PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN HOẰNG HOÁ.. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao BD, CE cắt nhau tại H.[r]
(1)PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN HOẰNG HOÁ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI- NĂM HỌC 2011- 2012 MÔN THI: TOÁN - LỚP Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Bài 1: (3,0 điểm) x 2x : x x 1 x x 1 Cho biểu thức A = a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x để A > Bài 2: (4,0 điểm) a) Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x: 7 3x ( x + 7)(2 x – 3) – (4 x + 1) x y b) Tính giá trị biểu thức P = x y Biết x – y = x y ( x + y ≠ 0, y ≠ 0) Bài 3: (4,0 điểm) a) Giải phương trình: x6 – 7x3 – = b) Chứng minh rằng: Nếu 2n + và 3n + (n N) là các số chính phương thì n chia hết cho 40 Bài 4:(6,0điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao BD, CE cắt H a) Chứng minh ABD ACE b) Chứng minh BH.HD = CH.HE c) Nối D với E, cho biết BC = a, AB = AC = b Tính độ dài đoạn thẳng DE theo a, b Bài 5: (3.0điểm) a) Giải phương trình: (8x – 4x2 – 1).(x2 + 2x + 1) = 4(x2 + x + 1) ab b) Cho hai số a, b thoả mãn a + b ≠ Chứng minh rằng: a2 + b2 + a b ≥ ……………………………………HẾT………………………………… Họ và tên thí sinh:……………………………………… Giám thị 1:……………………… Số báo danh:……………………… Giám thị 2:……………………… (2) PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN HOẰNG HOÁ Bài HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2011- 2012 MÔN THI: TOÁN - LỚP Nội dung a) (2,0 điểm) KXĐ: x ≠ ± Bài (3,0điểm) Bài 1 x 2x x 2x : x2 x 1 A= 2 x 1 = x 1 2x 2x b) (1,0 điểm) A > – 2x > x < Đối chiếu ĐKXĐ, ta - ≠ x < 7 3x 4 a) (2,0 điểm) ( x + 7)(2 x – 3) – (4 x + 1) 77 = 12x2 – 18x + 14x - 21 – 12x2 + 7x – 3x + = 2 2 (4,0điểm) b) (2,0 điểm) x – 2y = xy x – xy – 2y = (x + y)(x – 2y) = Vì x + y ≠ nên x – 2y = x = 2y 2y y y Khi đó A = y y y a) (2,0 điểm) Ta có x6 – 7x3 – = (x3 + 1)(x3 – 8) = (x + 1)(x2 – x + 1)(x – 2)(x2 + 2x + 4) = (*) Do x2 – x + = (x – )2 + > và x2 + 2x + = (x + 1)2 + > với x, nên (*) (x + 1)(x – 2) = x {- 1; 2} b) (2,0 điểm) Do 2n + là số chính phương lẻ nên 2n + chia cho Bài dư 1, suy n là số chẵn Vì 3n + là số chính phương lẻ nên 3n + chia cho dư 1, suy (4,0điểm) 3n n (1) Do 2n + và 3n + là số chính phương lẻ nên có tận cùng 1; 5; đó chia cho thì có dư là 1; 0; Mà (2n + 1) + (3n + 1) = 5n + , đó 2n + và 3n + chia cho dư Suy 2n và 3n n (2) Từ (1) và (2) n BCNN(5; 8) hay n 40 Điểm 0,25đ 0,75đ 1,0đ 0,5 đ 0,5đ 2,0đ 0,75đ 0,75đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ (3) a) (2,0điểm) Chứng minh A 2,0đ D ABD ACE E H B C Bài b) (2,0điểm) Chứng minh BHE CHD (6,0điểm) Suy BH.HD = CH.HE c) (2,0điểm) Khi AB = AC = b thì ABC cân A Suy DE // BC 1,0đ 1,0đ 0,25đ DE AD BC AC 0,25đ AD.BC DE = AC Gọi giao điểm AH và BC là F AF BC, a FB = FC = a2 DC BC BC.FC DC AC = 2b DBC FAC FC AC AD.BC ( AC DC ).BC AC DE = AC = a (b ).a a (2b a ) 2b b 2b = = 0,25đ 0,5đ Bài (3,0điểm) a) (1,5điểm) Nhận thấy x = - không phải là nghiệm phương trình 0,5đ 0,25đ 8x 4x x x 1 x 2x 1 Với x ≠ - PT đã cho tương đương với x2 x 1 x x 3( x x 1) ( x x 1) 2 4( x x 1) Ta có x x 4( x x 1) ( x 1) = 4( x 1) Đẳng thức xảy và x – = x = 1(1) x x 4( x x 1) 3 ( x 1)2 4 4 Đẳng thức xảy Lại có: và x – = x = (2) Từ (1) và (2) suy phương trình có nghiệm x = b) (1,5điểm) 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ (4) ab Ta có a2 + b2 + a b ≥ (a2 + b2)(a + b)2 + (ab + 1)2 ≥ 2(a + b)2 (a + b)2 [(a + b)2 – 2ab] – 2(a + b)2 + (ab + 1)2 ≥ (a + b)4 – 2ab(a + b)2 – 2(a + b)2 + (ab + 1)2 ≥ (a + b)4 – 2(a + b)2(ab + 1) + (ab + 1)2 ≥ [(a + b)2 – ab - 1]2 ≥ suy đpcm 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ (5)