D04 bài toán dựng thiết diện và tính diện tích thiết diện muc do 3

Câu [HH11.C2.1.E04.c] Cho hình chóp S ABCD có ABCD hình vng cạnh a Đường thẳng SA vng góc với mặt phẳng  ABCD  Góc SB  ABCD  600 Mặt phẳng  P  qua A  P  hình chóp S ABCD vng góc với SC Tính diện tích thiết diện tạo mặt phẳng Lời giải S B' D' C' A D B C  P cắt SB , SC , SD B’C’D’ Dễ chứng minh AC’  B’D’ AC ' B ' D ' S AB 'C ' D '  Từ suy  a 30  AC '     SC '  3a 5  SAC vuông A , AC’  SC nên tính  SD ' SC ' 3a    SD '  SD’C’ đồng dạng với SCA nên SC SD 10 B ' D ' SD ' 3a    B'D'  SD 4 Ta có BD AC ' B ' D ' 3a 15 S AB 'C ' D '   20 Vậy Câu   [HH11.C2.1.E04.c] Cho hình thang vng ABCD có A D 90 , AB 2a , CD a , AD 3a M điểm thuộc đoạn thẳng AD Lấy điểm S thuộc đường thẳng vng góc với mặt phẳng  BCD  M cho SM  AM , xét mặt phẳng  P  qua điểm M vng góc với SA P Mặt phẳng   cắt hình chóp S ABCD theo thiết diện hình gì? Tính diện tích thiết diện theo a, x biết x  AM  x 3a ? Lời giải Thiết diện cần tìm hình thang vng MNEF (hình vẽ) (9a  x) x S 12 Diện tích cần tìm , với  x 3a Câu [HH11.C2.1.E04.c] Cho lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác cạnh a Cạnh AA ' vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) , đường thẳng BC ' hợp với mặt phẳng ( ABB ' A ') góc 30 Gọi M , N trung điểm AC BB ' Gọi ( P ) mặt phẳng qua B vng góc với A ' C Xác định thiết diện ( P) với hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' tính diện tích thiết diện Lời giải  ' 300 BC ';( ABB ' A ')  IBC Gọi I trung điểm A ' B ' Chứng tỏ  3a BI  ; BB ' a Chỉ BMH thiết diện Tính CM CM CM A ' C a      AA ' cos CMH sin ACA ' 3a 2 S  BM MH  16 Diện tích tam giác BMH MH  Câu [HH11.C2.1.E04.c] Cho hình lập phương ABCD ABC D cạnh a Gọi M , N , P trung MNP  điểm đoạn thẳng AD , BB , C D Xác định thiết diện cắt mặt phẳng  với hình lập phương ABCD ABC D , tính theo a diện tích thiết diện Lời giải B C  MS //  BDC   NS //  BDC  Gọi S trung điểm AB , MS //BD NS //C D suy  MNS  //  BDC  Do  MNS  //BC nên  MNS  cắt  BCC B theo giao tuyến qua N song song với BC  cắt BC tại Q  MNS  //BD //BD nên  MNS  cắt  ABC D theo giao tuyến qua Q song song với BD cắt DC  P, Plà trung điểm C D nên Ptrùng với P Do  MNS  //C D nên  MNS  cắt  CDDC  theo giao tuyến qua P song sog với C D cắt DDtại R Do MNS  Do thiết diện cắt  hình lập phương ABCD ABC D  theo lục giác MSNQPR a MR  có tâm O suy ra: cạnh S MSNQPR 6SOMS Câu 1 3a 3a 6 OM OS sin 60  S MSNQPR  Vậy [HH11.C2.1.E04.c] Cho hình chóp S ABCD đáy ABCD hình vng cạnh a , tâm O Đường cao hình chóp SA a M điểm di động SB , đặt BM  x ( ) mặt phẳng qua OM vng góc với  ABCD  a) Xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng ( ) b) Tính diện tích thiết diện theo a x Xác định x để thiết diện hình thang vng Lời giải S K M A D N O B H C E SA   ABCD  a Ta có:      ABCD   SA / /         SAC  OK / / SA      SAB  MN / / SA ,      SABCD  NH qua O      SCD  KH Vậy thiết diện tứ giác MNHK MN / / OK / / SA  MN   ABCD  OK   ABCD  b Ta có ; 1 Std ShtMKON  S KOH  ( MN  KO ).ON  OK OH 2 SA MN BN  x ; KO  ; Tính ON , theo định lý hàm số Cơsin ta có: a a  OH ON  BN  BO  BN BO.cosOBN  x2   2x cos450 2 a2  x  ax  2 (a  x ) x  2ax  a a x  2ax  a s1  s1  4 Suy : ; a2 (a  x) x  ax  Vậy: Std = a Để thiết diện hình thang vuông  MK / / NO / / BC  N trung điểm AB  [HH11.C2.1.E04.c] Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a , BD a Cạnh bên x Câu SA   ABCD     mặt phẳng qua A song song với BD cắt cạnh SC M SA a Gọi    lần khoảng cách từ S đến mặt phẳng    cho khoảng cách từ C đến mặt phẳng Tính diện tích thiết diện tạo mặt phẳng    hình chóp S ABCD Lời giải Ta có AC a SA a  SC 2a 1 a d  C ,   3d  S ,    SM  CM  SC  SO  AM I  SBD  kẻ đường thẳng song song với BD cắt SB , SD E    hình chóp S ABCD tứ giác AEMF Thiết diện tạo BD   SAC   EF   SAC   EF  AM Ta có Trong mp Tính AM , EF S F K a AM  Xét SAM , tính theo hệ thức cosin ta A Xét SAC , kẻ ON / / AM , O trung điểm AC  N trung điểm CM D 1 3 N SN SI  MN  SC MN  CM  SC  SC  2 O H SI SM B C E ON / / AM    SO SN EF SE SI 2 2a SBD : EF / / BD      EF  BD  BD SC SO 5 Xét tam giác M Câu 1 a2 S AEMF  AM EF  10 [HH11.C2.1.E04.c] Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , tất cạnh bên a Gọi điểm M thuộc cạnh SD cho SD 3SM , điểm G trọng tâm tam giác BCD Gọi    mặt phẳng chứa MG song với CD Xác định tính diện tích thiết diện hình chóp với mp   Lời giải S M H D C E G A I F B + Gọi I trung điểm BC DG DM   DS  MG //SI mà SI  ( SBC ) nên MG //  SBC  Ta có DI Qua G kẻ đường thẳng song song với CD cắt AD BC E F Qua M kẻ đường thẳng song song với CD cắt SC H  Thiết diện hình chóp với mp   tứ giác EFHM Ta có HM //EF song song với CD 2a a MD HC  DE CF    HCF 60 nên tam giác DME tam giác CHF suy , , MDE ME FH EFHM hình thang cân 4a a 2a a a     2  9 3 Ta có EM DM  DE  DM DE.cos60 a MH  , EF = a  EF  HM  a2 a2 a h  EM         Gọi h độ dài đường cao hình thang ta có a a 2a 2  S EFHM  h  EF  HM   2 3 Diện tích thiết diện Câu [HH11.C2.1.E04.c] (YÊN LẠC VĨNH PHÚC 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình  thang có AD 2a, AB BC CD a, BAD 60 , SA  ( ABCD ), SA a M I hai điểm       MB  MS  0, IS  3ID 0 Mặt phẳng ( AIM ) cắt SC N Đường thẳng SD vng thỏa mãn   0 góc với mặt phẳng ( AIM ), ANI 90 ; AMI 90 Tính diện tích thiết diện tạo mặt phẳng ( AMI ) hình chóp S ABCD Lời giải Thiết diện tạo mặt phẳng ( AMI ) hình chop S ABCD tứ giác AMNI Ta có S AMNI S ANI  S AMN Ta có AM  a a a 42 , AN  , NI  2 14 3a  S ANI  AN NI  28    15a AM AN 14   AM AN   cos MAN    sin MAN  16 AM AN Ta có 3a   S AMN  AN AM sin MAN  32 Vậy Câu S AMNI  3a 3a 45a   28 32 224 [HH11.C2.1.E04.c] (HSG trường Thạch Thành-Thanh Hóa-18-19) Cho hình chóp S ABCD có AB  AD DC a  a   đáy ABCD nửa lục giác với BC 2a , Biết SD vng góc với AC , mặt bên SBC tam giác đều, O giao điểm AC BD a)Tính SD b)Trên đoạn OB lấy điểm M cho M không trùng với B Mặt phẳng ( ) qua điểm M song song với SD AC Xác định thiết diện hình chóp S ABCD cắt mặt phẳng ( ) Tính diện tích thiết diện theo a x biết BM  x Tìm x để diện tích thiết diện lớn Lời giải S I Q B P 2a C a M N O A D a) Tính SD +) Dựng OI song song SD ( I thuộc cạnh SB ); AC  BD a OA AD 2a    OC  AC  3 Mặt khác: +) Ta có: OC BC 2a  SI  BS   OI BI BO  3      SD BS BD  SD  OI  +) Áp dụng định lý cosin tam giác SIC , tính IC  28a +) Do SD  AC OI // SD nên OI  AC Trong tam giác vng OIC , tính  SD  OI 2a OI  4a ( ) b) Xác định thiết diện hình chóp S.ABCD với mặt phẳng +) Xác định thiết diện tam giác NPQ (với N, P, Q nằm cạnh BA, BC, BS)  MQ // SD, NP // AC  NP  MQ  +) Ta có:  SD  AC S NPQ  NP.MQ +) Diện tích thiết diện: NP  x SBD , tính MQ 2 x , tam giác BAC , tính +) Trong tam giác Diện tích thiết diện: S NPQ  3x 2 +) Vì M thuộc đoạn BO ( M B ) nên  x BO  2a 2a  0 x 3 Do S NPQ 3  2a  2a 2a     S NPQ    Vậy Câu [HH11.C2.1.E04.c] (HSG11-HÀ NAM-2013-2014) Cho hình lập phương ABCD ABC D có cạnh a Gọi I tâm hình vng CDDC  , K trung điểm cạnh CB Dựng thiết diện hình lập phương ABCD ABC D cắt mặt phẳng  AKI  Tính diện tích thiết diện theo a Lời giải D' C' B' A' I Q J N D C K B A Gọi J giao điểm AK CD Q giao điểm JI CC  ; N giao điểm IJ DD Thiết diện tứ giác AKQN Chứng minh AKQN hình thang có đáy KQ , AN Chứng minh C trung điểm JD , K trung điểm JA , Q trung điểm JN S JKQ JK JQ 1   S JAN JA JN 2  S AKQN S JAN  S JKQ 3S JKQ CQ 1 CQ  ND QC     CQ  a CC  3  a 13 a a 10 JK  JQ  ; ; Tính JQ  JK  KQ   cos KJQ     JK JQ 50 ; sin KJQ   cos KJQ 14a  S JKQ  JK JQ.sin KJQ  12 KQ  S AKQN 3S JKQ  14a Câu [HH11.C2.1.E04.c] Cho hình chóp SABCD , ABCD hình vng cạnh , SA   ABCD  , SA 2 Mặt phẳng ( ) qua BC tạo với AC góc 30 o , cắt SA , SD M N Tính diện tích thiết diện BCNM Lời giải S N M H B A D C  BC //AD   MN //BC //AD ( )  (SAD) MN  BC  ( ); AD  (SAD)  Ta có: Mà: BC  BA; BC  SA (SA  ( ABCD))  BC  (SAB)  BC  BM Suy thiết diện BCNM thang vuông B, M Dựng AH  BM o  Ta có: BC  AH (vì BC  (SAB)) Suy ra: AH  ( )  ACH 30 Tam giác ABM vng A , đường cao AH có: 1 1    2   AM  2 2 AM AH AB 3 MN   BM  (tam giác ABM vng cân) Diện tích hình thang vng BCNM   1 S  MB.( MN  BC )    3  3,1820 2  