28 Website: tailieumontoan.com PGD & ĐT HN HUYỆN SÓC SƠN ĐỀ THI THỬ HSG TOÁN NĂM HỌC: 2020 – 2021 Thời gian làm bài: 90 phút Bài 1: (5,0 điểm) Cho biểu thức x2 y2 C x +y -xy - y x y xy x ; x y x2 y3 D + x - y xy a) Tính C – D b) Tìm cặp số nguyên Bài 2: (4,0 điểm) x, y để C – D 10 a) Tìm tất cặp số nguyên dương x, y cho số P a 2020 2020 a b) Cho a a 0 Tính giá trị biểu thức Bài 3: (4,0 điểm) a) Giải phương trình 1 1 2014 2015 4023 4024 (1 ).503 x 1 2011 2012 2011 2012 x y z xy yz zx xyz b) Cho Bài 4: (6,0 điểm) a) Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A , BD đường trung tuyến Qua A vẽ đường thẳng vng góc với BD cắt BC E Chứng minh EB 2 EC b) Cho tam giác ABC vuông A Từ điểm M tam giác vẽ MI BC , MJ CA , MK AB ( I BC , J AC , K AB ) Xác định vị trí điểm M cho 2 tổng MI MJ MK đạt giá trị nhỏ x y xy A y x x y2 Bài 5: (1,0 điểm) Cho số x, y Tìm giá trị nhỏ biểu thức: = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 28 Website: tailieumontoan.com ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ VÀO 10 THPT MƠN TỐN TRƯỜNG THCS ABC Năm học: 2020-2021 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1: (5,0 điểm) Cho biểu thức C x2 y2 x +y -xy - y x y xy x ; x y x2 y3 D + x - y xy a) Tính C – D b) Tìm cặp số ngun x, y để C – D 10 Lời giải a) Ta có C x2 y2 x +y -xy - y x y xy x x2 y2 (x +y)(1 - y) ( x y )(1 x) x (1 x) y (1 y ) x x y y ) (x +y)(1 - y)(1 x) (x +y)(1 - y)(1 x) ( x y )( x y ) ( x y )( x xy y ) (x +y)(1 - y)(1 x) ( x y )( x y x xy y ) (x +y)(1 - y)(1 x) x y x xy y (1 - y)(1 x) x y2 x2 y3 x y (1 y ) x2 y2 D + x - y xy (1 + x)(1 - y ) (1 + x)(1 - y) C D Suy Vậy x y x xy y x2 y2 (1 - y)(1 x) (1 + x)(1 - y) x y x xy y x y (1 - y)(1 x)( x y xy ) x y xy (1 - y)(1 x) (1 - y)(1 x) C – D x – y xy Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 28 Website: tailieumontoan.com b) Với x , y 1 , x y xác định C – D xác định Mà C – D = 10 nghĩa x y xy 10 ( x xy ) ( y 1) 9 ( x 1)(1 y ) 9 Do x Z , y Z nên ta có x -1 - x - - - 10 - - - y +1 - 3 y -10 Các cặp số thỏa mãn ĐKXĐ nên : x, y 2,8 ; 0, 10 ; 4, ; 2, ; 10, ; 8; Bài 2: (4,0 điểm) a) Tìm tất cặp số nguyên dương x, y cho số P a 2020 b) Cho a a 0 Tính giá trị biểu thức Lời giải Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 a 2020 TÀI LIỆU TỐN HỌC 28 Website: tailieumontoan.com a) Tìm tất cặp số nguyên dương x, y cho số A 4 x y số nguyên tố Ta có A với x, y A 4 x y x y – x y x y – x y ( x y x y 2 x y xy 1 2 2 x y xy A 2 2 x y xy A 2 x y xy 1 Do A số nguyên tố nên Giải trường hợp ta x, y 1,1 a a 0 Tính giá trị biểu thức P a 2020 a 2020 b Cho Ta có 3 a a 0 a a 0 (a ) 0 4 ( a ) 0 với a Vì 3 (a )2 4 với a Do khơng tìm giá trị a thỏa mãn a a 0 Vậy biểu thức P khơng có giá trị Bài 3: (4,0 điểm) a) Giải phương trình 1 1 2014 2015 4023 4024 (1 ).503 x 1 2011 2012 2011 2012 x y z xy yz zx xyz b) Cho Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 28 Website: tailieumontoan.com Lời giải a) Giải phương trình 1 1 2014 2015 4023 4024 (1 ).503 x 1 2011 2012 2011 2012 Ta có 2014 2015 4023 4024 2011 2012 2014 2015 4023 4024 2013 2012 2011 2012 2013 2014 2015 4023 4024 1 1 1 1 1 2011 2012 2012 2012 2012 2012 2012 2011 2012 1 1 1 2012 2011 2012 1 1 Suy 1 1 1 1 1 (1 ).503 x 2012 2011 2012 2011 2012 1 503 x 2012 x 4 Vậy phương trình cho có tập nghiệm S = { 4} b) Cho (x + y + z) (xy +yz + zx) = xyz Chứng minh : x2019 + y2019 + y2019 = ( x + y + z)2019 Ta có Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 28 Website: tailieumontoan.com x y z xy yz zx xyz xy x y z xyz yz zx x y z 0 xy x y z z y x zx zy z 0 y x xy zx zy z 0 y x y z x z 0 x y y z z x x 2019 y2019 z 2019 -y 2019 + y2019 z 2019 z 2019 2019 2019 -y y z z 2019 x y z Với x = - y x 2019 y 2019 y 2019 x y z 2019 Chứng minh tương tự với trường hợp y = -z z = -x Ta suy điều phải chứng minh Vậy x 2019 y 2019 y 2019 x y z 2019 Bài 4: (6,0 điểm) a) Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A , BD đường trung tuyến Qua A vẽ đường thẳng vng góc với BD cắt BC E Chứng minh EB 2 EC b) Cho tam giác ABC vuông A Từ điểm M tam giác vẽ MI BC , MJ CA , MK AB ( I BC , J AC , K AB ) Xác định vị trí điểm M cho 2 tổng MI MJ MK đạt giá trị nhỏ Lời giải Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 28 Website: tailieumontoan.com a) Kẻ CF // AE (F AB) B Khi ta có B1 A1 (vì phụ với A2 ) Mặt khác A1 C1 (hai góc so le trong) C B 1 E ABD ᔕ ACF (g – g) AD AF AB AC A H C Mà AD = AC ; AB = AC (gt) AD AF AB AC AF AB F Mà AE // CF nên BE = 2EC BE AB EC AF b) Kẻ đường cao AH tam giác vuông ABC Qua M kẻ MH // BC cắt AH M’ B I M' Ta có MI = M’H Tứ giác AKMJ hình chữ nhật nên KJ = MA 2 Mặt khác MJ MK KJ (định lí Py-ta-go) H 2 M K A J Do MI MJ MK MI MA 2 Có M ' A MA MI MJ MK M ' H M ' A2 M ' H M ' A2 2M ' H M ' A 2( M ' H M ' A2 ) M ' H M ' A2 2M ' H M ' A 2( M ' H M ' A2 ) ( M ' H M ' A) AH M ' H M ' A2 AH 2 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC C 28 Website: tailieumontoan.com Dấu “=” xảy M’H = M’A B 2 Vậy MI MJ MK có giá trị nhỏ M trung điểm đường cao AH tam giác ABC H K A M C J x y xy A y x x y2 Bài 5: (1,0 điểm) Cho số x, y > Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Lời giải Cho số x, y > Tìm giá trị nhỏ biểu thức: x y xy A y x x y2 A Ta có: 2 2 x2 y2 xy x y xy 3( x y ) x2 y2 xy xy x y xy x2 y xy 0; 0 xy x y Do x >0, y > nên xy > Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có: x2 y2 xy 3( x y ) A 2 xy x y x2 y 4 = 2 + = Dấu “=” xảy x = y = Bất đẳng thức sử dụng a b 2ab ab Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 a b2 a b 2ab TÀI LIỆU TOÁN HỌC