Dap an chinh thuc toan hsg 2010

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG THÁP KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH NĂM HỌC 2010 - 2011 - HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC MƠN TỐN (Hướng dẫn chấm biểu điểm gồm có 05 trang) I Hướng dẫn chung 1) Nếu học sinh làm không theo cách nêu đáp án cho đủ số điểm phần hướng dẫn quy định 2) Việc chi tiết hóa (nếu có) thang điểm hướng dẫn chấm phải bảo đảm không làm sai lệch hướng dẫn chấm phải thống thực tổ chấm II Đáp án thang điểm Câu Đáp án 4 Câu Giải phương trình: x  x   x  20 x  7 x (1)  Điều kiện: x 0  Dễ thấy x 0 không nghiệm phương trình (1)  Với x  , chia hai vế phương trình (1) cho x , ta phương trình x2  1 Đặt t  x  4  x  20  7 x x (2) , điều kiện t 4 , phương trình (2) trở thành x2    0.5 0.5 t    t  20 7  Điểm 3đ 0.5 t  19t  20 15  t t 15 2 t  19t  20  15  t   t 5  x 1   x 1 Với t 5 ta được: x  5  x  x  0   x  x 2  x 4 Do điều kiện x  nên phương trình (1) nhận nghiệm x 1; x 2 Vậy phương trình (1) có hai nghiệm x 1 ; x 2 Câu Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Gọi AE, BF, CK ba chiều cao H trực tâm  tam giác ABC Biết AE = 3, CK = 2 BH = 5HF Chứng minh ABC 450 0.5 0.5 0.5 3đ B c a K 2 H E A    b F C Gọi độ dài ba cạnh tam giác ABC a, b, c Ta có AE.BC = CK.AB  3a 2 c a c   2  sin A sin C sin A sin C Theo giả thiết ta có BH 5 HF  BF 6 HF Theo định lý sin ta có Mặt khác AF = BF.cotA Trang 0.25 (1) 0.25    AF = HF.cot EAC = HF.cot   C  = HF.tanC 2  6.cotA = tanC  6cotA.cotC =   0.5  (2)   91  cot C  81  cot A sin C sin A Từ (2) (3)  32 cot A  cot A  0 Từ (1)  (3) 0.25 1 cot C   cot A cot C 1 Suy cot B  cot( A  C )  cot A  cot C 0.5 Vì cotA > nên cot A    0.5  Vậy ABC 450 (đpcm) 0.25 3đ Câu Tìm tất nghiệm nguyên dương phương trình 2x  3y  5xy  3x  2y  0 (1)  Xem phương trình (1) phương trình bậc hai x: 0.5 (1)  2x    5y  x  3y  2y  0  Để có x nguyên điều kiện cần    5y   4.2 3y  2y  y  14y  33 k    số phương (k ngun, khơng âm) Lại xem y  14y  33  k 0 phương trình bậc hai y Để có y ngun điều kiện cần là:  ' 49  33  k 16  k m   số phương (m nguyên dương) 2 Do m  k 16  m  k   0.5   m  k  16 16 8.2 4.4 16.1 nên ta suy m  k 8 m 5 Trường hợp 1: m  k 2  k 3   0.5 0.5 0.25 0.5 Suy phương trình (1) có nghiệm x; y  15;12 , 1;2       m  k 4 m 4 Trường hợp 2: m  k 4  k 0   0.5 Suy phương trình (1) có nghiệm x; y  13;11 , 3;3  Câu       17 m m  k 16   Trường hợp 3: m  k 1  15 (loại) k    Vậy phương trình (1) có nghiệm x; y  15;12 , 1;2 , 13;11 , 3;3     0.25     u1 1  4un   Cho dãy số (un) xác định  un  u  n 2 n  Tìm cơng thức số hạng tổng quát dãy số (un) Sử dụng dãy phụ để chuyển dãy cho dãy xác định cấp số nhân, áp dụng công thức  Đặt u n x n  , thay vào công thức truy hồi ta Trang 3đ xn   xn   xn  Suy ra:  Ta lại đặt y n   Tiếp tục đặt: v n y n  0.5 2x n  xn  x n  5    xn 2x n  2x n     x n    0.5 (1) 1 5 1 , thay vào (1) ta y n  y n    y n    y n    xn 2 2 3  v1  v n   , n 2 3 Suy dãy   CSN có cơng bội q  Áp dụng cơng thức tính số hạng tổng qt CSN ta v n v1 q n 2 5    3 2 0.5 0.5 n , n 2 0.5 Từ ta 2 5 y n    3 2 n  1 4.5n   n   xn   u  n n 2.5n   n  2 5     3 2 4.5n   2n   Vậy công thức số hạng tổng quát dãy số (un) u n  n  n  2.5  Câu  m   m n  x  x   ( x  1) Xét khai triển   với m, n  N *  m  n n n    Chứng minh khai triển hệ số x m C nm   Ta có (1  x) n C n0  C n1 x  C n2 x   C nn x n  m   m n  x  x   ( x  1) Suy hệ số x m khai triển   n  n   m m  m   m m Am  Cn C n  C n  n  n  n  k 1 k1 C n , nên Ta có C nk  k m n  m  m  m   m m Am  Cn C n  C n  n m  n   m   m m  m  Cn C n  n  n   m   m  m  n  (m  1)  m   Cn C n  n m  n  C m n 3 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 3đ Câu Cho hai số dương x, y thỏa mãn điều kiện x  y 4 2đ 0.5 (đpcm)  1  1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: S   x      y   x  y   Theo bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương, ta có: 0.5 3  1  7  7 7 1   x         3   x   x  2  2 2 x  (1) 0.5 0.5 Trang 3  3  1  7  7 7 1   y         3   y   y  2  2 2 y  Cộng vế (1), (2), ta có 3  2 0.5   7  1  1 1   x      y    3     x  y    x  y x y   2   1 1 1 4    Mặt khác ta lại có  x  y     4 xy nên xy x y x y x y 3   7  1  1    x      y    3     x  y   x  y xy    2  Theo giả thiết a  b 4 nên S  0.5  7 343 3    S   2  1  x  x   Dấu "=" xảy 1  y    x y 2 y  x  y   x  y 4 343  Vậy S  Câu 0.5 Trên mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho elip (E) : 0.5 x2 y2  1 có hai tiêu điểm F1 25 16 3đ F2 M điểm di động elip (E) Gọi I tâm đường trịn nội tiếp tam giác MF1 F2 Tìm quỹ tích điểm I y M I -a   F1 F2 -c O H K c a Theo giả thiết ta có a 5 , b 4  c 3 Gọi M ( x0 ; y ) điểm di động elip I ( x ; y ) tâm đường tròn nội tiếp tam giác MF1 F2 Dựng IH  Ox , MK  Ox Gọi p nửa chu vi tam giác MF1 F2 , ta có p 0.25  MF1  MF2  F1 F2    2a  2c  a  c 8 2  c  c  MF1 p  HF2 (a  c)   a  x  c  x a  a  Mà HF1  x H  x F1  x  c  x c a Từ (1) (2)  x  c c  x0  x0  ax x  c Trang 0.5 (1) 0.5 (2) 0.5  Ta có r  IH  cy S F1 F2 MK a c 8y   y   y0  y p 2p a c c 0.5  5x  8     y y 3   1      1 25 16 25 16  Ta có x02  Suy quỹ tích điểm I elip có phương trình 0.5 x2 4y2  1 9 Hết - Trang 0.25