SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH YÊN BÁI ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI LẬP ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA LỚP 12 THPT NĂM 2012 LẦN Mơn thi : Tốn Thời gian : 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi : 22/10/2011 (Đề có 01 trang, gồm 05 câu) Bài (5,0 điểm): Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = Chứng minh rằng: 1 1 1 2 (a 1) (b 1) (c 1) a b c 1 Bài (4,0 điểm): Cho dãy số (x n ) xác định bởi: x1 a (a 1) x 2n x n 1 2(x 3) n (n 1,2,3,) Chứng minh dãy số (x n ) có giới hạn hữu hạn Tìm giới hạn Bài (4,0 điểm): Cho tam giác nhọn ABC có đường cao BH, CK tâm đường tròn ngoại tiếp O Gọi A’, B’, C’ trung điểm cạnh BC, CA, AB Chứng minh : OA ' OB ' OC ' KH BK CH Bài (4,0 điểm): Tìm tất cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: x y x y x 0 Bài (3,0 điểm): cm Chứng minh rằng: tồn đường thẳng cắt 26 đường trịn số 2011 đường trịn nói _ HẾT Trong hình vng có cạnh 10 cm người ta đặt 2011 đường tròn có đường kính Thí sinh khơng sử dụng tài liệu máy tính cầm tay Giám thị khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:………………………………Số báo danh:……………………… Giám thị 1:……………………………… …….Kí tên:……………………………… Giám thị 2:…………………………………… Kí tên:……………………………… SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH YÊN BÁI ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI LẬP ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA LỚP 12 THPT NĂM 2012 LẦN Mơn thi : Tốn Thời gian : 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi : 22/10/2011 HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI (Hướng dẫn có 04 trang, gồm 05 câu) Nội dung Điểm Bài 1(5,0 điểm): Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = Chứng minh rằng: 1 1 1 2 (a 1) (b 1) (c 1) a b c 1 Do a, b, c dương abc = nên có số a 1, b 1, c không âm không dương 1,0 Không tổng quát, giả sử (a 1)(b 1) 0 ab a b 0 ab a b (*) 0,5 Theo bất đẳng thức TBC – TBN ta có: 1 2 c (1) 2 (a 1) (b 1) ( a 1)(b 1) ab a b 2(1 ab) ab c 1,5 ( abc = 1) c 1 a b 1 ab 1 c c Từ (*) suy 1,0 1 c a b c c c (c 1) c (2) Từ (1) (2) suy ra: 1 1 c c 1 (đpcm) (a 1) (b 1)2 (c 1) a b c c (c 1) (c 1) Đẳng thức xảy a b c 1 1,0 Bài 2(4,0 điểm): Cho dãy số (x n ) xác định bởi: x1 a (a 1) x 2n x n 1 2(x 3) n (n 1,2,3,) Chứng minh dãy số (x n ) có giới hạn hữu hạn Tìm giới hạn 0,5 0,5 Theo giả thiết x1 a Giả sử x n x 2n x 1 x Ta có x n 1 1 n n 1 2(x n 3) 2(x n 3) 0,5 Vậy x n với n N* suy dãy số (x n ) bị chặn Xét hiệu x 2n 1 xn xn x n 1 x n xn 2(x n 3) 2(x n 3) x n 1 x n với 1,0 n N* suy dãy số (x n ) dãy giảm Vì dãy số (x n ) giảm bị chặn nên có giới hạn hữu hạn b 1 0,5 x 2n Từ x n 1 chuyển qua giới hạn ta 2(x n 3) b 1 b2 b b 6b 0 2(b 3) b Vì b 1 nên chọn b = Vậy lim xn 1 0,5 Bài 3(4,0 điểm): Cho tam giác nhọn ABC có đường cao BH, CK tâm đường tròn ngoại tiếp O Gọi A’, B’, C’ trung điểm cạnh BC, CA, AB Chứng minh : OA ' OB ' OC ' KH BK CH 0,5 Gọi I trực tâm ∆ABC Lấy D đối xứng với B qua O Tứ giác AICD hình bình hành nên AI = DC mà DC OA' nên OA ' AI Chứng minh tương tự ta được: OB ' BI OC ' CI A 1,0 D 1,0 B' C' O H K Do OA ' OB ' OC ' AI BI CI (*) I B A' C Lại có: 0,5 BK BK (1) sin A cos KBI CH CH CI (2) sin A cos HCI BI 0,5 AH AH KH Tứ giác AKIH nội tiếp AKH AIH AI (3) sin AIH sin AKH sin A Thay (1), (2), (3) vào (*) ta OA ' OB ' OC ' KH BK CH (đpcm) 1,0 Bài (4,0 điểm): Tìm tất cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: x y x y x 0 (1) (1) y ( x 8) ( x 2) Vì y ( x 2) số phương nên x số phương 1,0 Đặt x z Suy x z 8 x z x z 8 2 Có x z x z ước 8, x z không âm nên x z không âm Trường hợp 1: x z 8 x ( không thỏa mãn) x z 1 1,0 Trường hợp 2: 1,0 x z 4 x 3 x 3 x z Với x = ta có y 1 Với x = -3 ta có y 5 Vậy phương trình cho có nghiệm 3;1 , 3; 1 , 3;5 , 3; 1,0 Bài (3,0 điểm): Trong hình vng có cạnh 10 cm người ta đặt 2011 đường trịn có đường kính cm Chứng minh rằng: tồn đường thẳng cắt 26 đường trịn số 2011 đường trịn nói Chia hình vng cạnh 10 cm thành 81 hình chữ nhật 80 đường thẳng song song với cạnh hình vng , đường thẳng cách Do 10 cm 81 10 nên đường tròn bị cắt nhất đường thẳng nói 81 Có 80 đường thẳng, 2011 đường tròn; 2011 chia 80 25 dư 11 nên tồn đường thẳng cắt 26 đường trịn số 2011 đường trịn nói 1,0 1,0 1,0