Tứ giác

HÌNH VNG A Tóm tắt lý thuyết A B Định nghĩa: Hình vng tứ giác có bốn góc vng bốn cạnh O ABCD hình vuông  C  D   A B   AB BC CD DA D C Nhận xét: Từ định nghĩa hình vng ta suy - Hình vng hình chữ nhật có bốn cạnh - Hình vng hình thoi có góc vng  Hình vng vừa hình chữ nhật vừa hình thoi Tính chất: Hình vng có tất tính chất hình bình thoi hình chữ nhật - Tính chất cạnh: +) Có bốn cạnh +) Các cạnh đối song song - Tính chất góc: Bốn góc - Tính chất đường chéo: +) Hai đường chéo +) Hai đường chéo cắt trung điểm đường +) Hai đường chéo vng góc với +) Hai đường chéo đường phân giác góc đỉnh hình thoi Dấu hiệu nhận biết - Hình chữ nhật có hai cạnh kề hình vng - Hình chữ nhật có hai đường chéo góc với hình vng - Hình chữ nhật có đường chéo đường phân giác góc hình vng - Hình thoi có góc vng hình vng - Hình thoi có hai đường chéo hình vng Nhận xét: Một tứ giác vừa hình chữ nhật vừa hình thoi tứ giác hình vng Tính chất đối xứng hình vng - Hình vng có tâm đối xứng giao điểm hai đường chéo - Hình vng có bốn chục đối xứng: +) đường chéo hình vng +) đường thẳng nối trung điểm cạnh đối diện hình vng B Bài tập dạng tốn Cho hình vng ABCD Bài 1: Học sinh giỏi Hà Nội, năm học 2009 điểm E E A nằm hai điểm A B Trên tia đối B tia CB lấy điểm F cho CF  AE G  a Tính EDF b Gọi G điểm đối xứng với D qua trung I điểm I EF Tứ giác DEGF hình gì? Vì sao? C D c Chứng minh ba đường thẳng AC , DG, EF đồng quy điểm F Lời giải        a EDF EDC  CDF EDC  EDA 90 (CDF EDA) b Xét DEGF có: EI IF , DI IG  DEGF hình bình hành  lại có D 90  DEGF hình chữ nhật, mà ADE CDF  ED FD  DEGF hình vng (dấu hiệu nhận biết) c Ta có EF giao DG I , ta chứng minh I thuộc đường trực AC IB ID  EF  I Có: thuộc đường trung trực BD  I  AC ( AC đường trung trực BD ) Bài 2: Cho hình vuông ABCD Trên tia đối tia CB F H lấy điểm M , tia đối tia DC lấy điểm N cho BM DN Vẽ hình bình hành AFMN Chứng minh M a ABM ADN O b Tứ giác AMFN hình vng D C K c Kẻ FH  BM , FK  CN , chứng minh : ACF 900 d B, D, O thẳng hàng ( O trung điểm B A AF ) Lời giải   a ABM ADN (cgc)  AM  AN  DAN BAM b Hình bình hành AMFN , có AM  AN  AMFN hình thoi      Lại có MAN MAD  DAN MAD  MAB 90  AMFN hình vuông     c ACF  ACD  DCF 45  DCF  Ta chứng minh DCF 45  CHFK hình vng Có:  M  900  N  M  900 , N  N  900  M  N   MHF NKF (ch  gn)  FH FK M 2 2  CHFK 0   hình vng DCF 45  ACF 90 (đpcm) d Ta chứng minh điểm B, D, O nằm đường trung trực AC Ta có ABCD hình vng  B, D nằm đường trung trực AC O trung điểm AF  O trung điểm MN  OA OM OC OM  AC  OM OC  OA OC  O Lại có nằm đường trung trực AC  B, D, O thẳng hàng N Bài 3: Cho đoạn thẳng AB điểm M thuộc đoạn E thẳng Vẽ phía AB hình F I H vng AMCD BMEF D a Chứng minh AE  BC O' C b Gọi H giao điểm AE BC O Chứng minh ba điểm D, H , F thẳng hàng A c Chứng minh đường thẳng DF qua M K B điểm cố định M di chuyển đoạn thẳng cố định AB Lời giải a Có MD / / BE (hai góc đồng vị nhau) mà MD  AC  AC  BE Lại có EC  AB  C trực tâm tam giác ABE  AE  BC b Gọi O O ' tâm hai hình vng AMCD BMEF Tam giác vng AHC có OH đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AC 1  OH  AC  DM 2  900 )  DH  MH (1)  DMH ( H Chứng minh tương tự, ta HF  MH (2)  D, H , F thẳng hàng c Gọi I giao điểm AC DF Chứng minh OI đường trung bình tam giác DMF , hay I trung điểm DF Kẻ IK vng góc AB ( K thuộc AB )  K trung điểm AB , K cố định 1 IK  ( AD  BF )  AB 2 Mặt khác (không đổi)  I cố định Vậy DE qua I cố định Bài Cho hình vng ABCD , điểm E , F lần A  lượt cạnh BC , CD cho EAF 45 B 45 , tia đối tia DC lấy điểm M E cho DM BE CMR:  a) ABE ADM , MAF 45 b) Chu vu tam giác CEF nửa chu vi M tứ giác ABCD D C F Lời giải   a) ABE ADN (2 cạnh góc vng)  A1  A2 0    => MAE 90  MAF 90  45 45 b) AEF AMF  cgc   EF MF , EF MD  DF BE  DF Chu vi tam giác CEF CE  EF  FC CK  BE  DF  CF BC  CD  chu vi ABCD Bài 5: Cho tam giác ABC vuông A , kẻ đường A cao AH trung tuyến AM , đường phân giác góc A , cắt đường trung trực BC D , F Từ D kẻ DE vng góc với BA DF vng góc với B AC M H E  a) Chứng minh AD phân giác HAM b) điểm E , M , F thẳng hàng c) Tam giác BCD tam giác vuông cân Lời giải   a) Ta có: C1  A1 ( phụ góc B ) D C AM  BC  AM MC   A  A  , A  A  A2 C 1 Mà  AD tia phân giác   b) AH / / DM  D1  A4 ,     mà A4  A3  D1  A3  ADM cân  AM MD Chứng minh tứ giác AEDF hình vng  EA ED  FA  FD Ta có M , E , F nằm đường trung trực AD  M , E , F thẳng hàng   c) BED CFD  D2 D3    BDF   EDF  BDC BDF D D 900  BCD vuông cân Bài 6: Cho tam giác ABC vuông A , AB  AC A E , kẻ đường cao AH , nửa mặt phẳng có chưá A bờ BC vẽ hình vng AHDE a) CMR: D nằm HC F b) Gọi F giao DE AC , đường B thẳng qua F song song với AB cắt M H D đường thẳng qua B song song với AC G, chứng minh ABGF hình vng c) Chứng minh AG, BF , HE đồng qu G d) DEHG hình thang Lời giải   a) AC  AB  B  C     Mà B HAC  HAC  C  HC  AH  AH HD  HC  HD  D nằm H C C       b) Ta có: A1  A2 90 , A2  A3 90  A1  A3 kết hợp với AE  AH  AEF AHB  AB  AF Tứ giác ABGF hình bình hành có góc vng  hình chữ nhật có AB  AF  hình vng c) Gọi M giao điểm BF , AG DM  BF  M Khi BDF có nằm đường trung trực AD Ta lại có AE ED, HA HD  E , H nằm đường trung trực AD Hay H , M , E thẳng hàng Bài 7: Cho hình vng ABCD điểm E A E B nằm điểm A B , tia đối tia CB lấy điểm F cho AE CF G  a) Tính EDF I b) Gọi G điểm đối xứng với D qua trung điểm I EF , tứ giác DEGF hình gì? D C c) Chứng minh AC , DG, EF đồng quy Lời giải F        a) AED CFD  cgc   ADE CDF  EDF EDC  CDF EDC  ADE   EDF  ADC 900 b) Tứ giác DEGF có I trung điểm EF (gt) I trung điểm DG Do DEGF hình bình hành  lại có EDF 90 nên tứ giác DEGF hình chữ nhật, lại có tiếp DE DF nên hình vng Bài 8: Cho hình vng ABCD , M điểm cạnh BC , nửa mặt phẳng bờ AB C chứa đựng hình vng AMHN B A , Qua M E d dựng đường thẳng d song song với AB , d cắt AH E , cắt DC F a) Chứng minh BM ND b) Chứng minh N , C , D thẳng hàng N O D C F c) EMFN hình gì? d) Chứng minh DF  BM FM chu vi H tam giác MCF không đổi M thay đổi BC Lời giải   a) Tứ giác ABCD hình vng  A1  MAD 90   Vì AMHN hình vng  A2  MAD 90 (1) (2)   Từ (1) (2) ta có  A1  A2   Ta có AND AMB  cgc   B D1 90 , BM  ND 0     b) ABCD hình vng  D2 90  D1  D2  NDC 180 Nên N , C , D thẳng hàng c) Gọi O giao điểm hai đường chéo AH MN hình vng AMHN O tâm đối xứng hình vng AMHN  AH đường trung trực đoạn MN , mà E , F  AH  EM EN FM FN  3  O   EM  NF O M  4 Từ (3) (4)  EM EN NF FM  MENF hình thoi (5) d) Từ (5) suy FM FN FD  DN , mà DN MB  cmt   MF DF  BM Gọi chu vi MCF P cạnh hình vng ABCD a Ta có: P MC  CF  MF MC  CF  BM  DF ( MF DF  MB )  MC  MB    CF  FD  BC  CD a  a 2a Hình vng ABCD cho trước  a khơng đổi  P khơng đổi Cho hình vng ABCD , Bài 9: Gọi E điểm bất B A kỳ cạnh BCC ( E khác B C ), Qua A E G kẻ Ax vng góc với AE , Ax cắt CD F , trung tuyến AI AEF cắt CD K , đường thẳng kẻ qua E , song song với AB I cắt AI G F a) Chứng minh AE  AF tứ giác EGFK hình thoi D K C x b) Chứng minh AKF đồng dạng với CAF AF FK FC c) Khi E thay đổi BC , chứng minh chu vi EKC không đổi Lời giải a) Xét ABE vuông B ADF vng D có: AB  AD   BAE CAF  ABE ADF  AE  AF AE  AF AI đường trung tuyến AEF  AI  EF   Hai IEG vuông I IFK vng I có: IEG IFK ; IE IF Nên IEG IFK  EG FK Tứ giác EGFK có hai cạnh đối EG FK song song nên hình bình hành Hình bình hành EGFK có hai đường chéo GK EF vng góc nên hình thoi   b) Xét AKF CAF có AFK CFA , AF FK KAF  ACF 450  AKF CAF ( g g )  FC  AF  AF FK FC c) Theo câu a ta có ABE ADF  EB FD , tứ giác EGFK hình thoi nên EK KF Do chu vi EKC là: CEKC EK  KC  CE CF  CE CD  DF  CE 2CD (khơng đổi) Bài 10: Cho hình vng ABCD cạnh a , AB lấy M A AM  2a 2a BN  , BC lấy BN cho B K I a) Chứng minh AN  DM b) Gọi I J trung điểm N NM , ND K giao AN DM Tính IK , KJ , IJ D Lời giải   a) Ta chứng minh ABN DAM  D1  A1 0      Mà D1  M 90  A1  M 90  K 90 b) Ta có a 4a a a   KI  MN  9 ; MN  Tương tự ta có Tương tự DN  DM  a 10 a  KJ  10 a a 13  IJ  13 Bài 11: 10 J C Cho hình vng ABCD , Từ điểm M tùy ý E A B đường chéo BD , kẻ ME , MF vng góc với AB AD Chứng minh rằng: H a) CF DE; CF  DE F b) CM EF ; OM  EF c) CM , BF , DE đồng quy O M N 1 d) Xác định M để diện tích AEMF lớn D Lời giải a) BD đường chéo hình vng ABCD  BD phân giác góc D  ADB 450  DFM cân F  DF FM  AE CDF DAE  cgc   CF DE   C1 D1 0      Mà C1  F1 90  D1  F1 90  FOD 90 b) AM EF , BD đường trung trực AC  MA MC  MC EF Kéo dài FM cắt BC N  tứ giác BEMN hình vng  MEF   MN ME  EMF MNC  cgc   M 0     Mà M  M 90  MEF  M 90   EHM 900  đpcm c) EFC có CH  EF  CM trùng CH đường cao ứng với cạnh EF Lại có ED  CF O  ED đường cao ứng với cạnh CF Chứng minh tương tự câu a  CE  BF  BF đường cao ứng với cạnh CE  CM , BF , DE đồng quy Bài 12: 11 C Cho hình vng ABCD, M điểm cạnh BC A B Trong nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C dựng hình vng AMHN Qua M E dựng đường thẳng d song song với AB, d cắt AH E , cắt DC F M a) Chứng minh BM DN b C , D, N thẳng hàng N O c EMNF hình gì? D C F d DF  BM FM chu vi MFC không H đổi M thay đổi vị trí trê BC Lời giải   a AND AMB(cgc)  B D1 90 ; BM ND  b NDC 180  N , D, C thẳng hàng c Ta có MN đường trung trực AH  EN EM E , F  AH   ; EOM FON (ch  gn)  FN EM  FM FN Vậy cạnh nên hình thoi d FM FN ND  DF BM  FD +) PMFC MC  CF  FM MC  CF  BM  DF ( MC  MB )  (CF  DF ) 2 AB (khơng đổi) Bài 13: 12 Cho hình vng ABCD có độ dài cạnh a A Gọi M N theo thứ tự hai điểm B  cạnh BC CD cho MAN 45 Trên tia E M đối tia DC lấy điểm K cho DK BM F a Chứng minh ADK ABM H  b Chứng minh AN tia phân giác KAM c Tính chu vi CMN theo a K D N d BD cắt AM AN E F Chứng minh ba đoạn BE , EF , FD lập thành ba cạnh tam giác vuông Lời giải a ADK ABM (c  g  c )   b ADK ABM  A1  A5          +) KAM  A1  A2  A3  A4  A5  A2  A3  A4 90     KAN 900  NAM 450  KAN MAN 450  đpcm c PCMN MN  NC  CM CM  CN  KN (ANK AMN ) CM  CN  KD  DN 2a d Gọi H chân đường vng góc kẻ từ A đến MN   A  FAD FAH (cgc )  FH FD; AHF  ADF 450 AND AMH (ch  gn)  A  AEH AEB (cgc)  EH EB; AHE  ABE 450    Ta có EHF EHA  FHA 90  vng H Vậy BE , DF , FE lập thành ba cạnh tam giác vuông Bài 14: 13 C Cho hình vng ABCD Trên tia đối tia Q BA ta lấy điểm M , tia đối tia CB ta lấy điểm N , tia đối tia DC ta A B M lấy điểm P tia đối tia AD ta I lấy điểm Q cho AQ BM CN DP Chứng minh: P a) Các tam giác vuông AQM , BMN , CNP D C DPQ N b) Chứng minh tứ giác MNPQ hình vng c) Hai hình vng MNPQ ABCD có chung tâm đối xứng Lời giải a) Dễ thấy AM BN CP DQ , tam giác vng AQM , BMN , CNP, DPQ (c-g-c) b) AQM BMN CNP DPQ suy QM MN NP PQ  1   Mặt khác AQM BMN  AMQ BNM 0      Và BNM  BMN 90 , ta có AMQ  BMN 90 , hay QMN 90 (2) Từ (1), (2) suy MNPQ hình vng c) Xét tứ giác BNDQ có BN / / DQ BN DQ nên BNDQ hình bình hành Gọi I giao điểm BD NQ , I trung điểm BD NQ Do I tâm hai hình vng ABCD MNPQ Vậy hai hình vng ABCD MNPQ có chung tâm đối xứng I 14 Bài 15: Cho hình vng ABCD Gọi M , N , P, Q theo M A thứ tự trung điểm cạnh AB, BC B E CD, DA F Q a) Chứng minh AN DM AN  DM H b) Chứng minh đoạn thẳng DM , D AN , BP, CQ giao tạo thành hình N G P C vuông c) Gọi E giao điểm DM AN Chứng minh CD CE Lời giải a) Xét hai tam giác ABN DAM vng B A , có AB  AD BN  AM , ABN DAM   suy AN DM BAN  ADM 0      Mà BAN  DAN 90 , ADM  DAN 90 , hay AED 90 Vậy ta có AN DM AN  DM b) Giả sử đoạn thẳng DM , AN , BP, CQ giao tạo thành tứ giác EFGH MB / / DP MB DP  MBPD hình bình hành Suy BP / / DM  AN  BP Tương tự ta có CQ  DM    Như tứ giác EFGH có E F H 90 * Ta chứng minh EF EH Dễ thấy EM đường trung bình tam giác ABF , E trung điểm AF Tương tự H trung điểm DE Xét hai tam giác ABF DAE vng F E , có: 15   ADE  ABN DAM   ABF DAE  AF DE AB  AD; BAF Từ ta có EF EH  EFGH hình vng c) H trung điểm DE CH  DE , ta suy CDE cân C , CE CD Cho hình vng ABCD Bài 16: Từ điểm M thuộc A đường chéo BD kẻ ME  AB MF  AD K E B I Chứng minh rằng: F a) CF DE CF  DE M J b) Ba đường thẳng CM , BF EF đồng qui D C Lời giải    a) Tứ giác MEAF có A E F 90 nên MEAF hình chữ nhật Mặt khác, dễ thấy MEB vng cân E , AF EM EB  DF  AE   Từ ta có DAE CDF  cgc   CF DE FCD EDA 0     Vì FCD  CFD 90 nên EDA  CFD 90 hay CF  DE b) Chứng minh tương tự trên, ta có: ABF CBE  BF  CDE * Ta chứng minh CM  EF Giả sử FM cắt BC J ; CM cắt EF , AB  I , K Ta có MJC 90 Dễ thấy BEMJ hình vng nên MJ FA; CJ EA   Suy CJM EAF  cgc   JCM  AEF 0      Vì JCM  EKI 90 nên AEF  EKI 90 , hay KIE 90 Xét tam giác EFC có ED  FC , FB  CE , CM  EF  ED, FB, CM ba đường cao tam 16 giác EFC Vậy ED, FB, CM đồng qui Cho hình vng ABCD Từ điểm M Bài 17: tùy ý A B cạnh BC , vẽ đường thẳng cắt cạnh CD K M cho AMB  AMK , AH  MK H H Chứng minh a) AMH AMB  b) KAM 45 D K C Lời giải    BAM  BMA 900       HAM  HMA 90  BAM HAM   BAM HMA   a) Ta có:     Hai tam giác HAM AMB có: HMa BAM ; AM : chung ; HAM BMA Do AMH AMB  gcg  b) Xét hai tam giác ADK AHK vuông D H , có cạnh huyền AK chung, đồng thời AH  AÐ (vì AB )   Vậy ADK AHK  DAK HAK  1     KAM HAK  HAM  HAD  HAB  BAD 450 2   Bài 18: 17 a) Cho hình vng ABCD có cạnh A M B Gọi M N hai điểm cạnh AB, AD cho chu vi AMN N  Chứng minh MCN 45 b) Cho hình vng ABCD có cạnh Gọi M , N hai điểm cạnh D C  AB, AD cho MCN 450 Chứng minh I AMN có chu vi c) Cho hình vng ABCD Gọi N trung điểm AD M thuộc cạnh AB cho AM  AB Chứng minh MC phân giác  góc BMN Lời giải a) Theo giả thiết  AM  AN  MN  AB  BM    AD  DN   MN 2   BM  DN   MN Suy MN BM  DN Trên tia đối tia DN lấy điểm I thỏa mãn DI BM   Hai tam giác vng CBM CDI có: CB CD ; CBM CDI 90 ; BM DI        Suy CM CI BCM DCI MCI MCD  DCI MCD  BCM 90 Theo ta có MN BM  DN ID  DN IN Xét hai tam giác CMN CIN có: CM CI ; MN  NI ; CN : chung   Suy CMN = CIN  MCN ICN 0     Mà MCN  ICN MCI 90 Vậy MCN 45  b) Giả sử MCN 45 Chứng minh chu vi tam giác AMN 0    Đường thẳng qua C , vng góc với CM cắt AD I Vì MCN 45 nên ICN MCN 45 18    BCM DIC (cùng phụ với MCD ); BC DC Do hai tam giác vuông BCM DCI Suy CM CI Từ ta chứng minh MCN ICN  cgc   MN NI Từ đây, tương tự ta chứng minh tam giác AMN có chu vi c) Đường thẳng qua C , vng góc với CN , cắt AM K    BCK DCN (vì phụ với góc NCB ) Do dễ dàng chứng minh hai tam giác vuông BCK DCN (g-c-g) Suy CK CN BK DN 1 MK MB  BK MB  DN  AB  AB  AB AB AB AB MN  AM  AN    Theo định lí Pitago: 2 Ta MK MN   Từ suy CKM CNM    Vậy CMK CMN , hay MC phân giác góc BMN Bài 19: Cho hình vuông ABCD , lấy điểm M E A B BD Vẽ ME  AB E MF  AD F Chứng minh rằng: K a) CF DE; CF  DE F b) CM EF ; CM  EF J I M c) BF CE; BF  CE D d) CM , BF , DE đồng quy Lời giải a) Chứng minh CF DE; CF  DE    Ta có AEMF hình chữ nhật (vì A E F 90 )  AE MF   Mặt khác FMD  ABD 45 (so le trong), suy MF DF 19 C Từ ta suy hai tam giác AED DFC ( cgc )   Do CF DE ADE DCF    IFD DCF   ADE 900  FID   IFD 900    Gọi I giao điểm CF DE , ta có:  ADE DCF Vậy CF  DE b) Chứng minh CM EF ; CM  EF  MF FD         MFC FDE MFC  IFD FDE  IFD 90  MFC FDE  CM EF   FC DE  Lại có     FCK DEK     FCK  DEK 900  ADE EKJ 900     EFC 90  DEK Vậy CM EF ; CM  EF c) BF CE; BF  CE      Ta dễ dàng chứng minh ABF BCE  BF CE; ABF  BEC  ADE ECF  BEC 90 d) Theo kết ba câu CM , FB, ED ba đường cao tam giác CEF Theo tính chất ba đường cao tam giác đồng quy, ta suy CM , BF , DE đồng quy Bài 20: Cho hình vng ABCD , lấy điểm E A B E , F , K cạnh AB, AD, DC cho AE  AF DK H a) Chứng minh AK  BF giao điểm H O  b) Chứng minh EHC 90 F c) Cho AB 3, AE 2 Gọi I trung điểm I FK , O trung điểm EC Chứng minh chu D 20 K C