D04 bài toán dựng thiết diện và tính diện tích thiết diện muc do 4

Câu [HH11.C1.1.E04.d] Cho hình chóp S ABCD đáy hình thang, đáy lớn BC 2a, AD a, AB b  P  qua điểm M Mặt bên SAD tam giác M điểm di động AB, mặt phẳng AM x,   x  b  song song với SA, BC Giả sử Tính diện tích thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng  P  theo a x Tìm giá trị x để diện tích thiết diện lớn ? Lời giải S Q P 2a C P Q H K B M b x N D a A N M +) Từ M kẻ đường thẳng song song BC SA , cắt DC N , SB Q +) Từ Q kẻ đường thẳng song song với BC cắt SC P suy MNPQ thiết diện Dễ dàng chứng minh MNPQ hình thang cân b x a Sử dụng định lý Talet ta suy MQ NP = b ; x ab  ax ba  ax 2a PQ  b , MN  b Từ tính QK  b Áp dụng công thức S MNPQ 3a   MN  PQ  QK   b  x   b  3x  4b S *Tìm x để MNPQ đạt giá trị lớn nhất: S MNPQ  3a 3a  3b  x  b  3x  3a b  x b  x        12b 12b   Dấu " " xảy Câu x b [HH11.C1.1.E04.d] Cho hình chóp S ABCD , có đáy ABCD hình thang cân ( AD / / BC ) BC 2a, AB  AD DC a  a   Mặt bên SBC tam giác Gọi O giao điểm AC BD Biết SD vng góc với AC Mặt phẳng ( ) qua điểm M thuộc đoạn OD ( M khác O, D ) song song với hai đường thẳng SD AC Xác định thiết diện hình chóp S ABCD cắt mặt MD  x  x   phẳng ( ) Biết Tìm x để diện tích thiết diện lớn Lời giải S K Q B C J P O M A T N D Qua M kẻ đường thẳng song song với AC cắt AD , DC N , P Qua M , N , P kẻ đường thẳng song song với SD cắt SB, SA, SC K , J , Q Thiết diện ngũ giác NPQKJ Ta có: NJ , MK , PQ vng góc với NP 1 S NPQKJ S NMKJ  S MPQK  ( NJ  MK ) MN  ( MK  PQ ) MP  ( NJ  MK ).NP (do NJ PQ ) NP MD AC.MD x.a   NP   3 x a AC OD OD Ta có:  a  2a   x NJ AN OM SD.OM  2(a  x 3)    NJ    a SD AD OD OD   KM BM SD.BM 2a a  x   KM    (a  x) SD BD BD a 3 1  2(a  x 3)  (a  x)  x 2(3a  x) x  S  Suy ra: NPQKJ =   1   3 a (3a  x)2 x  (3 a  x )  x  4 3 Diện tích NPQKJ lớn 3 a x a 4 Câu [HH11.C1.1.E04.d] (HSG Toán 12 – Triệu Sơn, Thanh Hóa năm 2020) Cho hai nửa đường thẳng Ax , By chéo Hai điểm C , D   By thay đổi Ax cho AC BD AB , D điểm thứ tư hình bình hành ABDD  P  mặt phẳng chứa CD song song với AB ,  Q  mặt phẳng chứa Ax song  P  luôn qua điểm cố định I mặt phẳng  Q  song với By Chứng minh Tìm vị trí C D cho diện tích S tam giác ADC nhỏ Lời giải B A y D M D' y' I N C Dựng Ay//By D Aysao cho AD BD  Ax, Ay  P  x mặt phẳng  CDD ,  Q  mặt phẳn Với I tùy ý CD Gọi M , N điểm Ay , Ax cho MI / / Ax , NI / / Ay Ta có: AM AN CI D ' I CI  ID '     1 (1) AD ' AC CD ' D ' C CD ' AB : AB :     1 (2) AC BD AB AC AD ' D ' I AB :  AC Với C , D hai điểm tùy ý thỏa mãn giả thiết Trên CD tồn điểm I cho D ' C AN D ' I AB : AB    AN  (3) AC Ta được: AC D ' C 0,5 AM CI D'I AB : AB : AB  1  1    AM  (4) D 'C AC AD ' AD ' CD '  P  qua điểm cố định I  Q  Từ (3) (4) suy M , N cố định nên I cố định Do 1 S  AC ADsin A  AC.BD sin A 2 nên S nhỏ  AC.BD nhỏ 1 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương: AC , BD ta có: 2   2  AC.BD  AB AB AC BD AC BD AB AB    AC  BD  Dấu xảy AC BD AB AB AB BD  AC  , Vậy S nhỏ Câu [HH11.C1.1.E04.d] Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' Trên cạnh AB lấy điểm M khác A B  P  mặt phẳng qua M song song với mặt phẳng ( ACD ') Xác định thiết diện hình Gọi  P  Xác định vị trí M để thiết diện nói có diện tích lớn ? hộp cắt mặt phẳng Lời giải Trong Trong Trong Trong Trong mp  ABCD  qua M vẽ đường thẳng song song với AC cắt DB, BC E , N mp  BDDB DO  O  AC  BD  qua E vẽ đường thẳng song song với cắt BDtại F mp  ABC D qua F vẽ đường thẳng song song với AC cắt AD, DC  R, Q mp  AADD  qua R vẽ đường thẳng song song với AD cắt AAtại S mp  CC DD  qua Q vẽ đường thẳng song song với CD cắt CC  P Thiết diện lục giác MNPQRS 1  2 SD SC (2) Trong tam giác vng SDC ta có SK Từ (1) (2) ta SB SD , từ suy B  D hay suy SB vng góc với SC + Do mặt đối diên hình hộp song song nên cạnh đối lục giác thiết diên MNPQRS song song cặp cạnh song song với cạnh tam giác ACD  Các tam giác JKI , ACD, RQI , JMS , NKP đồng dạng MJ MA NC NK PC PK QD ' QI         MN MB NB NM PC ' PQ QC ' QP  MJ  NK PK QI  Các tam giác RQI , JMS , NKP (gọi diện tích chúng S1 gọi diện tích tam giác JKI , ACD S2 , S ) AM k ; Đặt AB ta có điều kiện  k  có: 2 S1  JM   AM   AM    k      S1  k S S  AC   DC   AB  2 S2  JK   JM  MK   JM MK           k  1  S  k  2k  1 S S  AC   AC   AC AC   Diện tích thiết diện: Std S2  3S1 3 Std 2 S (  k  k  ) 2 S    2   3S  k     k  2    2) (dấu xảy  S lớn   M trung điểm AB [HH11.C1.1.E04.d] (HSG K11 Bắc Giang 2013 – 2014) Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' Trên k Câu P cạnh AB lấy điểm M khác A B Gọi   mặt phẳng qua M song song với mặt phẳng ( ACD ') Xác định thiết diện hình hộp cắt mặt phẳng  P  Xác định vị trí M để thiết diện nói có diện tích lớn nhất? Lời giải mp  ABCD  qua M vẽ đường thẳng song song với AC cắt DB, BC E , N mp  BDDB DO  O  AC  BD  Trong qua E vẽ đường thẳng song song với cắt BD F mp  ABC D Trong qua F vẽ đường thẳng song song với AC cắt AD, DC  R, Q mp  AADD  Trong qua R vẽ đường thẳng song song với AD cắt AA S mp  CC DD  Trong qua Q vẽ đường thẳng song song với CD cắt CC  P Thiết diện lục giác MNPQRS Trong 1  2 SD SC (2) Trong tam giác vng SDC ta có SK Từ (1) (2) ta SB SD , từ suy B D hay suy SB vng góc với SC + Do mặt đối diên hình hộp song song nên cạnh đối lục giác thiết diên MNPQRS song song cặp cạnh song song với cạnh tam giác ACD  Các tam giác JKI , ACD, RQI , JMS , NKP đồng dạng MJ MA NC NK PC PK QD ' QI        MN MB NB NM PC ' PQ QC ' QP  MJ  NK PK QI   Các tam giác RQI , JMS , NKP (gọi diện tích chúng S1 gọi diện tích tam giác JKI , ACD S , S ) 2  S1  k S 2 S  JK   JM  MK   JM MK           k  1  S  k  2k  1 S S  AC   AC   AC AC   Diện tích thiết diện: Std S  3S1 3 Std 2S ( k  k  ) 2S    S lớn  k S1  JM   AM   AM    k     S  AC   DC   AB  AM k ; Đặt AB ta có điều kiện  k  có:   3S  k     k  2    2) (dấu xảy   M trung điểm AB Câu [HH11.C1.1.E04.d] Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang, đáy lớn BC 2a đáy bé AD a , AB b Mặt bên SAD tam giác M điểm di động AB , Mặt phẳng ( P) mp  P  qua M song song với SA, BC Tìm thiết diện hình chóp cắt Thiết diện x  AM ,   x  b  hình gì? Tính diện tích thiết diện theo a, b Tìm x theo b để diện tích thiết diện lớn Lời giải + Từ M kẻ đuờng thẳng song song với BC SA lần luợt cắt DC N , SB Q + Từ Q kẻ đuờng thẳng song song với BC cắt SC P Thiết diện hình thang cân MNPQ S Q P Q P 2a C B M b x N D N K H M A a + Tính diện tích MNPQ Ta QK  tính đuợc MQ NP  b x 2.a.x ab  ax a, PQ  ; MN  b b b từ tính đuợc ab  a.x b Suy diện tích MNPQ là: S MNPQ  3.a  MN  PQ  QK   b  x   b  3x  4b S MNPQ x 3.a 3.a  3b  3.x  b  3.x  3.a   b  x   b  3x      4b 12b  12  b Câu Dấu “=”xẩy [HH11.C1.1.E04.d] (HSG Toán 11 - THPT ĐAN PHƯỢNG Hà Nội năm 1415) Cho hình chóp S ABCD , có đáy ABCD hình thang cân ( AD / / BC ) BC 2a , AB  AD DC a  a   Mặt bên SBC tam giác Gọi O giao điểm AC BD Biết SD vng góc với AC Mặt phẳng (  ) qua điểm M thuộc đoạn OD ( M khác O, D ) song song với hai đường thẳng SD AC Xác định thiết diện hình chóp S ABCD cắt mặt phẳng (  ) Biết MD  x Tìm x để diện tích thiết diện lớn Lời giải Qua M kẻ đường thẳng song song với AC cắt AD, DC N , P Qua M , N , P kẻ đường thẳng song song với SD cắt SB, SA, SC K , J , Q Thiết diện ngũ giác NPQKJ Ta có: NJ , MK , PQ vng góc với NP 1 dt  NPQKJ  dt  NMKJ   dt  MPQK   ( NJ  MK ) MN  ( MK  PQ ) MP  ( NJ  MK ).NP (do NJ PQ ) NP MD AC.MD x.a   NP   3x a AC OD OD Ta có:  a  2a   x NJ AN OM SD.OM  2(a  x 3)    NJ    a SD AD OD OD   KM BM SD.BM 2a a  x   KM    (a  x ) SD BD BD a 3 1  2(a  x 3)  ( a  x)  x 2(3a  x) x  dt  NPQKJ     Suy ra:  1   3 a (3a  x)2 x  (3 a  x )  x  4 3 3 a x a Diện tích NPQKJ lớn Câu [HH11.C1.1.E04.d] (HSG Toán 11 – Quảng Ngãi năm 1516) Cho hình lập phương ABCD A’B’C’D’ có cạnh a Gọi I tâm hình vng CDC’D’, K trung điểm CB  AKI  Tính diện tích Dựng thiết diện hình lập phương ABCD A’B’C’D’ cắt mặt phẳng thiết diện theo a Lời giải Gọi J giao điểm AK CD Q giao điểm JI CC’; N giao điểm IJ DD’ Thiết diện tứ giác AKQN Chứng minh AKQN hình thang có đáy KQ, AN Chứng minh C trung điểm JD, K trung điểm JA, Q trung điểm JN SJKQ JK JQ 1     S AKQN S JAN  S JKQ 3S JKQ SJAN JA JN 2 CQ 1 CQ  ND QC '    CQ  a CC ' 3 a 13 a a 10 KQ  ; JK  ; JQ  Tính JQ  JQ  KQ  JK JQ 50 sin KJQ   cos KJQ  14a S JKQ  JK JQ.sin KJQ  12 14a S AKQN 3SJKQ  cos KJQ  Câu [HH11.C1.1.E04.d] (HSG TỐN 11-VĨNH PHÚC-18-19) Cho hình chóp S ABCD có đáy  ABCD hình thoi cạnh a, BAD 600 , SA SB SC b SD 2b Gọi M trung điểm BC , điểm P cạnh SD cho SD 4 SP Mặt phẳng    qua M , P song song với AC    hình chóp Tính theo a, b diện tích thiết diện tạo mặt phẳng Lời giải S ABCD S P Q N A I R K B D H O C M J  Xét hình thoi ABCD cạnh a BAD 60  BD a, AC a Gọi giao điểm ( ) với SC , AB, SA lần lượ N R, Q Gọi I , J giao điểm MR với AD CD Thiết diện ngũ giác MNPQR Ta có S MNPQR S PIJ  S IQR  S MNJ Mặt khác, IQR JNM  S IQR S JNM Ta có, tam giác PIJ cân, gọi K trung điểm IJ ta có PK  IJ Xét tam giác ABC có M trung điểm BC , MR // AC  MR đường trung bình tam giác ABC K trung điểm OB  OD 2OK  a OD  MR  AC  2 DK ; S P E N K D F C J AC / / IJ  DA DO AC 3 3a     IJ  AC  a  DI DK IJ 2 Xét tam giác DIJ ta có  3a a  a  MJ    :    OD BK SP BK SP DP DH    ,      BD SD BD SD DS DB Mặt khác, DK DP DK PK     PK  b Xét tam giác SBD có DS DB SB 1 3a 3 9ab  S PIJ  PK IJ  b 2 16 Xét tam giác DPJ Gọi E trung điểm SD Khi ta có EC // PJ Xét tam giác SCE có NP // EC , P trung điểm SE  NP đường trung bình tam giác SEC  N trung điểm SC b  MN  SB   MN đường trung bình tam giác SBC 2 Ta có: MN // SB // PK nên MN  IJ 1 b a ab  S MNJ  MN MJ   2 2 S MNPQR  9ab 2ab 5ab   16 16