NHỮNG ĐỊNH lý HÌNH học nổi TIẾNG

, DF với đường thẳng AB ta có IP IQ Thật vậy, kẻ OS tương tự cách DF,OJ E C P EC chứng minh B I A M Q N O D S F 15 Định lý bướm mở rộng với đường tròn Cho đường tròn O dây AB I điểm thuộc dây AB Vẽ dây CD, EF qua I (C E nằm phía AB ) Gọi giao điểm CF, DE với AB M , N Chứng minh IA IN IB IM Chứng minh: E C 1 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word B I A M N AM IB IM Trước hết ta chứng minh BN IA (*) IN Thật vậy, vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác CMD cắt AB K Theo hệ thức lượng đường trịn, ta có IM.IK IC ID IC ID IAIB nên IM.IK IAIB IM IB BK (1) Vì K1 IN NK C1 AM IB IM IM BK AM IB AM IB IM AN NB IN NB BN IA IN IA.BN BK IA IN BN BK (2) Từ (1) (2) suy BN IA , (*) chứng minh IN Đặt IA a ,IB b ,IM m bn abmn ta IA IM IB E1 nên tứ giác EIDK nội tiếp, tương tự ta có EN ND IN BK a AM IN b m IB m ,IN n am a n n , từ (*) ta có abn b bmn a n abm b a m b m b n a n amn Chia hai vế cho hay m Ghi chú: Bổ đề (*) gọi bổ đề Haruki IM http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word BK 16 Định lý bướm với cặp đường thẳng Cho tam giác ABC có I trung điểm cạnh BC Qua I vẽ đường thẳng thứ cắt AB, AC M , P ; đường thẳng thứ hai cắt AB, AC Q, N MN , PQ cắt BC E, F Chứng minh IE IF Chứng minh: Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ABC với cát tuyến IPM NIQ , ta có: IB PC MA IC PA MB PC MA PA MB PC PA IB NC QA IC NA QB NC QA NA QB QA QB MB (1) MA NA (2) NC Lại áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ABC với cát tuyến MNE PFQ , ta được: FB PC QA FC PA QB FB FC EC EB 1(3); FB BC EC MA NA EB MB NC EC BC FB 1(4) Từ (1),(2),(3) (4) suy FC Lại có IA IB nên IE IF 17 Định lý Shooten Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O Chứng minh với điểm M nằm đường trịn O ba đoạn MA, MB, MC có đoạn có độ dài tổng độ dài hai đoạn Chứng minh: A http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word O Xét điểm M nằm cung nhỏ BC Áp dụng định lý Ptolemy cho tứ giác nội tiếp ABMC , ta có MA.BC Vì AB MB.AC AC MC AB BC nên MA MB MC Tương tự điểm M nằm cung nhỏ AC AB ta có MB MC MA MC MA MB Suy đpcm Cách khác để chứng minh: A I O C B M http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word MA MB tương tự) MC (trường hợp điểm M nằm cung AB, AC Trên MA lấy điểm I cho MI Thật vậy, ta có BMI đều, BI Ta lại có ABC MB , ta cần chứng minh MC 600 mà MB ACB MI nên tam giác BMI 600 BM IBM 600 nên ABC Dễ dàng chứng minh AI IBM , suy CBM BCM ABI BAI (c.g.c) nên MC AI 18 Hệ thức Van Aubel Cho tam giác ABC có AD, BE,CF đồng quy K ( D, E, F theo thứ tự thuộc cạnh BC ,CA, AB ).Chứng minh AK KD AE EC AF FB Chứng minh: A M N F E K B C D Qua A vẽ đường thẳng song song với BC cắt BE ,CF M , N ta có AK AM AN KD BD CD 19 Định lý Ce’va AM BD AN CD AM AN BC AM BC AN BC AE EC Cho tam giác ABC điểm D, E, F nằm cạnh BC ,CA, AB Chứng minh điều kiện cần đủ để AD, BE,CF đồng http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word AF FB quy ta có hệ thức DB EC FA (*) DC EA FB Chứng minh: A M N F E K B D C Điều kiện cần: Ta chứng minh AD, BE,CF đồng quy có (*) Gọi K điểm đồng quy ba đoạn AD, BE,CF Qua A vẽ đường thẳng song song với BC cắt BE ,CF M , N Theo định lý Ta-lét ta có DB DC AM EC , AN EA DB EC FA DC EA FB BC FA , AM FB AM BC AN AN AM BC AN , BC (đpcm) Điều kiện đủ: Ta chứng minh có (*) AD, BE,CF đồng quy Thật vậy, gọi K giao điểm BE CF , AK cắt cạnh BC D ' Theo chứng minh điều kiện cần ta có D ' B EC FA D 'B DB Hai điểm D D ' chia D 'C EA FB D 'C DC đoạn BC theo tỉ số nên D ' D Vậy AD, BE,CF đồng quy Chú ý: Bài toán trường hợp điểm D, E, F nằm đường thẳng BC ,CA, AB có hai điểm nằm ngồi tam giác http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word 20 Định lý Menelaus Cho tam giác ABC điểm M , N , P theo thứ tự nằm đường thẳng BC ,CA, AB Chứng minh điều kiện cần đủ để M , N , P thẳng hàng ta có hệ thức MB NC PA MC NA PB (**) Chứng minh: A K b a P H N E c B M C Điều kiện cần: Gọi a,b, c theo thứ tự khoảng cách từ A, B,C đến cát tuyến MNP MB MC (đpcm) Ta có b NC ; c NA c PA ; a PB a MB NC PA Do b MC NA PB Điều kiện đủ: Giả sử có (**) PN cắt cạnh BC M ' Thế M ' B NC PA M 'C NA PB M 'B M 'C MB MC M' M Vậy M , N , P thẳng hàng (đpcm) http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word b c a c a b ... dụng định lý Menelaus cho tam giác ABC với cát tuyến IPM NIQ , ta có: IB PC MA IC PA MB PC MA PA MB PC PA IB NC QA IC NA QB NC QA NA QB QA QB MB (1) MA NA (2) NC Lại áp dụng định lý Menelaus... (*) gọi bổ đề Haruki IM http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word BK 16 Định lý bướm với cặp đường thẳng Cho tam giác ABC có I trung điểm cạnh BC Qua I vẽ đường thẳng thứ... FB BC EC MA NA EB MB NC EC BC FB 1(4) Từ (1),(2),(3) (4) suy FC Lại có IA IB nên IE IF 17 Định lý Shooten Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O Chứng minh với điểm M nằm đường tròn O ba