Cđ12 những định lý hình học nổi tiếng

NHỮNG ĐỊNH LÝ HÌNH HỌC NỔI TIẾNG Dạng 1: Đường thẳng Euler 1.(Đường thẳng Euler) Cho tam giác Chứng minh trọng tâm , trực tâm tâm đường tròn ngoại tiếp nằm đường thẳng Hơn tam giác Đường thẳng nối gọi đường thẳng Euler Chứng minh: A A H H O G E B B G C D Ta có Ta lại có ) Do (g.g) trung bình tam giác nên le trong, Do ) ) Mặt khác (góc có cạnh tương ứng song song) Chứng minh tương tự Từ có C M H' Cách 1: Gọi trung điểm đường trung bình tam giác nên (cùng vng góc với O (do đường trọng tâm tam giác , lại có (so (c.g.c) nên hay Do Vậy thẳng hàng Cách 2: Kẻ đường kính đường trịn ta có (Tính chất trực tâm) (Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) suy Tương tự ta có nên tứ giác hình bình hành, cắt trung điểm đường Từ suy ) Nối (Tính chất đường trung bình tam giác cắt tâm tam giác nên trọng Cách 3: sử dụng định lý Thales :Trên tia đối lấy cho Gọi trung điểm Theo tính chất trọng tâm thuộc A Áp dụng định lý Thales vào tam giác dễ suy H H' G (1).Mặt khác B M tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác , trung điểm Từ (1) (2) suy trực tâm tam giác toán nên , tương tự Theo cách dựng O (2) Vậy ta có kết luận Chú ý rằng: Nếu ta kéo dài cắt đường trịn (Góc nội tiếp chắn đường tròn) nên đường trung bình tam giác suy đối xứng với qua Nếu gọi tâm vòng tròn ngoại tiếp tam giác ta có đối xứng với qua C Đường thẳng qua gọi đường thẳng Euler tam giác Ngồi ta cịn có *Đường thẳng Euler coi định lý quen thuộc hình học phẳng Khái niệm đường thẳng Euler trước hết liên quan đến tam giác, sau mở rộng ứng dụng cho tứ giác nội tiếp - giác nội tiếp, chuyên đề ta quan tâm đến số vấn đề có liên quan đến khái niệm tam giác 1.1 (Mở rộng đường thẳng Euler) Cho tam giác điểm mặt phẳng Gọi trung điểm trọng tâm tam giác a) Chứng minh đường thẳng qua với song song đồng quy điểm thẳng hàng , b) Chứng minh đường thẳng qua song với song đồng quy điểm thẳng hàng , Giải: a) Ta thấy kết luận toán rắc rối, nhiên ý tưởng lời giải câu giúp ta tìm đến lời giải ngắn gọn sau: Lấy điểm cho tia đối tia A Theo tính chất trọng tâm ta thấy thuộc Vậy áp dụng định lý Q B' C' Hp G B P C A' Thales vào tam giác dễ suy tương tự Chứng minh Như đường thẳng qua quy song song với Hơn theo cách dựng đồng thẳng hàng Ta có kết luận tốn b) Ta có lời giải tương tự Lấy điểm tia đối tia cho A P Theo tính chất trọng tâm ta thấy thuộc định lý Thales vào tam giác C A' dễ suy Chứng minh tương tự đường thẳng qua song song với R≡Op G B Vậy áp dụng B' C' Hơn theo cách dựng Như đồng quy thẳng hàng Ta có kết luận tốn Nhận xét: Bài toán thực mở rộng đường thẳng Euler Phần a) Khi có tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác trực tâm tam giác ta Ta thu dược nội dung toán đường thẳng Euler Phần b) Khi trực tâm tam giác đường tròn ngoại tiếp tam giác 1.2 Cho tam giác trực tâm tâm Khi đường thẳng Euler tam giác thẳng Euler tam giác đồng quy điểm đường Giải: Để giải toán cần hai bổ đề quen thuộc sau: Bổ đề Cho tam giác trực tâm đối xứng với qua Chứng minh: Gọi giao điểm khác với Thì A Theo tính chất H trực tâm góc nội tiếp dễ thấy O cân qua hay C B Do tam giác OA đối xứng A' đối xứng Tương tự cho , ta có điều phải chứng minh Bổ đề Cho tam giác , trung điểm , trực tâm , tâm đường tròn ngoại tiếp Chứng minh: Gọi A trung điểm dễ thấy vng góc với H vng góc với nên ta có tam giác G B O C M tỷ số Do , điều phải chứng minh Trở lại toán Gọi theo bổ đề 5.1 qua tâm A đối xứng với ,kết hợp với bổ đề suy song song nên tứ giác nên E H C B hình bình hành qua trung điểm Tuy nhiên dễ thấy O OA trực tâm tam giác Euler tam giác qua Euler tam giác đường thẳng Euler tam giác đường thẳng Tương tự đường thẳng cũngđi qua nằm Đó điều phải chứng minh Nhận xét: Điểm đồng quy trung điểm đường trịn Euler tam giác tâm 1.3 Cho tam giác tâm đường tròn nội tiếp Khi đường thẳng Euler tam giác đồng quy điểm đường thẳng Euler tam giác A Hướng dẫn giải: Ta sử dụng bổ đề sau: Bổ đề Cho tam giác nội tiếp cắt ngoại tiếp tam giác nội tiếp đường trịn I điểm khác , tâm đường tròn O tâm đường tròn C B D Giải: Sử dụng tính chất góc nội tiếp góc ngồi tam giác ta có: Vậy tam giác cân Tương tự tam giác cân Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác (Xem thêm phần góc với đường trịn) Bổ đề (Định lý Menelaus) Cho tam giác ba cạnh đường thẳng cắt tương ứng Định lý chứng minh chi tiết (Các định lý hình học A tiếng) O Trở lại toán Gọi tâm , I G S N giao điểm Gọi khác B trọng tâm tam giác điểm , cắt M C E Gọi OA trung Theo bổ đề tính chất ta thấy khơng chứa T GA trung điểm cung vng góc với nên suy (2) Gọi (1) Hơn (đường thẳng Euler tam giác ) cắt (đường thẳng Euler tam giác ) Ta chứng minh cố định Gọi hình chiếu lên Do nên hai tam giác vng hay đồng dạng Do (3) Áp dụng định lý Menelaus vào tam giác có thẳng hàng, ta có: Vậy , tam giác tam giác cố định Tương tự, đường thẳng Euler qua nằm đường thẳng Euler Ta có điều phải chứng minh Nhận xét Điểm đồng quy tam giác 1.4 Cho tam giác thường gọi điểm Schiffer Đường tròn tiếp xúc ba cạnh tam giác Khi đường thẳng Euler tam giác đường tròn ngoại tiếp tam giác A Hướng dẫn giải: Gọi giao điểm khác đường tròn ngoại tiếp chứa của với Khi B' E làC' trung điểm cung suy F I K H với không O Gọi giao điểm , áp dụng định lý Thales vào tam giác B qua tâm D A' ta C thấy bán kính đường trịn nội tiếp ngoại tiếp tam giác Do qua Lấy điểm thuộc đoạn cố định, tương tự cho Áp dụng định lý Thales tam giác ta thấy (cùng nên ) Bằng tính chất phân giác tam giác cân dễ thấy Chứng minh tương tự trực tâm tam giác ý tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác qua Ta có điều phải chứng minh Ta Nhận xét 1.4 kết hay gặp đường thẳng Euler, nhờ ta chứng minh kết thú vị khác sau 1.5 Cho tam giác đường cao Gọi hình chiếu lên đường thẳng Euler tam giác tam giác đồng quy Khi trùng Giải: Ta biết kết quen thuộc trực tâm tam giác tâm đường trịn nội tiếp tam giác Khi theo 1.4 , đường thẳng Euler tam giác đường thẳng nối , tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác Mặt khác tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác tâm đường tròn Euler tam giác đường thẳng Euler tam giác Đó điều phải chứng minh Chú ý Áp dụng kết 1.5 ta lại có kết thú vị khác 1.6 Cho tam giác Đường tròn nội tiếp tiếp xúc Tâm đường tròn bàng tiếp Chứng minh đường thẳng Euler tam giác tam giác trùng Chứng minh: Ta áp dụng kết 1.5 vào tam giác trực tâm tam giác 1.7 Cho tam giác , ta ý ta có điều phải chứng minh đường trịn nội tiếp tiếp xúc với trung điểm Chứng minh đường thẳng qua vng góc với đồng quy điểm đường thẳng tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác Ta dễ thấy góc với thẳng qua vuông A nên đường vng góc với tương ứng song song với Ta suy đường E A' F I C' O B' B D thẳng đồng quy điểm với trọng tâm tam giác Tuy nhiên đường thẳng Euler tam giác Theo 1.5, qua Như điểm đồng quy nằm Ta có điều phải chứng minh C ... thêm phần góc với đường tròn) Bổ đề (Định lý Menelaus) Cho tam giác ba cạnh đường thẳng cắt tương ứng Định lý chứng minh chi tiết (Các định lý hình học A tiếng) O Trở lại toán Gọi tâm , I G S... Ơ le số kết mở rộng ta thấy việc khai thác định lý, tính chất hình học chìa khóa quan trọng để khám phá vẽ đẹp tiềm ẩn ‘? ?Hình học phẳng’’ Hy vọng em học sinh tiếp tục phát triển, đào sâu suy nghỉ... điểm , áp dụng định lý Thales vào tam giác B qua tâm D A'' ta C thấy bán kính đường trịn nội tiếp ngoại tiếp tam giác Do qua Lấy điểm thuộc đoạn cố định, tương tự cho Áp dụng định lý Thales tam