Câu [DS11.C2.2.E01.d] Có tam giác có độ dài ba cạnh thuộc tập hợp Lời giải F k M 1, 2,,3, 2019 a, b, c M S 2i 1 k k 2i M Với phần tử thuộc có dạng , ta tìm a b c b a 2b a b c 2i b i Do b i 1, 2i 1 b a 2i b b i 1, 2i 1 c 2i 2b 2i a với với ta có giá trị Gọi số tam giác có độ dài ba cạnh i 1 i 1 b i 1 b i 1 a, b, c S (2i 1) (2b 2i 1) 2 b (i 1)(2i 1) (i 1) 2i k 2i thuộc M có dạng ta tính 2b a b 2i 1 b i b [i 1, 2i] Tương tự ta có: Với phần tử Vì k b a 2i b 2i i b i 1 k 1 S (2i ) (2b 2i) 2k i (i 1) nên suy ra: k k k k1 i 1 i 0 i 1 i 0 F (2k 1) S (2i) S (2i 1) i(i 1) (i 1) Với Câu n 2019 k 1 k 4k 3 Thay vào cơng thức ta có kết [DS11.C2.2.E01.d] Trước cửa sốt vé vào rạp hát có hàng gồm 2010 người Do cửa bị hỏng, nên hàng người chuyển tới cửa khác Hỏi có cách lập hàng mới, người giữ nguyên vị trí tiến lên lùi sau một? Lời giải 1, 2, , n thỏa mãn yêu Giả sử ban đầu người thứ k đứng vị trí k Ta cần tìm số hoán vị 1, 2, , n xn số hoán vị 1, 2, , n cầu đề Gọi hốn vị k 1, 2, , n k k k cho với có x1 1, x2 2 Và với n 3 , hốn vị có tính chất n n Dễ thấy n n Nếu n n n 1 n số 1, 2, , n xếp lại theo xn cách cho thỏa mãn yêu cầu đề Nếu n n số 1, 2,, n xếp lại theo xn cách cho thỏa mãn yêu cầu đề x1 1, x2 2, xk 2 xk 1 xk , k 1 Từ thu Vậy x2010 F2011 xn Fn1 số Fibonacci thứ n Câu [DS11.C2.2.E01.d] Một cửa hàng có loại kem: Kem sữa, kem xoài, kem dứa, kem sơ la Một nhóm có người vào ăn kem gọi cốc kem Hỏi có tất lựa chọn? Lời giải Gọi số cốc kem Kem sữa, kem xồi, kem dứa, kem sơcola a b c d 9 đầu ta có Như lựa chọn a; b; c; d a , b , c , d a , b, c , d số nguyên không âm cho , theo a b c d 9 ; a với số ta đặt tương ứng với dãy nhị phân theo quy tắc sau: Viết từ trái sang phải b 0 d chữ số liên tiếp, chữ số , chữ số liên tiếp, chữ số , c chữ số liên tiếp, chữ số , chữ số liên tiếp: 11 1011 1011 1011 a chu so b chu so c chu so d chu so a; b; c; d 12 Như tương ứng với dãy nhị phân có dộ dài ký tự có ký tự ký tự Hiển nhiên tương ứng song ánh số cách chọn số cách chọn vị trí 12 vị trí cho chữ số Thành thử có tất Câu C123 lựa chọn [DS11.C2.2.E01.d] Trong giải bóng đá có 10 trận đấu diễn vịng 30 ngày Hỏi ban tổ chức có cách xếp trận đá bóng khơng có hai trận đấu ngày hai ngày liên tiếp Lời giải Giả sử trận đấu thứ i xếp vào ngày xi Khi đó, cách xếp trận đấu tương ứng với x , x , , x10 thỏa điều kiện sau 10 số x1 x2 x3 x10 30 xi 1 xi 2 với i 1, 29 x , x , , x10 thỏa mãn điều kiện thứ việc đếm trở nên đơn giản Khó khăn Nếu điều kiện thứ Điều kiện bắt buộc số x1 , x2 , , x10 khơng có hai số hai số tự nhiên liên tiếp, ta tìm cách chuyển hai số kề hai số tự nhiên liên tiếp để đếm Ta có x2 x1 2 x2 x1 x2 x1 nên hai số x2 x1 hai số tự nhiên liên tiếp Tương tự vậy, ta có xi 1 xi hai số tự nhiên liên tiếp x , x , , x10 x1 , x2 1, x3 2, x10 Dẫn đến, ta chuyển x , x , , x10 thỏa mãn điều kiện Gọi A tập B y1 , , y10 |1 y1 y y10 21 Xét ánh xạ f : A B xác định sau f x1 , , x10 x1 , x2 1, x3 2,, x10 Ta chứng minh f song ánh 10 Do | A || B |C21 352716 Câu [DS11.C2.2.E01.d] Cho bảng n số nguyên dương cho trước Tìm số cách tơ màu khơng tô ô n màu Hai cách tô màu gọi la cách nhận từ cách phép quay Lời giải Ta đánh số vng hình vẽ Ta nhận thấy có phép quay biến hình vng 0 thành hình vng phép quay góc 90 , 180 270 theo chiều kim đồng hồ (phép quay 360 giữ nguyên hình vng) Qua phép quay nói C ln khơng đổi Với phép quay 90 A1 A2 A3 A4 A1 B1 B2 B3 B4 B1 Tương tự với phép quay 270 A1 A4 A3 A2 A1 B1 B4 B3 B2 B1 Do phép quay tạo phép tô giống cũ ô A tô màu ô B tô màu Với phép quay 180 A1 A3 , A2 A4 , B1 B3 , B2 B4 phép quay tạo phép tô giống cũ cặp ô A1 , A3 , A2 , A4 , B1 , B3 , B2 , B4 tô màu Bây ta bắt đầu đếm số cách tơ Có n cách tô màu ô C Trong số cách tô màu ô xung quanh, ta chia làm loại Loại Gồm cách tô mà ô A tô màu ô B tơ màu Có n cách chọn màu để tô ô A n cách chọn màu để tơ B Suy có n cách tơ loại Với loại phép quay nói khơng tạo cách tơ nên số cách tô loại không thu từ qua phép quay n Loại Gồm cách tô mà cặp ô A1 , A3 , A2 , A4 , B1 , B3 , B2 , B4 tô màu cách tơ khơng thuộc loại Dễ thấy Có n n cách tô (chưa kể đến trùng qua phép quay) Với loại phép quay góc 900 2700 tạo cách tô (sẽ phải loại bớt) hai cách tô trùng n n2 Như có số cách tơ loại không thu từ qua phép quay Loại Gồm cách tơ mà cặp nói tơ khác màu Dễ thấy có n – n cách tơ Tuy nhiên, cách tô tương ứng thêm với 0 cách tô khác thu qua phép quay 90 , 180 270 Câu n8 – n 4 Như số cách tô loại không thu từ qua phép quay n n n n n n 2n N n n 4 Như vậy, số cách tơ cần tìm là: [DS11.C2.2.E01.d] Cho S {1; 2; ; 2015} A tập S cho A không chứa phần tử ước Tìm giá trị lớn A Lời giải m Với số nguyên dương lẻ k , đặt S k {k ; 2k ; 4k ;8k ; k ; } S Rõ ràng ta có tính chất sau: 1) phần tử S k ước 2) S m S n với số lẻ m, n m n 3) S S1 S3 S5 S2015 S A 1 4) Với số nguyên dương lẻ k k (do tính chất (1)) A S1 A S3 A S 2013 A Suy S1 A S3 A S 2015 A 1008 A 1008 Ta xét A0 {1008;1009; ; 2015} , Do 1008x2 2016 2015 nên A0 khơng có chứa phần tử ước Vậy giá trị lớn Câu A 1008 [DS11.C2.2.E01.d] Cho tập hợp M gồm 2014 số dương a1 , a2 , , a2014 Xét tất tập khác rỗng Ti M , gọi si tổng số thuộc tập Ti Chứng minh chia tập hợp tất số si thành lập thành 2014 tập khác rỗng không giao nhau, cho tỉ số hai số thuộc tập tập vừa phân chia không vượt Lời giải Đặt n 2014 Giả sử phần tử M thoả mãn a1 a2 an Đặt S0 0, Sm a1 a2 am m n Gọi P tập tất số si xác định đề P s P | S m s S m Kí hiệu m với m 1, 2,3, , n Ta chứng minh cách chia P thành tập Pm thoả mãn điều kiện toán Muốn ta cần chứng minh b Pm S m 2b h b aik Câu k 1 Thật b S m a1 a2 am nên phải tồn ik để ik m b aik am S m S m Sm b 2b S m Vậy n * n [DS11.C2.2.E01.d] Tập hợp X có phần tử chia thành tập đôi không giao Xét quy tắc chuyển phần tử tập sau: A, B tập X số phần tử A không nhỏ số phần tử B ta phép chuyển từ tập A vào tập B số phần tử số phần tử tập B Chứng minh sau số hữu hạn bước chuyển theo quy tắc trên, ta nhận tập X Lời giải Do tập X có số phần tử chẵn nên số tập có phần tử lẻ chẵn k * tập có số phần tử lẻ, chia 2k tập thành k cặp, thực quy tắc Giả sử có 2k chuyển ta đưa tập có số phần tử chẵn Khi ta đưa trường hợp tập có số phần tử chẵn Nếu n 1 , toán chứng minh Xét n 2 n Do 4 , suy số tập có số phần tử chẵn không chia hết cho phải chẵn Giả sử có * 2m m tập có số phần tử chẵn khơng chia hết cho Chia chúng thành m cặp Câu thực phép chuyển phần tử theo quy tắc ta thu tập có số phần tử chia hết cho n Thực tương tự trên, sau hữu hạn bước ta tập có số phần tử chia hết cho , ta nhận tập X [DS11.C2.2.E01.d] Bàn cờ vua có hình vng, cạnh chia thành ơ, tổng cộng có 64 Một qn xe “ăn trực tiếp” quân cột hàng với Giả sử bàn cờ có quân xe màu khác nhau, hỏi có cách đặt quân xe lên bàn cờ cho chúng không “ăn” lẫn nhau? Lời giải Có 64 cách đặt quân xe lên bàn cờ Qn xe thứ ăn trực hàng dọc hàng ngang nằm 14 ô hàng cột với Do đặt quân xe thứ hai vào 63 14 49 cịn lại Tiếp tục ta có, quân xe thứ hai ăn trực hàng dọc hàng ngang nằm 14 hàng cột với nó, để ý có vị trí giao hàng cột hai quân xe thứ thứ hai, suy số cách đặt quân xe thứ ba 48 (14 2) 36 Câu cách.Suy số cách đặt quân xe thỏa đề là: 64.49.36 112896 A 0,1, 2,3, 4,5, 6 [DS11.C2.2.E01.d] Cho tập hợp Có thể lập số tự nhiên gồm chữ số khác lấy từ tập A cho phải có mặt chữ số lẻ chúng không đứng liền Lời giải Giả sử a1a2 a3a4 a5 số cần tìm.Ta tính tất số gồm chữ số cho ln có mặt chữ số lẻ, sau trừ trường hợp mà số lẻ đứng liền Trường hợp 1: Tất có số lẻ, xếp số lẻ vào vị trí, tacó: A5 60 cách Khi cịn lại vị trí chọn tuỳ ý số chẵn, ta có A4 12 cách Vậy có: 60.12 720 (số) Trong số trừ trường hợp a1 0 : 2, 4,6 ta có Nếu a1 0 xếp số lẻ vào vị trí, cịn lại vị trí chọn số chẵn A43 A31 72 (số) Suy có: 720 72 648 (số) gồm chữ số cho ln có mặt chữ số lẻ Trường hợp 2: Tính số có chữ số cho có số lẻ đứng liền - Nếu a1a2 a3 số lẻ ta có A3 6 (cách xếp) Khi vị trí cịn lại a4 a5 chọn tuỳ ý số chẵn, ta có: A4 12 Vậy có: 6.12 72 (số) -Nếu a2 a3 a4 số lẻ ta có A3 6 (cách xếp) Khi đó: a1 có cách chọn ( a1 0) ; a5 có cách chon Vậy có: 6.3.3 54 (số) -Tương tự a3a4 a5 số lẻ có 54 (số) Suy có: 72 2.54 180 số có số lẻ đứng liền Vậy có 648 –180 468 số có chữ số khác lấy từ tập A cho số lẻ không đứng liền Câu [DS11.C2.2.E01.d] Cho bảng n số nguyên dương cho trước Tìm số cách tơ màu khơng tô ô n màu Hai cách tô màu gọi la cách nhận từ cách phép quay Lời giải Ta đánh số vng hình vẽ Ta nhận thấy có phép quay biến hình vng thành hình vng phép quay góc 900, 1800 2700 theo chiều kim đồng hồ (phép quay 3600 giữ ngun hình vng) Qua phép quay nói C ln khơng đổi Với phép quay 900 A1 A2 A3 A4 A1 B1 B2 B3 B4 B1 Tương tự với phép quay 2700 A1 A4 A3 A2 A1 B1 B4 B3 B2 B1 Do phép quay tạo phép tô giống cũ ô A tô màu ô B tô màu Với phép quay 1800 A1 A3, A2 A4, B1 B3, B2 B4 phép quay tạo phép tô giống cũ cặp ô (A1, A3), (A2, A4), (B1, B3), (B2, B4) tô màu Bây ta bắt đầu đếm số cách tơ Có n cách tô màu ô C Trong số cách tô màu ô xung quanh, ta chia làm loại Loại Gồm cách tô mà ô A tô màu ô B tơ màu Có n cách chọn màu để tơ ô A n cách chọn màu để tô C Suy có n2 cách tơ loại Với loại phép quay nói không tạo cách tô nên số cách tô loại không thu từ qua phép quay n2 Loại Gồm cách tô mà cặp ô (A1, A3), (A2, A4), (B1, B3), (B2, B4) tô màu cách tơ khơng thuộc loại Dễ thấy Có n4 – n2 cách tô (chưa kể đến trùng qua phép quay) Với loại phép quay góc 900 2700 tạo cách tô (sẽ phải loại bớt) hai cách tơ trùng Như có (n4-n2)/2 số cách tô loại không thu từ qua phép quay Loại Gồm cách tơ mà cặp nói tơ khác màu Dễ thấy có n8 – n4 cách tơ Tuy nhiên, cách tô tương ứng thêm với cách tô khác thu qua phép quay 900, 180 2700 Như số cách tô loại không thu từ qua phép quay (n8 – n4)/4 Như vậy, số cách tô cần tìm n n n8 n N n n Câu n n 2n [DS11.C2.2.E01.d] Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, lập số tự nhiên, số có chữ số thỏa mãn điều kiện: Sáu chữ số số khác số tổng ba chữ số đầu nhỏ tổng ba chữ số cuối đơn vị Lời giải Các số tự nhiên có chữ số có dạng: a1 a2 a3 a4 a5 a6 a1a2 a3a4 a5 a6 ;(ai 1, 2,3, 4,5, 6 ; a j ) cho a4 a5 a6 11 a1 a2 a3 10 (1) Vì a1 , a2 , a3 1, 2,3, 4,5, 6 chữ số khác nên hệ thức (1) thỏa mãn ba khả sau: a1 1, a2 3, a3 6 hoán vị ba số 1, 3, a1 1, a2 4, a3 5 hoán vị ba số 1, 4, a1 2, a2 3, a3 5 hoán vị ba số 2, 3, Mỗi số a1 , a2 , a3 tạo 3! hoán vị, hốn vị lại ghép với 3! hoán vị số a4 , a5 , a6 , tổng cộng số số tự nhiên gồm chữ số thỏa mãn điều kiện đề 3.3!.3! = 108 số