53 hsg8 2019 – hn mỹ đức

28 Website: tailieumontoan.com ĐỀ THI OLYMPIC Mơn: Tốn NĂM HỌC: 2018 – 2019 Thời gian làm bài: 120 phút PHÒNG GD&ĐT MỸ ĐỨC Bài 1: (5,0 điểm)  x2  x   2x2 A   1    2x  8  4x  2x  x   x x2   Cho biểu thức a) Tìm điều kiện xác định rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị nguyên x để A nhận giá trị nguyên A c) Tìm x để Bài 2: (4,0 điểm) a) Giải phương trình: x  x    x  x    0   x  x; y  thoả mãn  x  15 y  1  x  x  y 305 b) Tìm cặp số tự nhiên Bài 3: (4,0 điểm) a b 2019c B   ab  a  2019 bc  b  ac  2019c  2019 (các mẫu số khác 0) a) Cho Tính giá trị B biết abc 2019 2 2 b) Cho a, b, c, d số thực dương thoả mãn a  b  c  d 4 Tìm giá trị nhỏ biểu thức 1 1 S    a b c b c  d c  d  a d  a b Bài 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, AB  AC , đường cao AH Gọi M , N hình chiếu H cạnh AB AC a) Chứng minh AM AB  AN AC  AH b) Gọi K la giao điểm MN BC Chứng minh KB.KC KH c) Gọi O trung điểm BC , I giao điểm MN AH Chứng minh OI vng góc với AK AH 40 AB  d) Giả sử OA 41 Tính tỉ số AC Bài 5: (1,0 điểm) Cho hết cho 24  n 1  2n 1 (với n   ) số phương Chứng minh n chia = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 28 Website: tailieumontoan.com ĐÁP ÁN ĐỀ THI ĐỀ THI OLYMPIC PHÒNG GD&ĐT MỸ ĐỨC Năm học: 2020-2021 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1: (5,0 điểm)  x2  2x   2x2 A   1    2x  8  4x  2x  x   x x2   Cho biểu thức a) Tìm điều kiện xác định rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị nguyên x để A nhận giá trị nguyên A c) Tìm x để Lời giải  x 2  a) Đkxđ:  x 0  x2  2x   2x2 A   1     2x  8  4x  2x  x   x x   x2  2x  x2  x  2x2  A     x2  4  x2  4  x  2  x2   x A  x   x  2  x2  x  4  x  2  x    x 1 x2 x   x    x   x  1  A  2  x  4 x2 x A x A  x   x   x  1  x   x    x  1  x   x A Vậy x 1 2x A x 1 x x 0, x 2 x  12 x   x  1 2 x  x  22 x  22 x  1x b) Để A nguyên  x 1 (thoả mãn đkxđ) Với x 1 A 1  (thoả mãn) Với x  A 0   (thoả mãn) Vây để A nguyên x 1 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 28 Website: tailieumontoan.com A x 1 x 3   0 x 6x c) Để  x  x trái dấu x   x      3 x 0  x  x  x   x   Mà nên Vậy   x  Bài 2: (4,0 điểm) a) Giải phương trình: x  x    x  x    0 b) Tìm cặp số tự nhiên  x; y  thoả mãn  x  15 y  1  x  x  x  y  305 Lời giải a) Ta có x  x    x  x    0   x  x   x  x    0   x  x    x  x   0   x  x  1 0   x  1 0  x  Vậy x  b)  x  15 y  1  x  x  x  y  305 (*) x Vì 305 số lẻ nên x  15 y   x  x  y số lẻ Lại có x  2, x    15 y 2  y 2 Vì  x  x x  x  1 2   y 2 x x Nên để  x  x  y 2 2  x 0 (thoả mãn) Khi đó, phương trình (*) trở thành:  15 y  1  y 1 305 (1)  15y  15 y  1 Ư(305)  1; 305; 5; 61 Mà 15 y  1 15 y  chia 15 dư  15 y    1;61  15 y   0;60  y   0; 4 (thoả mãn) Với y 0 , thay vào (1) suy 1.1 305 (vơ lí) Với y 4 , thay vào (1) ta 61.5 305 (đúng)  y 4 thoả mãn  x; y   0;  Vậy Bài 3: (4,0 điểm) Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 28 Website: tailieumontoan.com a) Cho B a b 2019c   ab  a  2019 bc  b  ac  2019c  2019 (các mẫu số khác 0) Tính giá trị B biết abc 2019 2 2 b) Cho a, b, c, d số thực dương thoả mãn a  b  c  d 4 Tìm giá trị nhỏ biểu thức 1 1 S    a b c b c  d c  d  a d  a b Lời giải a) Với abc 2019 , ta có: a b 2019c B   ab  a  2019 bc  b  ac  2019c  2019 a b abc.c B   ab  a  abc bc  b  ac  abc.c  abc b bc B   b   bc bc  b  1  bc  b  b  bc B 1 bc  b   a  1 0 a  2a    b  1 0 b  2b    c  1 0 c  2c  d  2d  d  1 0  b) Ta có:  a  b  c  d  2  a  b  c  d  Mà a  b  c  d 4   a  b  c  d  8  a  b  c  d 4 Áp dụng BĐT Svacxo, ta được: 1 1 S    a b  c b c  d c  d a d  a b 16   3 a  b  c  d   a b c d 1 Dấu “=” xảy S a b c d 1 Vậy Min Bài 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, AB  AC , đường cao AH Gọi M , N hình chiếu H cạnh AB AC a) Chứng minh AM AB  AN AC  AH b) Gọi K la giao điểm MN BC Chứng minh KB.KC KH Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 28 Website: tailieumontoan.com c) Gọi O trung điểm BC , I giao điểm MN AH Chứng minh OI vng góc với AK AH 40 AB  d) Giả sử OA 41 Tính tỉ số AC Lời giải K B 1 H M O I F A 2 N C a) Xét AMH AHB có  BAH chung  HMA  AHB  90  Do AMH ∽ AHB (g.g) AM AH   AH AB  AM AB  AH (1) AH AN   AC AH  AN AC  AH Tương tư HNA ∽ CHA (g.g) (2) AM AB  AN AC  AH Từ (1) (2) suy     b) Vì MB //HN  M N1 mà N1 H1 (do I tâm hình chữ nhật MHNA nên IN IH )  H   M 1    Lại có: H1 C (cùng phụ với H )  C   M Xét KMB KCN có:  K chung  C  M Do KMB ∽ KCN (g.g) KM KB    KM KN KB.KC KC KN (3) Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 28 Website: tailieumontoan.com Xét KMH KHN có:  K chung  N   H (cùng phụ với H ) Do KMH ∽ KHN (g.g) KM KH   KB.KC KH KH KN (4) Từ (1) (2) suy KB.KC KH  c) Gọi F giao điểm KN AO        Vì C H1 (cùng phụ với H ), mà H1  N1 nên C  N1 (5) Vì AO đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC BAC vuông A nên AO OC    AOC cân O  C  A2 (6)   Từ (5) (6) suy N1  A2     Mà N1  N 90  A2  N 90  AFN 90  KF  AO Xét KAO có: KF  AO; AH  KO KF cắt AH I  I trực tâm KAO  OI  KA AH 40  AH 40a; OA 41a  a   d) Vì OA 41 nên đặt 2 OH OA2  AH  41a    40a  81a Theo định lý Py-ta-go ta có:  OH 9a Mà OA OB OC  OB OC 41a  BH 41a  9a 32a   CH 41a  9a 50a Áp dụng Py-ta-go vào tam giác AHB, AHC vuông H , ta được:  AB  AH  BH  40a    32a  2624a  2 2 2  AC  AH  CH  40a    50a  4100a  AB 8 41a    AC 10 41a AB 41a   AC 10 41a AB AH 40   Vậy AC OA 41  n 1  2n 1 (với n   ) số phương Chứng minh n chia Bài 5: (1,0 điểm) Cho hết cho 24  Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 28 Website: tailieumontoan.com Lời giải Vì 2n  số lẻ mà 2n  số phương (gt)  2n  chia dư  2n4  n 2  n  số lẻ mà n  số phương  n  chia dư n8 (1)  n  1  2n  1 3n  chia cho dư Mặt khác  n 1  2n  1 số phương nên chúng chia cho dư Mà Vì n  chia cho dư nên n3 (2) Vì  3,8 1 3.8 24 nên từ (1) (2) suy n24 Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC