng minh A < ❖ Phân tích ❖ Nhìn vào biểu thức A ta thấy phân số A có tử mẫu bình phương số tự nhiên liên tiếp Mỗi số hạng A có dạng 1  ( k   ) (k  1).k Mặt khác k2 Khi HS nhận thấy k Đến ta nghĩ tới việc so sánh A với biểu thức trung gian có số 1 1       99 100 Từ ta có lời giải hạng triệt tiêu 2 toán ❖ Lời giải 1 1    2.3 Ta có: 1 1    3.4 1 1    100 99.100 99 100 1     2 1002 Vậy A = 2 1 1 1 1            3 99 100 2 100 Hay A < Vậy A < ❖ Nhận xét Nhìn lại lời giải tốn ta thấy, việc so sánh phân số k với phân số  k  1 k sau tổng hợp lại ta so sánh tổng A với tổng trung gian mà số hạng triệt tiêu Với cách làm ta giải toán tương tự sau: 1    20132 với Bài toán 10: So sánh A = 10 11 1    2 20132 với Bài toán 11: So sánh A = 99 100 Qua toán ta thấy số so sánh với tổng số liên quan tới số hạng đầu mà không liên quan tới số hạng cuối tổng Nếu số hạng đầu a số so sánh a  Tiếp tục phân tích tốn tổng qt ta thấy nảy sinh vấn đề: Nếu mẫu số số hạng lập phương số tự nhiên liên tiếp tốn giải nào? Ta xét toán sau: 1    33 103 với Bài toán 12: So sánh A = ❖ Phân tích Ta thấy A tổng phân số có dạng k tử số mẫu số lập phương số tự nhiên liên tiếp  1  1      k  k  1 k  k  1  k  k  1 k  k  1  Với ta có: Vì ta nghĩ đến việc so sánh hạng tử A với nhằm so sánh tổng A với tổng trung gian Tổng có phần tử triệt tiêu ❖ Lời giải 1 1 1       Ta có: 1.2.3  1.2 2.3  1 1 1       3 2.3.4  2.3 3.4  1 1 1       103 9.10.11  9.10 10.11  1    3 10 < Vậy A = Hay A < ❖ Nhận xét Trong tập này, số hạng tổng có dạng k Nhờ vào việc đánh giá số hạng tổng với ta so sánh tổng A với tổng trung gian mà số hạng triệt tiêu Cùng với phương pháp giải ta giải toán tương tự sau: 1    20133 với Bài toán 13: So sánh A = Bài toán 14: So sánh A = với Bài toán 15: So sánh A2 = với  Qua toán ta thấy phân số đem so sánh phụ thuộc vào số hạng đầu, không phụ thuộc vào số hạng cuối tổng Nếu số hạng đầu a phân số đem so sánh Từ ta có tốn tổng qt sau: Bài tốn tổng qt: So sánh An = 1 1      3 a  a  1 n3  a  k Trong Lời giải  1 1 1      a  a  1 a. a  1   a  1 a a. a  1  Ta có: với  a  1   1 1     a. a  1  a    a. a  1  a  1  a     1 1 1      n3  n  1 n. n  1   n  1 n n  n  1  Suy An  ậy An  1 1 1 1          3 3 a  a  1 n  a. a  1 n. n  1  2. a  1 a  a  k V 1    a  1 a b) Bài tốn tính tổng dãy phân số viết theo quy luật Trong hệ thống tập Phân số, dạng tập Tính tổng dãy Phân số viết theo quy luật dạng toán phổ biến Các toán dạng chứa đựng quy luật định Để minh họa khả nâng cao lực tư dạng tốn ta xem xét số ví dụ sau: Bài tốn 1: Tính tổng S = ❖ Phân tích Ta thấy S tổng phân số khơng mẫu Để tính S đem quy đồng mẫu số phân số khó khăn việc tính tốn Mặt khác, nhận thấy số hạng tổng S có dạng với tử số mẫu số tích hai số tự nhiên liên tiếp Mà Từ ta nghĩ tới việc phân tích số hạng tổng thành hiệu hai phân số mà triệt tiêu với phân số số hạng liền kề với Lời giải Ta có: Cộng vế với vế ta được: S == Qua lời giải tốn ta thấy để tính tổng số hạng viết theo quy luật ta cần phân tích số hạng tổng thành hiệu hai phân số có dạng để làm triệt tiêu bớt số hạng tổng, giúp cho việc tính tổng trở nên đơn giản nhiều Áp dụng phương pháp giải ta giải tốn tương tự sau: Bài tốn 2: Tính tổng S = Bài tốn 3: Tính tổng Sn = ❖ Nhận xét Ta thấy số hạng tổng cần tính phân số viết theo quy luật: Mẫu số tích hai thừa số đơn vị, thừa số cuối mẫu số hạng đứng trước thừa số đầu mẫu số hạng Khi đó, số hạng phân tích thành hiệu hai số hạng triệt tiêu tổng, từ tính tổng cách dễ dàng Nếu tăng chênh lệch thừa số mẫu số hạng tổng lên hai đơn vị ta có tốn sau: Bài tốn 4: Tính tổng S = Bài tốn 5: Tính tổng S = (Hướng dẫn: Ta thấy ) Bài tốn 6: Tính tổng: S = Bài tốn 7: Tính tổng S = Bài tốn tổng qt: Tính tổng: S = với Lời giải Ta có 10 Cộng vế với vế ta được:  S= 1 1 1       a ak a   n  1 k a  n.k a a  n.k Nhờ linh hoạt phân tích tìm lời giải tốn, tư so sánh, xét tương tự mà HS giải nhanh chóng tốn tương tự tổng qt Ta mở rộng tốn tính tổng với số hạng có mẫu số tích ba số Chẳng hạn xét toán sau: Bài toán 8: Tính giá trị biểu thức: S = ❖ Phân tích tốn Nhận thấy S tổng phân số viết theo quy luật: tử số mẫu tích ba số tự nhiên liên tiếp Khi tương tự tốn với mẫu tích hai thừa số ta nghĩ đến việc tìm cách phân tích số hạng tổng thành hiệu số mà triệt tiêu với số số hạng liền kề: * Lời giải Ta có: Cộng vế với vế ta được: S= = Do đó, tăng số hạng tổng lên, hoàn toàn tương tự ta giải tốn sau: 1    2013.2014.2015 Bài toán 9: Tính tổng S = 1.2.3 2.3.4 Bài tốn 10: Tính tổng S= Lời giải Ta có: 11 Cộng vế với vế ta được: S= = c) Bài toán rút gọn phân số Bài toán rút gọn phân số dạng toán phần phân số Dạng tốn khơng có quy luật giải chung mà địi hỏi HS trước giải cần phải nhìn nhận tốn cách tổng quan, phân tích, so sánh, tổng hợp, khái qt hóa, để tìm dấu hiệu chất tốn Nhờ giúp HS nâng cao lực tư phục vụ cho việc giải toán sau Dưới số toán giúp HS nâng cao lực tư duy: Bài toán 1: Rút gọn phân số sau: ❖ Phân tích - tìm tịi lời giải Ta thấy phân số có tử mẫu lặp lai lần số 187 221 Nhờ lặp lại ta viết tử mẫu phân số dạng ghi số tự nhiên hệ thập phân để thấy thừa số chung tử mẫu: 187187187  187.103  187.102  187  187. 103  102  1 221221221  221.103  221.102  221  221. 103  102  1 ❖ Lời giải Ta có: 187187187 187.103  187.102  187 187. 10  10  1 187    221221221 221.103  221.102  221 221. 103  10  1 221 Thấy dấu hiệu chất toán: tử mẫu phân số lặp lại 187 221 Từ ta giải tốn tương tự: Bài toán 2: Rút gọn phân số sau: Bài toán 3: Chứng minh phân số sau Nếu thay số lặp lại số a,b,c ta có toán tổng quát sau: Chứng minh hai phân số nhau: (n chữ số a,b) (m chữ số a,b) 12 d) Ba toán Phân số Đây dạng toán hệ thống tập phân số, tốn có nội dung thực tế, việc giải toán giúp học sinh phát triển khả gắn liền toán học với thực tiễn Để giải tốt dạng toán học sinh phải linh hoạt việc kết hợp ba toán sau: ⮚ Tìm giá trị phân số số cho trước ⮚ Tìm số biết giá trị phân số số ⮚ Tìm tỉ số hai số Ngồi việc kết hợp ba tốn trên, học sinh cần sử dụng thành thạo phương pháp số học như: sơ đồ đoạn thẳng, dùng đơn vị quy ước, giả thiết tạm, tính ngược từ cuối, phương pháp lựa chọn, Việc luyện giải thành thạo tập dạng giúp học sinh nắm vững kiến thức phân số mà giúp học sinh nâng cao lực tư Bài toán 1: Hiện anh 15 tuổi Năm mà tuổi anh tuổi em lúc tuổi em tuổi anh Vậy em tuổi? ❖ Phân tích Đây tốn tính tuổi, giải loại toán cần ý hai người tuổi khứ, tai hay tương lai nhiêu tuổi Ta tóm tắt tốn sơ đồ sau: Tuổi em trước kia: Tuổi em nay: Tuổi anh trước kia: Tuổi anh nay: Nhìn vào sơ đồ ta thấy tuổi em tuổi anh trước Mà khoảng thời gian từ trước tới biểu diễn đoạn BC = CD Như tuổi anh trước tuổi anh Từ mối quan hệ ta tính tuổi em ❖ Lời giải Cách 1: Sử dụng phương pháp số học (dùng sơ đồ đoạn thẳng) 13 Biểu thị tuổi anh tuổi em sơ đồ đoạn thẳng ta thấy: Tuổi em = tuổi anh trước = tuổi anh Mà tuổi anh 15 tuổi Do tuổi em là: (tuổi) Vậy em tuổi Cách 2: Gọi tuổi em tuổi Năm mà tuổi anh tuổi em lúc tuổi em tuổi anh Số tuổi em trước (tuổi) Số tuổi anh trước tuổi em trước là: (tuổi) Số tuổi anh tuổi em là: (tuổi) Vì trước anh em tuổi anh em nhiêu tuổi nên ta có: (thỏa mãn điều kiện) Vậy em tuổi ❖ Nhận xét HS biết cách biểu thị quan hệ tuổi anh tuổi em sơ đồ đoạn thẳng Do điều cốt lõi việc giải dạng toán phải biết phân tích kiện đề cho, sau tổng hợp lại để chuyển chúng thành sơ đồ Qua sơ đồ trực quan học sinh giải yêu cầu toán Với cách tư ta giải tốn sau: Bài toán 2: Hiện tuổi mẹ tuổi Bốn năm tuổi mẹ lần tuổi Tính tuổi mẹ, tuổi Bài tốn 3: Tuổi tuổi cha Tổng số tuổi cha 45 Hỏi tuổi người? Bài tốn 4: Một cơng việc giao cho người thợ bậc làm thời gian giao cho người thợ bậc hai làm tiếp cho xong Biết hai người làm 14h người thợ bậc hồn thành cơng việc phải hết 15h cịn người thợ bậc hai cần 12h Tính xem người làm bao lâu? ❖ Phân tích 14 Đây tốn cơng việc Để giải loại tốn thường có phương pháp giải khác như: giả thiết tạm, dùng đơn vị quy ước hay tính ngược từ cuối Ở ví dụ ta thấy hai người làm công việc, khối lượng công việc không phụ thuộc vào thời gian hay suất làm việc hai người Do chọn phương pháp dùng đơn vị quy ước để giải tốn đơn vị quy ước chọn khối lượng công việc ❖ Lời giải Cách 1: Sử dụng phương pháp dùng đơn vị quy ước Chọn khối lượng công việc làm đơn vị quy ước Trong giờ, người thợ bậc làm công việc người thợ bậc hai làm cơng việc Do đó, người thợ bậc hai làm người thợ bậc công việc Giả sử người thợ bậc làm 14h người làm được: cơng việc Như lượng công việc bị hụt so với thực tế là: cơng việc lượng công việc người thợ bậc hai làm nhiều người thợ bậc Vậy, thời gian người thợ bậc hai làm là: (h) thời gian người thợ bậc làm là: (h) Vậy người thợ bậc làm 10h, người thợ bậc hai làm 4h hồn thành cơng việc Cách 2: Chọn khối lượng cơng việc làm đơn vị quy ước Trong giờ, người thợ bậc làm (công việc) người thợ bậc hai làm (cơng việc) Do đó, người thợ bậc hai làm người thợ bậc công việc Giả sử người thợ bậc hai làm hết 14h người làm được: (cơng việc) Như lượng cơng việc tăng lên so với thực tế là: công việc lượng cơng việc mà người thợ bậc làm người thợ bậc hai Vậy, thời gian người thợ bậc làm là: (h) 15 thời gian người thợ bậc hai làm là: (h) Vậy người thợ bậc làm 10h, người thợ bậc hai làm 4h hồn thành cơng việc ❖ Bài tốn tương tự Bài tốn 1: Tìm thời gian để hai vịi nước chảy đầy bể hai vịi chảy đầy bể theo thứ tự hết Bài tốn 2: Hai xe ơtơ khởi hành lúc: xe thứ từ A đến B, xe thứ hai từ B đến A Sau 30 phút, chúng cịn cách 108 km Tính qng đường AB biết xe thứ quãng đường AB hết giờ, xe thứ hai quãng đường AB hết Bài toán 3: (Bài tốn Niu- tơn) Ba cơng nhân làm việc Người thứ hồn thành cơng việc tuần, người thứ hai hồn thành cơng việc nhiều gấp ba cơng việc tuần, người thứ ba hồn thành cơng việc nhiều gấp năm cơng việc trog 12 tuần Nếu ba người làm công việc ban đầu họ kết thúc cơng việc bao lâu? Lời giải Lấy khối lượng công việc làm đơn vị quy ước Trong tuần người thứ làm công việc, người thứ hai làm công việc, người thứ ba làm công việc Trong tuần họ làm được: (công việc) Thời gian để họ làm xong công việc: (tuần) - Về khả áp dụng sáng kiến: Áp dụng cho học sinh lớp THCS - Những thông tin cần bảo mật: Khơng có - Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: + Giáo viên dạy mơn Tốn học phải nắm vững kiến thức chuyên môn linh hoạt sử dụng phương pháp giáo dục học sinh + Tham gia đầy đủ, có chất lượng đợt tập huấn chỗ để nâng cao phương pháp giải giảng dạy cho giáo viên nói chung lực chun mơn 16 giáo viên mơn Tốn học nói riêng Chủ động, tích cực, tự học hỏi, bồi dưỡng kỹ + Phụ huynh phải quan tâm, tạo điều kiện cho học sinh tham gia đầy đủ buổi học nhà trường, bồi dưỡng học sinh giỏi toán nhà trường Dành thời gian hợp lý, hội cho em rèn luyện kỹ giải dạng tập - Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả: Thơng qua tốn Phân số chương trình Tốn ta thấy để giải toán học sinh thường xuyên phải thực lực tư phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, trừu tượng hóa,…Như vậy, việc giải tập phân số phương tiện, điều kiện để học sinh nâng cao lực tư Đây hội tốt để học sinh phát huy tính sáng tạo, khả vận dụng linh hoạt lý thuyết hay độc lập tư thân, góp phần khơng nhỏ việc phát triển số yếu tố tư sáng tạo Trên số kinh nghiệm vận dụng năm học vừa qua tơi Tuy ý kiến riêng song tơi mạnh dạn trình bày để đồng chí tham khảo Trong q trình nghiên cứu thử nghiệm khơng tránh khỏi thiếu sót, mong tham gia đóng góp ý kiến đồng chí hội đồng khoa học nhà trường, đồng nghiệp để sáng kiến hoàn thiện đạt hiệu năm học tới Tôi xin cam đoan thông tin nêu đơn trung thực, thật hoàn toàn chịu trách nhiệm trước pháp luật TP Thái Nguyên, ngày .tháng năm Người nộp đơn Nguyễn Thị Xuân 17 PHÒNG GDĐT THÀNH PHỐ THÁI NGUYÊN TRƯỜNG THCS CAM GIÁ ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN 18 Tên sáng kiến: “Rèn luyện kĩ nhận biết dấu hiệu chia hết cho số tự nhiên” 19 ... mẫu số hai phân số Bước 2: Cộng (trừ) tử với tử, mẫu giữ nguyên Các dạng tập phân số a) Bài toán so sánh phân số Một số phương pháp giải tập so sánh Phân số: + Đưa so sánh hai phân số có mẫu số. .. Nhờ giúp HS nâng cao lực tư phục vụ cho việc giải toán sau Dưới số toán giúp HS nâng cao lực tư duy: Bài toán 1: Rút gọn phân số sau: ❖ Phân tích - tìm tịi lời giải Ta thấy phân số có tử mẫu...❖ Một số quy tắc phân số - Rút gọn phân số: Muốn rút gọn phân số ta chia tử mẫu phân số cho ước chung () chúng để phân số đơn giản - Quy đồng phân số với mẫu số dương : Bước 1: