28 Website: tailieumontoan.com PHỊNG GD&ĐT HUYỆN HỒNG HĨA ĐỀ THI OLYMPIC LỚP NĂM HỌC 2018 – 2019 Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 150 phút (không kể giao đề) Đề thi gồm có: 01 trang Bài 1: (4,0 điểm) x2+ x :¿ Cho biểu thức P= x −2 x+1 a Rút gọn biểu thức P b Tìm giá trị x để P= c Tìm giá trị x để P nhận giá trị nguyên 1 1 Cho số x,y, z khác thỏa mãn đồng thời + + ¿ − ¿ xy z x y z 2019 Tính giá trị biểu thức P= ( x +2 y + z ) Bài 2: (4,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: Q=3 x 3−7 x +17 x−5 Giải phương trình ( x +1 )( x +2 ) ( x 2+7 x +12 ) =24 Cho số dương a, b, c thỏa mãn ab+ bc+ ca=1 a−b b−c c −a + + =0 Chứng minh 1+ c 1+ a2 1+b2 Bài 3: (4,0 điểm) Cho m, n số tự nhiên thỏa mãn m2+ m=5 n2+ n Chứng minh rằng: ( m−n ) ; ( m+5 n+1 ) số phương Tìm nghiệm ngun phương trình x 2+ ( x+1 )2= y + ( y +1 )4 Bài 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A ( AB< AC) Kẻ đường phân giác AD (D thuộc BC) Kẻ AJ vng góc với BC (J thuộc BC) Từ D kẻ DH, DK vng góc vói AB, AC (H thuộc AB, K thuộc AC), BK cắt DH M, CH cắt DK N HM BH = Chứng minh A J 2=JB JC ; MD HA Chứng minh MN song song BC Gọi I giao điểm BK CH Chứng minh tam giác ABK đồng dạng tam giác KAN chứng minh điểm A, I, J thẳng hàng Gọi E giao điểm AM BD, F giao điểm BM AD Chứng minh rằng: AE BF DH + + ≥ ME MF MH Bài 5: (2,0 điểm) Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn 1 + + =2019.Tìm giá trị lớn biểu thức x y z 1 + + x+ y + z x +2 y + z x+ y+ z Cho a,b, c số thực dương Chứng minh rằng: ( a+b )2 ( b+c )2 ( c +a )2 a b c + + ≥ 9+2 + + ab bc ac b+c c+ a a+ b P= ( Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 ) TÀI LIỆU TỐN HỌC 28 Website: tailieumontoan.com = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 28 Website: tailieumontoan.com ĐÁP ÁN ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN LỚP Năm học: 2018-2019 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1: (4,0 điểm) x2+ x :¿ x 2−2 x+1 a Rút gọn biểu thức P Cho biểu thức P= b Tìm giá trị x để P= c Tìm giá trị x để P nhận giá trị nguyên 1 1 − ¿4 Cho số x,y, z khác thỏa mãn đồng thời + + ¿ xy z x y z Tính giá trị biểu thức P= ( x +2 y + z )2019 Lời giải a ¿ P= x +x :¿) x −2 x+1 ĐKXĐ: x ≠ ; x ≠ x ( x+ 1) ( x +1 ) ( x −1 ) x 2−x P= :[ + + ] x ( x−1 ) x ( x−1 ) x ( x−1 ) ( x−1 )2 ¿ x( x +1) x +1 x( x+1) x ( x−1) x2 : = = x +1 x −1 ( x−1 )2 x ( x −1) ( x−1 )2 1b) P= −1 x −1 = x−1 2 x2 =−( x−1 ) 2 x2 + x−1=0 ( x +1 )( x−1 )=0 [ x=−1(nhận) x= (nhận) 1c) P= x2 x2 −1+ 1 = =x+1+ x−1 x−1 x−1 Để P ∈ Z 1⋮ x−1 x−1∈ Ư ( )={ ± } x ∈ {2 ; } Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 28 Website: tailieumontoan.com ¿ 1¿ ¿ + + =2 ¿ x y z ( 1 2 + + =4= − x y z xy z ) 1 2 2 + + + + + − + =0 xy xz yz xy x y z z ( 2 1 + + )+( + + )=0 yz y z x xz z 1 1 + + + =0 x z y z ( )( ) 1 + =0 x= y=−z x z 1 + =0 y z { Thay x= y =−zvào 1 1 −1 1 + + =2 ta x= y = z= P= +2 − x y z 2 2 ( 2019 ) =1 Bài 2: (4,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: Q=3 x 3−7 x +17 x−5 Giải phương trình ( x +1 )( x +2 ) ( x 2+7 x +12 ) =24 Cho số dương a, b, c thỏa mãn ab+ bc+ ca=1 a−b b−c c −a + + =0 Chứng minh 1+ c 1+ a2 1+b2 Lời giải 1) Q=3 x 3−7 x +17 x−5 ¿ x 3−x 2−9 x 2+1+3 x 2−x +18 x−6 = x ( x−1 )− ( x 2−1 ) + x ( x−1 ) +6 ( x−1 ) =( x−1 ) ( x 2−3 x−1+ x+6 )=(3 x−1)( x2−2 x +5) 2) ( x +1 )( x +2 ) ( x 2+7 x +12 ) =24 ( x +1 )( x +2 ) ( x+3 )( x +4 )=24 Đặt ( x +1 )( x + )=t x 2+5 x +4=t t ( t +2 )=24 t +2 t+1=25 ( t+ ) =25 t=4 t=−6 x=0 Với t=4 x + x=0 x=−5 [ [ Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 28 Website: tailieumontoan.com 5 Vớit=−6 x + x +10=0 x + = ⌈ 2 ( ) √ √ −5 + −5 x= − x= ¿¿ 3) 1+a 2=ab+ bc+ca +a2= ( a+b )( a+ c ) Hồn tồn tương tự ta có 1+b2 =ab+bc +ca +b2 1+c 2=ab+bc +ca+ c2=(c +a)( c+ b) a−b a−b a+ c−b−c 1 = = = − 1+ c ( c +a )( c +b ) ( c+ a ) ( c+ b ) c+ b c+ a b−c b−c b+ a−a−c 1 = = = − 1+ a ( b+a )( c +a ) ( b+ a ) ( c +a ) c +a b+ a c−a c−a b+ c−b−a 1 = = = − 1+ b ( b+a )( c +b ) ( b+ a ) ( c +b ) a+b c+ b Vậy a−b b−c c −a + + =0 1+ c 1+ a2 1+b2 Bài 3: (4,0 điểm) Cho m, n số tự nhiên thỏa mãn m2+ m=5 n2+ n Chứng minh rằng: ( m−n ) ; ( m+5 n+1 ) số phương Tìm nghiệm ngun phương trình x 2+ ( x+1 )2= y + ( y +1 )4 Lời giải 1) Ta có m 2+ m=5 n2+ n m2−4 n2+ m−n=n2 ( m−n )( m+4 n+1 )=n2 (1) Gọi d=ƯCLN (m−n , m+4 n+1) ( m+ n+ )−4 (m−n)⋮ d n+1 ⋮ d (2) Từ ( ) n2 ⋮ d n⋮ d (3) Từ ( ) ( ) suy ⋮ d d=1 Vậy m−n m+ n+1là số nguyên tố thỏa mãn (1) Nên chúng số phương 2) 2 x + ( x+1 ) = y + ( y +1 ) Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 28 Website: tailieumontoan.com x 2+ x2 +2 x+ 1= y + [ ( y +1 ) 2 ] x2 +2 x+ 1=2 y +4 y 3+ y 2+ y +1 x 2+ x= y +2 y +3 y 2+2 y x 2+ x= y ( y +2 y +1 ) +2 y 2+ y 2 x + x+1= y ( y +1 ) +2 y ( y +1 ) +1 2 x 2+ x+1=[ y ( y +1 ) +1 ] =( y 2+ y +1 ) (1) Nếu x=0 từ ( ) 1=( y 2+ y +1 ) y + y +1=1hoặc y + y +1=−1 y + y=0 y + y +2=0 + =0 ( ) y ( y+ )=0hoặc y + −7 = (vô nghiệm) ( ) y=0 y=−1 y + y=0 y=−1 Phương trình có tập nghiệm nguyên (0; 0); (0;-1) Nếu x=−1 ( y + y +1 ) =1 y=0 y=−1(cmt ) Phương trình có nghiệm (-1;0); (-1; -1) Nếu x ←1 ( x +1 )2 < x 2+ x +1< x (1) khơng có nghiệm ngun x ←1 Bài 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A (AB