PHỊNG GD& ĐT QUẢNG TRẠCH TRƯỜNG THCS CẢNH HĨA ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI LỚP Mơn: Tốn Năm học 2018-2019 Thời gian: 120 phút(không kể thời gian giao đề) Bài (2,0 điểm) Cho biểu thức : x2 y x2 y2 x y P với x 0, y 0, x y x x xy xy xy y x xy y a Rút gọn biểu thức P b Tính giá trị biểu thức P biết x, y thỏa mãn đẳng thức: x y 10 2( x y ) Bài (2,0 điểm) Giải phương trình sau: a.) 2x 2x 6x 9x 1 2x 1 2x ( x 1)(2 x 7) b x 11 x 22 x 33 x 44 115 104 93 82 Câu (3,5 điểm)Cho hình vng ABCD có cạnh a, biết hai đường chéo cắt O Lấy điểm I thuộc cạnh AB, điểm M thuộc cạnh BC cho IOM 900 (I M không trùng với đỉnh hình vng) Gọi N giao điểm AM CD, K giao điểm OM BN a) Chứng minh ΔBIO = ΔCMO tính diện tích tứ giác BIOM BIO = ΔBIO = ΔCMO tính diện tích tứ giác BIOM CMO tính diện tích tứ giác BIOM theo a b) Chứng minh BKM BCO c) Chứng minh 1 = + 2 CD AM AN Câu (1,5 điểm) Cho a, b, c > 0; a + b + c = a b c Chứng minh rằng: b2 c2 a 2 Bài (1,0 điểm) Cho sè tù nhiªn n Chøng minh r»ng nÕu 2n 10a b (a, b N , b 10) th× tÝch ab chia hÕt cho Họ tên thí sinh: ……………………… Số báo danh PHÒNG GD&ĐT QUẢNG TRẠCH HƯỚNG DẪN CHẤM TRƯỜNG THCS CẢNH HÓA Bài Bài (2,0đ) Nội dung Với x 0, y 0, x y P= a (1.0) x 2 Điểm ta có: x y ( x y )( x y ) xy xy 2 xy ( x y ) x xy y x y xy ( x y ) ( x y ).( x y ) = x xy y x xy ( x y ) = = b (1.0) ĐỀ KIỂM TRA HSG NĂM HỌC: 2018 -2019 Mơn:Tốn Lớp: x x + + 0.25 x y ( x y )( x xy y ) x xy y xy ( x y ) x y xy = 0.25 x y xy 0.25 0.25 Ta có: x y 10 2( x y ) x x y y 0 0.25 x 1 y 3 0 Lập luận suy x 1; y Ta thấy x = 1; y = -3 thỏa mãn điều kiện: x 0, y 0, x y xy nên thay x = 1; y =- vào biểu thức P = xy ( 3) (2,0đ ) a (1.0) 0.25 ta có: P= 1.( 3) Bài2 0.25 0.25 1 7 ;x 2 x (2 x 7) x x 1 x x 1 x2 x x 1 (2 x 7) x x 1 x x 1 x x 1 ĐK: x 0.25 x 20 x 21 x 12 x x 16 x x x x x 1 x x 1 0.25 x 16 x x 16 x x 1 x x 1 0.25 x 0 x 16 x x 16 x x 0 x(2 x 1) 0 x (Lo¹i) 2 0.25 Vậy phương trình có nghiệm x = b ( (1.0) x 11 x 22 x 33 x 44 1) ( 1) ( 1) ( 1) 115 104 93 82 x 126 x 126 x 126 x 126 115 104 93 82 x 126 x 126 x 126 x 126 0 115 104 93 82 0.25 0.25 0.25 0.25 x 126 0 x 126 A I O Câu (3.5) a (1.0) B M K 0.5 E D N C Xét BIO CMO có: IBO MCO (450 ) ( tính chất đường chéo hình vng) BO = CO ( tính chất đường chéo hình vng) ( phụ với BOM ) BOI COM BIO = CMO (g.c.g) S BIO SCMO mà S BMOI S BOI S BMO 4 Do S BMOI SCMO S BMO S BOC S ABCD a Ta có BIO = CMO (cmt) CM = BI ( cặp cạnh tương ứng) BM = AI b (1.0) BM AM IA AM Vì CN // AB nên Từ suy IM // BN CM MN IB MN Ta có OI = OM ( BIO = CMO ) IOM cân O IMO MIO 450 0.5 0.5 0.5 0.5 Vì IM // BN BKM IMO 450 BKM BCO Qua A kẻ tia Ax vng góc AN cắt CD E Chứng minh ADE ABM ( g.c.g ) AE AM 0.25 Ta có ANE vng A có AD NE nên c (1.0) Câu (1.5) AD.NE AN AE AD.NE AN AE ( AD.NE ) ( AN AE )2 2 Áp dụng định lí Pitago vào ANE ta có AN2 + AE2 = NE2 AN AE 1 1 AD ( AN AE ) AN AE 2 2 AN AE AD AE AN AD 1 Mà AE AM CD = AD 2 CD AM AN 0.25 Do a, b > + b2 ≥ 2b với b nên 0.25 S AEN 0.25 0.25 a ab ab ab a a a 2 1 b 1 b 2b b bc c ca b c Tương tự ta có : ; 2 1 c 1 a 0.25 0.25 a b c ab bc ca (1) b2 c2 a 2 Cũng từ a + b + c = (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = mà a2 + b2 ≥ 2ab; b2 + c2 ≥ 2bc; c2 + a2 ≥ 2ac nên a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca suy 3(ab + bc + ca) ab + bc + ca (2) a b c 3 3 đpcm Từ (1) (2) suy 2 1 b 1 c 1 a 2 Đẳng thức xảy a = b = c = mà a + b + c = nên Ta có 2n 10a b b ab (1) Ta chứng minh ab (2) Bài (1.0) Thật vậy, từ đẳng thức 2n 10a b 2n có chữ số tận b Đặt n 4k r (k, r N, r 3) ta có: 2n 16k2r Nếu r 2n 16k tận b ab 6 Nếu r 2n 2r 2r(16k 1) 10 2n tận 2r suy b 2r 10a 2n 2r 2r(16k 1) a ab Từ (1) (2) suy ab 6 - HẾT - 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25