Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 12 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TỐN HỌC Bài tốn: Cần chứng minh khẳng định A n với n N , n a (*) Cách 1: - Bước 1: Chứng minh (*) với n a - Bước 2: Giả sử (*) với (đến) n k , tức A k (giả thiết quy nạp) - Bước 3: Ta chứng minh (*) với n k , tức chứng minh A k 1 - Bước 4: Theo nguyên lý quy nạp (*) chứng minh Cách 2: - Bước 1: Kiểm tra với n a - Bước 2: Giả sử (*) với (đến) n tức A n - Bước 3: Ta chứng minh (*) với n tức A n 1 - Bước 4: Kết luận Bài 1: Chứng minh rằng: n a nn N b n Lời giải a Với n 0 k - Giả sử với n k , tức k k 1 - Đi chứng minh với n k , tức k (**) Thật VT (**) 2 b +) +) k 1 2k 2k 2k k đpcm n k :1 k k (k 1) n k 1:1 k k VT (**) : S K k (k 1)( k 2) (**) k ( k 1) ( k 1)(k 2) (k 1) 2 đpcm Bài 2: Chứng minh n Z n(n 1) n n n a 6 n b 16 10n 125 Lời giải a n 1 06 k k k - Giả sử với n k , tức 6 - Ta chứng minh với n k Thật k 2k 1 3k 1 5k 1 2.2k 3.3k 5.5k 2(2k 3k 5k ) 3k 3.5 6 3,2( so.le ) 6 b n 1 2525 k - Giả sử với n k , tức 16 10k 125 - Ta chứng minh với n k Thật 16 k 1 10( k 1) 16(16 k 10 k 1) 16.10k 16 10( k 1) 16(16k 10k 1) 150 k 25 25 25 đpcm Bài 3: 3 3 * Chứng minh n (1 n) n N Lời giải +) n 1 1 3 +) n 2 (1 2) 9 k (k 1) k (1 k ) Giả sử (*) với n k , tức 3 3 2 Ta chứng minh (*) với n k , tức (k 1)(k 2) k ( k 1) (**) 3 3 Thật : 2 k (k 1) 4(k 1)3 k k (k 1) ( k 1)( k 2) VT (**) (k 1) (k 4k 4) 4 Vậy (*) chứng minh Bài 4: n 3 Chứng minh 24n 3764, n N Lời giải +) n 0 24.0 27 37 37 6464 n 3 +) Giải sử (*) với n , tức A 3 24n 3764 n 5 +) Ta chứng minh (*) với n , tức B 3 24(n 1) 3764 Thật vậy: n 1 B 32 n 3.9 24n 24 37 A 8.32 n 3 24 24(32 n 2 1) A 24(9 1) B 64 8 8 Theo nguyên lý quy nạp (*) chứng minh Bài 5: n n 1 n 2 Chứng minh 13 ;/ n N (*) Lời giải +) n 0 , ta có 33;/ n n 1 Giả sử (*) với n , tức 3 q(q N , q / 3) n 1 n 2 n 3 Ta chứng minh (*) với n , tức 13 ;/ n 1 n n n n 23 (23 ) 1 (23 1) (23 ) 23 1 3n1.q (3n1.q 1) (3n1.q 1) 1 Thật vậy: 3n1.q 32 n2.q 3.3n1.q 3 3n2.q(32 n 1.q 3n1.q 1)3n2 ,/ 3n3 Vậy (*) chứng minh Bài 6: n n 1 Chứng minh n 1, n N :1.2 2.2 3.2 n.2 2 ( n 1).2 Lời giải 11 +) Với n 1 , ta 1.2 2 (1 1).2 n k k 1 +) Xét n k k 1 , tức 1.2 2.2 3.2 k 2 ( k 1).2 Ta chứng minh đẳng thức với n k , tức là: k k 1 k 2 k 1 k 1 1.2 2.2 k.2 ( k 1).2 2 k.2 2 ( k k 1) 2 k.2 ( k 1).2 k 1 ( k 1).2 k 1 (đpcm) Bài 7: Chứng minh 22 n n(n 1)(n 2) (*), n N * Lời giải 1.(1 1)(2.1 1) 1 (*) - Với n 1 , ta có Giả sử (*) với n k , tức 12 22 k k (k 1)(2k 1) Ta cần chứng minh (*) với n k , tức là: 12 22 k ( k 1) (k 1)(k 2)(2k 3) (**) Theo giả thiết quy nạp, ta có: VT (**) k (k 1)(2k 1) (k 1)(2k k 6) (k 1)( k 2)(2k 3) (k 1) 6 * Theo nguyên lý quy nạp ta có (*) với n N Bài 8: Chứng minh n 1 n n(n 1) 2 4 1 1 n n 2( n n 1) Lời giải 1(1 1) n 1 S (1) 2 1 1 2(1 1) (đúng) +) Giả sử với n k ( k 1 ), tức Sk k (k 1) 2(k k 1) Sk Ta chứng minh với n k , tức k 1 (k 1)(k 2) Sk 1 (k 1) ( k 1) (k 1) ( k 1) 1 Sk Có: k 1 k (k 1) k 1 k (k 1) 2 4 (k 1) ( k 1) 2(k k 1) ( k 1) (k 1) 2( k k 1) k 1 k 1 k 2 k k (k 1)(k 1) (k 1) (k 1) 1 ( k 1) ( k 1) 2 k k 1 k k (k 3k 3) (k 1)(k 2)(k k 1) (k 1)(k 2) 2 2 k k 2(1 (k 1) ( k 1) ) 2(k k 1) (k 1) ( k 1) 1 ( k 1) ( k 1) Bài 9: Chứng minh n N * : n4 n(3n 7) (*) 1.2.3 2.3.4 n( n 1)( n 2) 2( n 1)( n 2) Lời giải 1(3.1 7) n 1 VT (*) VP (*) 1.(1 1)(1 2) 2(1 1)(1 2) +) Với +) Với n k S k k (3k 7) 2(k 1)(k 2) +) Chứng minh với n k S k 1 S k k 5 k (3k 7) k 5 (3k k )( k 3) 2( k 5) (k 1)(k 2)(k 3) 2( k 1)(k 2) ( k 1)(k 2)(k 3) 2( k 1)(k 2)(k 3) (k 1) 3(k 1) ( k 1) 3( k 1) 2(k 1)(k 2)(k 3) 2(k 2)( k 3) (đpcm) Cần phân tích: (3k 7k )(k 3) 2(k 5) (k 1) 3(k 1) Bài 10: Chứng minh rằng: n N :1.3.5 (2n 1) (2n 1)! ( n! 1.2 n;0! 1) n.n ! Lời giải +) n 0 (2.0 1)! 20.0! (đúng) +) +) n 1 3! 1.2.3 3 21.1! (đúng) n k (k 1) 1.3.5 (2k 1) (2k 1)! 2k k ! Cần chứng minh với n k , tức 1.3.5 (2k 1)(2k 3) (2k 1)! (2k 2) k.k ! (2k 1)!.(2k 2).(2 k 3) (2k 3)! S k 1 k k !.2( k 1) ( k 1)!.2 k 1 đpcm Bài 11: 1 n N , n 2 2n 12 Chứng minh n n Lời giải 1 (*) n 12 +) Với , ta có 1 2k 12 +) Giả sử (*) với n k , tức k k 1 1 (**) 2k 2k 2k 12 Ta chứng minh (*) với n k , tức k k 1 VT (**) 12 k 2k 2k Thật theo giả thiết quy nạp ta có 1 1 7 12 2k 2( k 1) k 12 2k 2k 12 (2k 1)(2k 2) 12 Theo nguyên lý quy nạp (*) chứng minh 1 - Hoặc 12 k 2k 2k 1 1 1 Có 2k 2k 2 k 2k 2k k 12 k k 12 Bài 12: n an bn a b * a, b, c 0.CMR : (*)n N Cho Lời giải a1 b1 a b (*) +) n 1 , ta có: a b ( a b) ( a b) 0 (*) 2 +) n 2 , ta có an bn a b n Giả sử (*) với , tức n a n1 b n 1 a b Ta chứng minh (*) với n , tức n 1 n a b a b (**) n a n 1 b n 1 a n b n a b an bn a b (do : ) 2 2 Ta chứng minh 2(a n 1 b n1 ) (a n b n )(a b) 0 2a n 1 2b n 1 a n 1 a nb ab n b n 1 0 a n1 b n1 a nb ab n 0 (a b )(a n b n ) 0 (a b) n (a n a n 2b ab n b n ) 0 Theo nguyên lý quy nạp (*) Bài 13: n 1 n Chứng minh n (n 1) n 3 Lời giải +) n 3 (đúng) k 1 k +) Giả sử với n k , tức k (k 1) (k 3) k 2 k 1 +) Cần chứng minh với n k , tức (k 1) (k 2) Ta có (k 1) (k 1) k 1 (k 2)k (k 1) ( k 2) ( k 2) k k (k 2) k 1 (k 1) 2( k 1) (k 1)2( k 1) (k 1) k 2 k 1 k k ( k 1) đpcm k 1 BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 11: Chứng minh rằng: * a 1.2 2.5 3.8 n(3n 1) n ( n 1)( n N )(*) 27 3n (3n 1 3)(*)( n N * ) b c d 12 32 52 (2 n 1) (3n 2) n(4n 1) (*)( n N * ) n(3n 1) (*)( n N * ) Lời giải a) n 1 +) n k , tức 1.2 2.5 3.8 k (3k 1) k ( k 1) +) Đi chứng minh n k , tức 1.2 2.5 3.8 k (3k 1) ( k 1) 3( k 1) 1 ( k 1) ( k 2) (**) VT ** k (k 1) (k 1)(3k 2) ( k 1)( k 3k 2) ( k 1) ( k 2) VP (đpcm) b) n 1 n k 27 3k (3k 1 3) +) +) Chứng minh với n k , 1 VT (3k 1 3) 3k 1 (3k 1 2.3k 1 ) (3k 2 3) VP 2 c) n 1 +) n k 12 32 52 (2k 1) k (4k 1) k (4k 1) 4k k 12k 12k 4k 12k 11k n k VT (2k 1) 3 +) 2 (k 1)(4k 8k 3) (k 1) 4(k 2k 1) 1 (k 1) 4( k 1) 1 (dpcm) 3 d) n 1 +) n k (3k 2) k (3k 1) k (3k 1) k (3k 1) 2(3k 1) 3k k 6k n k VT (3k 1) 2 +) 3k 5k (k 1)(3k 2) 2 Bài 2: Chứng minh rằng: * a 1.4 2.7 n(3n 1) n( n 1) ( n N ) b c 1.2 2.3 n(n 1) n(n 1)(n 2) ( n 2) 22 42 62 (2 n) 2n(n 1)(2n 1) (n N * ) Lời giải a) n 1 +) n k 1.4 2.7 k (3k 1) k ( k 1) +) n k VT k (k 1) (k 1)(3k 4) (k 1) k (k 1) (3k 4) (k 1)( k k 3k 4) (k 1)(k 2) b) n 2 +) +) n k 1.2 2.3 k (k 1) n k VT k (k 1)(k 2) ( k 2) k (k 1)( k 2) k ( k 1)( k 2) 3(k 1)( k 2) (k 1)( k 2) 3 (k 1)(k 2)(k 3) c) n 1 +) +) n k 22 42 62 (2k ) n k VT 2k (k 1)(2k 1) 2k (k 1)(2k 1) 2k ( k 1)(2 k 1) 12( k 1) 4(k 1) 3 2( k 1)(k 2)(2k 3) Bài 3: * Chứng minh n N , ta có a n 2n chia hết cho 3 3 b n (n 1) (n 2) 9 * c n 11n6, n N d 2n 3n n6 n e 15n 19 n 1 n 2 f 7 g n 3n 5n3 Lời giải a) n 1 +) n k k 2k 3 +) n k VT (k 1)3 2(k 1) k 3k 3k 2k ( k 2k ) (3k 3k 3) 3 3 b) n 1 3 * +) n k k (k 1) (k 2) 9(k N ) 3 3 3 +) n k VT (k 1) (k 2) (k 3) 9 ( k 1) ( k 2) k 9k 27 k 27 k (k 1)3 (k 2)3 9(k 3k 3) 9 9 c) n 1 * +) n k k 11k 6, k N 3 +) n k VT (k 1) 11(k 1) k 3k 3k 11k 11 (k 11k ) 3(k k 4) (k 11k ) 3 k (k 1) 6 đpcm d) n 1 +) n k 2k 3k k 6 3 2 +) n k VT 2(k 1) 3(k 1) (k 1) 2( k 3k 3k 1) 3(k 2k 1) (k 1) 2k 3k k (2k 3k k ) 6k 6 đpcm e) n 1 k * +) n k 15k 19(k N ) k 1 k k k +) n k VT 4 15(k 1) 4.4 15k 14 (4 15k 1) 3(4 5) 3(4k 5)9 k 53 ng minh Ta Ta có (4 k 15k 1)9 k 15k 13 (4 k 5) (15k 6) 3 (4 k 5)3 3 đpcm f) n 1 k 1 k 2 * +) n k 7k N +) k 1 n k VT 32( k 1)1 2( k 1)1 32 k 3 2k 3 9.32 k 1 2.2k 2 2(32 k 1 2k 2 ) 7.3 7 7 g) n 1 +) n k k 3k 5k 3 3 +) n k VT (k 1) 3(k 1) 5(k 1) k 6k 14k Ta có (k 6k 14k 9) ( k 3k 5k ) 3 k 2 9k k 6k 14k 93 3 3 Bài 4: Chứng minh bất đẳng thức sau n 2 * a 2n 5(n N ) n * b 2n 1(n N , n 3) n * c n 4n 5( n N , n 3) n d 3n 1(n 8) n e n(n 2)( n 4) Lời giải n2 n 2 a) 2n Sn 2 2n +) n 1 k 2 +) n k Sk 2 2k k 3 +) n k Sk 1 2 2(k 1) k 2 * Xét Sk 1 Sk 2 0(k N ) S k 1 S k đpcm n n * b 2n Sn 2 2n 0(n N , n 3) (đpcm) +) n 3 k +) n k S k 2 2k k 1 +) n k Sk 1 2 2(k 1) k * Xét Sk 1 Sk 2 0(do : k N , k 3) S k 1 Sk (đpcm) n n c) n 4n S n 3 n 4n +) n 3 k +) n k Sk 3 k 4k k 1 Ta cần chứng minh Sk 1 3 (k 1) 4(k 1) k k 2 Xét Sk 1 Sk 2.3 2k 2(3 k 4k 5) 2k 6k Sk 1 S k (đpcm) n n * d 3n Sn 2 3n 0, n N , n 8 +) n 8 )n k Sk 2k 3k k k +) Sk 1 2 3(k 1) 2 3k k Xét Sk 1 Sk 2 0(do : k 8) S k 1 S k n n e n(n 2) Sn 3 n 2n +) n 4 +) n k S k k +) n k Sk 1 3 ( k 1) 2( k 1) k1 k1 2 Xét Sk 1 Sk 2.3 2k 2(3 k 2k ) 2k 2k 2 S k 2k 2k 0( k 4) S k 1 Sk