Hh9 chuyên đề 7 những định lý hình học nổi tiếng(41 trang)

CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN CHUYÊN ĐỀ 7.NHỮNG ĐỊNH LÝ HÌNH HỌC NỔI TIẾNG I ĐỊNH LÝ THALES Định lý Thales thuận: Nếu có đường thẳng song song với cạnh tam giác cắt hai cạnh cịn lại định hai cạnh đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ Định lý Thales đảo: Nếu đường thẳng cắt cạnh tam giác định cạnh đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ đường thẳng song sng song với cạnh cịn lại tam giác (Chú ý đường thẳng song song với cạnh cắt hai cạnh lại phần kéo dài định lý đúng) Hệ quả: Nếu đường thẳng cắt cạnh tam giác song song với cạnh thứ tạo thành tam giác có cạnh tương ứng tỷ lệ với ba cạnh tam giác cho  AM AN  MB NC  AM AN MN   AB AC BC Chú ý: Định lý Thales cho hình thang: AB / / EF / / CD AE BF AE BF với  ,  AD BC ED FC E  AD , F  BC Một số kết quả, định lý quan trọng: a, Cho tam giác ABC có O trung điểm BC Một đường thẳng cắt cạnh AB, AO, AC M , N , P ta có: AB AC AO   AM AP AN Chứng minh: Dựng đường thẳng qua B, C song song với MP cắt AO H , K Áp dụng định lý Thales ta có: AB AH AC AK cộng hai đẳng thức ta có:  ,  AM AN AP AN AB AC AH  AK AH AO  OH AK AO  OK Để ý rằng: Mặt khác BOH COK    ,  AM AN AN AN AN AN AN (g.c.g) suy OH OK nên AB AC AH  AK AO  OK  AO  OK AO đpcm     AM AN AN AN AN | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN CHUYÊN ĐỀ 7.NHỮNG ĐỊNH LÝ HÌNH HỌC NỔI TIẾNG b, Định lý: Van-Aubel: Điểm M nằm tam giác ABC , đường thẳng AM , BM , CM cắt cạnh đối diện D, E , F AM AF AE   MD FB EC Giải: Dựng đường thẳng qua A song song với BC cắt BE , CF H , K Áp dụng định lý Thales ta có: AF AK AE AH AF AE KH MK MA cộng hai đẳng thức ta có: đpcm  ,      FB BC EC BC FB EC BC MC MD CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN II ĐỊNH LÝ MENELAUS Định lý thuận Cho tam giác ABC điểm M , N , P nằm đường thẳng chứa cạnh AB, BC , CA Khi M , N , P thẳng hàng khi: MA NB PC 1 MB NC PA Chứng minh Dựng đường thẳng qua A song song với BC cắt đường thẳng chứa M , N , P Q Áp dụng định lý Thales ta có: MA QA PC NC  ,  MB BN PA QA Suy MA NB PC QA NB NC  1 MB NC PA NB NC QA đpcm Định lý Menelaus đảo MA NB PC Nếu điểm M , N , P nằm đường thẳng chứa cạnh AB, BC , CA 1 MB NC PA M , N , P thẳng hàng Chứng minh: Giả sử đường thẳng NP cắt AB M  Theo định lý Thales thuận ta có: Kết hợp với M A NB PC 1 M B NC PA MA NB PC M A MA suy M M  hay M , N , P thẳng hàng 1 ta suy  MB NC PA M B MB Định lý Ceva: a, Định lý Ceva thuận: Ba đường thẳng qua đỉnh tam giác ABC đồng quy song song với cắt AM NB PC cạnh AB, BC , CA (hay đường kéo dài) M , N , P ta ln có: 1 MB NC PA b, Định lý Ceva đảo: Nếu M , N , P nằm cạnh AB, BC , CA (hay đường kéo dài) thỏa mãn: AM NB PC 1 đường thẳng AN , BP, CM đồng quy song song với MB NC PA | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN CHUYÊN ĐỀ 7.NHỮNG ĐỊNH LÝ HÌNH HỌC NỔI TIẾNG Chứng minh: Định lý Ceva: Giả sử đường thẳng qua A song song với BC cắt CM , BP Q, R Theo định lý Thales ta có: MA QA PC CB MA NB PC QA NB CB QA NB Suy mặt khác ta có:  ,    MB BC PA AR MB NC PA BC NC AR NC AR QA IA AR MA NB PC AR NB nên    1 đpcm NC IN BN MB NC PA BN AR Trường hợp: AN / / BP / / CN Ta có: MA CN PC BC MA NB PC CN NB BC nên:  ,   1 đpcm MB BC PA BN MB NC PA BC NC BN Chứng minh: Định lý Ceva đảo: M A NB PC Giả sử BP cắt AN I , CI cắt AB M  Theo định lý Ceva thuận: 1 kết hợp M B NC PA với giả thiết: MA NB PC MA M A suy M M  1 ta suy  MB NC PA MB M B Trường hợp: AN / / BP ta dễ dàng có kết AN / / BP / / CN Bổ đề hình thang Cho hình thang ABCD có hai đáy AB, CD trung điểm cạnh đáy, giao điểm đường chéo giao điểm cạnh bên nằm đường thẳng Chứng minh: Giả sử đường thẳng AD, BC cắt CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN M , AC , BD cắt P, đường thẳng MP cắt AB, CD N , Q Ta chứng minh: N , Q trung điểm AB, CD Thật vậy: Do AB / / CD theo định lý Thales ta có: AN NB AN BN   (1), (2) Lấy (1) nhân QD QC QC QD với (2) ta có: AN NB   AN NB QC.QD QC.QD thay vào (1) ta có QD QC Hay N , Q trung điểm AB, CD Tính chất phân giác: Cho tam giác ABC có đường phân giác góc A AD phân giác ngồi góc A AE Khi ta có: AB DB EB   AC DC EC MỘT SỐ BÀI TỐN VẬN DỤNG Ví dụ 1 Cho tam giác ABC có M trung điểm BC , điểm N nằm cạnh AB cho AN  AB , điểm Q nằm cạnh AC cho AQ  AC , đường thẳng QN cắt đường thẳng AM BC điểm P , R a, Tính RB PA , RC PM AB AC b, Một đường thẳng thay đổi cắt cạnh AB, AC E , F cho  4 Chứng minh AE AF đường thẳng qua điểm cố định c, Đường thẳng qua N song song với BC cắt AC T Chứng minh: CN , BT cắt trung điểm đoạn thẳng AM Giải: | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN CHUYÊN ĐỀ 7.NHỮNG ĐỊNH LÝ HÌNH HỌC NỔI TIẾNG a, Để tính tỷ số ta dựng đường thẳng qua C song song với AB cắt đường thẳng NQ H Áp dụng định lý Thales ta có: RC HC HC HC QC 1       RB NB NA NA QA 2 Cách khác: Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ABC cát tuyến NQR ta có: NA RB QC RB RC 1  1   NB RC QA RC RB b, Giả sử đường thẳng EF cắt đoạn AM I Áp dụng kết 4a) ta có: suy AB AC AM   Từ AE AF AI AM 4  AM 2 AI , hay I trung điểm AM Vậy đường thẳng EF qua AI điểm cố định trung điểm I AM c, Theo định lý Thales ta có: AN AT   Giả sử CN , BT cắt điểm I  AI  cắt BC AB AC M  Theo định lý Van-Aubel ta có: AI  AN AT 1     1  I  trung điểm AM  I M  NB TB 2 Áp dụng định lý Ceva cho đường thẳng đồng quy AM , CN , BT ta có: AN M B TC M B M B 1  1  1  M  trung điểm BC Như ta có: NB M C TA M C M C M  M , I  I Hay BT , CN , AM đồng quy I Ví dụ Cho tam giác nhọn ABC có A 45 , đường cao BD CE cắt H Đường vng góc với AB B , cắt AC I Đường vng góc với AC C , cắt AB K Gọi F giao BI CK , G giao điểm FH EI Chứng minh G trọng tâm tam giác AIK Giải: CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TỐN CHUN Tam giác vng ACK có A 45 nên tam giác vuông cân, CE đường cao nên AE EK , IE đường trung tuyến AIK Ta chứng minh IG 2GE (bằng cách chứng minh FI 2EH ) Ta có FI CF (vì CIF vng cân), CF BH (vì BFCH hình bình hành), BH EH (vì BEH vng cân) nên FI 2 EH Do EH / / FI nên theo định lí Thales, ta có IG FI  2 , suy IG 2GE GE EH Vậy G trọng tâm tam giác AIK Ví dụ Cho tam giác ABC  AB  AC  , đường phân giác AD , đường trung tuyến AM Trên cạnh AC lấy điểm E cho AE  AB Gọi O, G theo thứ tự giao điểm BE với AD, AM a, Chứng minh DG / / AB b, Gọi I giao điểm MO DG Chứng minh DI IG Giải: a, Tam giác ABE cân A , AO đường phân giác nên BO OE Tam giác BEC có OM đường trung bình nên OM / / EC Tam giác ABC có BM MC OM / / EC nên MO qua trung điểm N AB Qua M kẻ đường thẳng song song với AB , cắt BO AO theo thứ tự H K Ta có HK / / AB AN NB nên MK MH (theo bổ đề hình thang) Do HK / / AB , theo định lý Thales ta có MD MK MH MG (vì MK MH )  Từ ta có   DB AB AB GA MD MG   DG / / AB (định lí Thales đảo) DB GA b, Ta có DG / / AB AN NB nên DI IG (theo bổ đề hình thang) Ví dụ .7 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN CHUYÊN ĐỀ 7.NHỮNG ĐỊNH LÝ HÌNH HỌC NỔI TIẾNG Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH Gọi I trung điểm AH Đường vng góc với BC C cắt đường thẳng BI D Chứng minh DA DC Giải: Gọi M trung điểm AC , N giao điểm MI AB Tam giác AHC có MI đường trung bình nên MI / / HC , tức MN / / BC Theo định lí Thales: Do AH / / CD nên IB HB  (1) ID HC MN / / BC Do nên IN AI IM   , HB AH HC tức IN HB  (2) IM HC Từ (1) (2) suy IB IN  , ID IM BN / / DM (định lí Thales đảo) Ta lại có BN  AC nên DM  AC Vậy DM đường trung trực AC , suy DA DC Ví dụ Cho hình bình hành ABCD giao đường chéo O , đường thẳng qua đỉnh D cắt cạnh AB M , cắt BC N cắt đường chéo AC I , đường thẳng NO cắt CD F Dựng BE / / AC , đường thẳng AE cắt BC P a, Chứng minh: AM CN không đổi b, Chứng minh: ID IM IN c, Chứng minh: EM DM  EN DN d, Chứng minh: OP / / DN e, Chứng minh: 1   DI DM DN Giải: a, Do AM / / CD nên ta có: CHUN ĐỀ HSG VÀ TỐN CHUN AM AI AD    AM CN  AD.CD CD IC CN b, Do AM / / CD nên: IM IA ID    ID IM IN ID IC IN c, Do BE / / AC nên MI MA MI  ME MA  MB EI AB CD CN IN         , hay ME MB ME MB ME MB MB BN EN EI IN ME EI CB DM đpcm      ME EN NE NI NC DN d, Tứ giác ACBE hình thang, theo bổ đề hình thang OP qua trung điểm EB nên OP / / DN e, Ta cần chứng minh: DI DI DI CI DI AI suy  1 Ta có:  ,  DM DN DM CA DN AC DI DI CI AI AC     1 DM DN AC AC AC Ví dụ Cho tam giác ABC có trọng tâm điểm G Gọi P điểm nằm cạnh BC Các đường thẳng qua P song song với CG , BG cắt AB, AC E , F Giả sử EF cắt BG, CG I , J a, Chứng minh: EI  EF b, Chứng minh: IE IJ c, Chứng minh: PG qua trung điểm EF Giải: a, Gọi BM , CN đường trung tuyến tam giác ABC , BG cắt EP R , CG cắt FP S Vì PF / / RI nên EI ER ER NG (1), PE / / NC nên (2) Từ (1) (2) ta suy   EF EP EP NC EI NG 1    EI  EF EF NC 3 b, Chứng minh tương tự ta có: JF FS MG 1     JF  EF từ suy ra: EI IJ JF EF FP MB 3 c, Từ chứng minh ta có: ER FS   EF / / RS Vì RGSP hình bình hành nên GP qua EP FP trung điểm RS nên GP qua trung điểm IJ | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN CHUYÊN ĐỀ 7.NHỮNG ĐỊNH LÝ HÌNH HỌC NỔI TIẾNG Chú ý: Sử dụng bổ đề hình thang ta suy GP qua trung điểm IJ Ví dụ Cho tam giác nhọn ABC điểm D thuộc cạnh BC , lấy điểm E thuộc đoạn thẳng AD, F thuộc đoạn thẳng DE Một đường thẳng qua F song song với cạnh BC cắt AB, EB, EC , AC theo thứ tự M , P, Q, N , đường thẳng MD, EB cắt R, ND EC cắt S, DP AB cắt G , DQ cắt AC H a, Chứng minh: MP NQ  BD DC b, Chứng minh: RS / / BC c, Chứng minh: GH / / RS Gọi K chân đường cao hạ từ A lên cạnh BC , I điểm nằm AK , đường thẳng BI , CI cắt AC , AB X , Y Đường thẳng qua I / / BC cắt KX , KY Z , T Chứng minh: KZT cân Giải: a, Do MF / / BD theo định lý Thales ta có: MF AF NF AF  , NF / / CD   , BD FD CD FD suy MF NF PF EF (1), PF / / BD  ,   BD CD BD CD Do FQ / / CD  QF EF PF QF  suy  (2) CD FD BD CD Từ (1), (2) ta có: MF PF NF QF MP NQ      BD BD CD CD BD CD MP MR NQ NS MR NS b, Ta có MP / / BD   , NQ / / CD      RS / / MN BD RD CD SD RD SD Do MN / / BC  RS / / BC c, Do MP / / BD  MP GP QN HQ MP NQ theo câu a nên  , FQ / / CD    BD GD CD HD BD CD GP HQ DP DQ     GH / / PQ hay GH / / BC / RS GD HD DG DH d, Giả sử đường thẳng qua I song song với BC cắt AB, AC L ,U 10