PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO HUYỆN Ý YÊN ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI THCS NĂM HỌC 2015-2016 MƠN: TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC Bài (3 điểm) 1) x y x3 Chứng minh : x y xy y x y x x x2 x 2 2) Phân tích đa thức thành nhân tử: 2 8 3) Tìm a, b, c biết: a b c ab bc ac a b c 3 Bài (4 điểm) Cho biểu thức: x2 y x2 y2 xy P x x xy xy xy y x xy y với x 0; y 0; x y 1) Rút gọn biểu thức P 2) Tính giá trị biểu thức P, biết x, y thỏa mãn đẳng thức: x y 10 2 x y Bài (4 điểm) x x 6 x 72 1) Giải phương trình: 2 2) Tìm cặp số nguyên x; y thỏa mãn: x x y Bài (2 điểm) Cho số a, b, c thỏa mãn a, b, c 0 Chứng minh rằng: a b c ab bc ca 1 Bài (5,5 điểm) Cho hình vng ABCD có cạnh a, biết hai đường chéo cắt O.Lấy điểm I thuộc cạnh AB, điểm M thuộc cạnh BC cho IOM 90 (I M không trùng với đỉnh hình vng) Gọi N giao điểm AM CD , K giao điểm OM BN 1) Chứng minh BIO CMO tính diện tích tứ giác BIOM theo a 2) Chứng minh BKM BCO 1 2 AM AN 3) Chứng minh CD Bài (1,5 điểm) Cho tam giác ABC AB AC , trọng tâm G Qua G vẽ đường thẳng d cắt AB AC cạnh AB, AC theo thứ tự D E Tính giá trị biểu thức AD AE ĐÁP ÁN Bài x y x3 x y xy y 1) Ta có: x x3 y x y xy x y x y xy y x y Vậy đẳng thức chứng minh x x x x x x x x x x x x 2) Ta có: x x 1 x 1 2 2 2 3) Biến đổi a b c ab bc ca a b b c c a 0 Lập luận suy a b c 8 8 Thay a b c vào a b c 3 ta có: 3a 3 a 1 a 1 a b c 1 a b c Vậy Bài 1) Với x 0; y 0; x y ta có: 2 2 x y x y x y xy xy P x xy y x xy x y 2 xy x y x y x y x y x xy x y x xy y 2 2 x y x xy y x y x xy x y x xy y 2 x y xy x xy xy 2 x y 10 2 x y 2) Ta có: x x y y 0 2 x 1 y 3 0 x 1 (tm) y Lập luận P x y 3 xy 1. 3 Nên thay x 1; y vào biểu thức Bài t 1 t 1 t 72 t 1 t 72 t t 72 0 x t 1) Đặt Ta có: x t 3 x 5 S ; 3 3 Vậy phương trình có tập nghiệm 2 2 2 2) x x y x x 12 4 y x 1 y 11 x y 1 x y 1 11 2 x y 1 x 2 x y 11 y 3 2 x y x 2 2 x y 11 y 2 x y 11 x 2 2 x y y 3 2 x y 11 x 2 x y 1 y Bài Vì b, c 0;1 nên suy b b; c c Do : a b c ab bc ca a b c ab bc ca (1) Lại có: a b c ab bc ca a 1 b 1 c 1 abc Vì a, b, c 0;1 nên a 1 b 1 c 1 0; abc 0 (2) 3 Do từ a b c ab bc ca 1 Từ (1) (3) suy a b c ab bc ca 1 Bài I A O E 1) D B M C IBO MCO 450 (Tính chất đường chéo hình vng) BO CO (tính chất đường chéo hình vng) BOI COM (cùng phụ với BOM ) BIO CMO g c.g S BIO SCMO mà S BMOI S BOI S BMO 1 S BMOI SCMO S BMO S BOC S ABCD a 4 Do đó: 2) Ta có: BIO CMO(cmt ) CM BI BM AI BM AM IA AM IM / / BN IB MN Vì CN / / AB nên CM MN Ta có: OI OM BIO CMO IOM cân O IMO MIO 45 Vì IM / / BN BKM IMO 45 BKM BCO 3) Qua A kẻ tia Ax vng góc AN cắt CD E Chứng minh ADE ABM g c.g AE AM Ta có: ANE vng A có AD NE K N AD.NE AN AE 2 AD.NE AN AE AD.NE AN AE 2 2 Áp dụng định lý Pytago vào ANE ta có: AN AE NE AN AE 1 1 2 2 AD AN AE AN AE AN AE AD AE AN AD 1 CD AD CD AM AN Mà AE AM Bài S AEN A D B E G I M d C K Gọi M trung điểm BC AB AI (1) Qua B vẽ đường thẳng song song với d cắt AM I, ta có: AD AG AC AK (2) K , AE AG d AM Qua C vẽ đường thẳng song song với cắt ta có: AB AC AI AK (3) AD AE AG Từ (1) (2) suy Mặt khác : AI AK AM MI AM MK 2 AM (Vì MI MK BMI CMK ) AB AC AM AM 3 AD AE AG AM Từ (3) (4) suy