D03 một số phương pháp đặt ẩn phụ muc do 3

Câu [DS10.C3.1.E03.c] (HSG Toán 12 - Lâm Đồng năm 1819) Giải phương trình x2 1- x + + x = Lời giải Điều kiện: - £ x £ Đặt t = 1- x + + x Þ t2 - = 1- x 2 , với Phương trình theo t có dạng: Û 1- x + + x = t= ổ t2 +ỗ ỗ ỗ ố 2£t£ 2 2÷ ÷ ÷ ÷ ø Û ( t - 2) ( t + 4t + 8) = Û t = 2 1- x = Û x = Vậy phương trình có nghiệm x = Câu [DS10.C3.1.E03.c] Giải phương trình √ x 2+14 x+9−√ x 2−x −20=5 √ x+1 Lời giải Điều kiện: x 5 Chuyển vế x  x  20 sang phải bình phương vế, ta x  x  5 ( x  x  20)( x 1)  2( x  x  5)  3( x  4) 5 ( x  x  5)( x  4) Với điều kiện x 5 x  x  0 , x   nên chia hai vế phương trình cho đặt y +) Với x  x2  x  0 y x4 y 1 , ta có phương trình: y  y  0 suy y x2  4x  y 2 x  x4 , tức , ta x 8 x2  x   61 y 1 x x4 +) Với y 1 , tức , ta Kết hợp với x 5 ta x 8 Câu x  61 [DS10.C3.1.E03.c] Tìm tất giá trị tham số m để phương trình sau có nghiệm phân biệt x   x  x  x  m 0 Lời giải + Điều kiện   x  2 Đặt 2t  x   x với  t   x 2t  2  x t   t Ta có 2t  x   x Nhận xét Với  t  t   t 2t Với t  t   t 2t Do  t2 Với  t  phương trình có nghiệm x t  Với t  phương trình có nghiệm x t   t Như vậy, để phương trình cho có nghiệm phân biệt cần phải có nghiệm t1 , t2 thỏa mãn  t1  t2  2 Phương trình cho trở thành 2t m  2t   m  2t  2t  Vế phải phương trình parabol hình vẽ m m 2-2 -1 O t -2 Để phương trình có nghiệm t1 , t2 thỏa mãn  t1  t2  2  m 2 Câu [DS10.C3.1.E03.c] Giải phương trình sau: x  x  2013 2013 Lời giải ĐK x  2013 2 Đặt t  x  2013 ( với t 0 )  t x  2013  t  x 2013  x  t 2013   x  t   x  t  1 0 2 t  x  2013  Ta có hệ PT:  + Với x  t 0 ta t  x  x  2013  x 1 x 8053 nghiệm Giải ta + Với x  t  0 ta : t  x   x  1 x  2013  x  8049 nghiệm Giải ta  8053   8049 x x 2 Đáp số : ; Câu [DS10.C3.1.E03.c] Giải phương trình: x + = x + Lời giải x ³ Điều kiện: Đặt a = x - x + , b = x + 2 Ta có phương trình: a + 2b = 3ab Þ a = b Ú a = 2b a = b Þ x2 - x + = x + Þ x =1 Ú x = a = 2b Þ x - x + = ( x + 2) Þ x = ± 13 Thử lại, ta có nghiệm: {1; 2;3 ± 13 } Câu [DS10.C3.1.E03.c] Giải phường trình x  x   ( x  1) x  0 Lời giải x  Điều kiện Đặt t  x  (t 0)  x t  Phương trình trở thành  t 0 2t  t  9t  2t 0  t (t  2)(2t  5t  1) 0   (Do 2t  5t   t ) t   + Với t 0  x  + t 2  x 3 Vậy phương trình có hai nghiệm x  1; x 3 Câu [DS10.C3.1.E03.c] Giải phương trình x  3 x  Lời giải x  Điều kiện : Đặt a  x  x  4; b  x   a b a  2b 3ab    a 2b Ta có phương trình: a b  x  x   x   x 1   x 2 a 2b  x  x  4  x    x 3  13   x 3  13 Thử lại, ta có nghiệm : Câu  1; 2;3  13 [DS10.C3.1.E03.c] Giải phương trình x  x   ( x  1) x  0 Lời giải Giải phương trình x  x   ( x  1) x  0 Điều kiện: x  + Đặt t  x  (t 0) Suy x t  + Phương trình cho trở thành: 2t  t  9t  2t 0 - Với t 0 suy x   t 0   2t  t  9t  0 - Xét phương trình 2t  t  9t  0 2t  t  9t  0  (t  2)(2t  5t  1) 0  t 2 (vì 2t  5t   0, t 0 ) Với t  suy x 3 Vậy phương trình cho có hai nghiệm x  x 3 x Câu [DS10.C3.1.E03.c] Giải phương trình: x 2 x  Lời giải  2x t x Đặt Câu 1 x ,(t  2) Chuyển phương trình bậc hai: 2t  5t  0  t 2, t  (l ) 2 x Từ giải x x  36 x  53 25  3 x  [DS10.C3.1.E03.c] Giải phương trình : Lời giải   3 Pt tương đương x  (2 x  3)  x  3 Đặt x  2 y   (2 y  3) 3 x  (1) Pt tương đương x  y  (2 x  3) (2) x 2; x  Lấy (1) trừ (2) ta x = y thay vào pt Câu 5  x3  [DS10.C3.1.E03.c] Giải phương trình x  Lời giải u , v 0  Đặt u  x  v  x  x   5u u 2     v v 2 Ta 5uv 2(u  v )  u 2 TH1: v vô nghiệm u  v 2   u 1  v  x1  u  37   x   x  x    x  v 2   x   37  TH2:  37  37 x ;x  2 Vậy nghiệm phương trình Câu 1 + x3 = [DS10.C3.1.E03.c] Giải phương trình x + Hướng dẫn giải Đặt u  x 1 , v  x  x  ( u, v không âm)  5uv 2 u2  v Ta u 2 TH1 v vô nghiệm  u  v 2  5u  u  u 1  2     v v  v Câu  x    x   37   u  x   37 2  x   x  x    TH2 v  37  37 x x 2 Nghiệm phương trình , 13   [DS10.C3.1.E03.c] Giải phương trình x  x  x  x  x Lời giải Điều kiện:  PT Đặt   x 0   x 1  x   3x   t 3x  x  13 3x   x 6 x  t 13   6    t t 6  t  PT  x  1 3x     x  11x  0   x  x 1 t  2 ta có Với 3x   4  x  0 x Với t 4 ta có (PTVN) 3 x    x  0 Câu [DS10.C3.1.E03.c] Giải phương trình Lời giải Cách 1) 3 x    x  0  3 x   4  x   ;5 VP hàm số nghịch biến   ;5 nên phương trình VT hàm số đồng biến có nghiệm nghiệm dễ có nghiệm x 1 Cách 2) 3 Đặt y  x  ta phương trình y  y  30 y  47 0   y  1  y  17 y  47  0  y 1  x 1 Câu [DS10.C3.1.E03.c] (HSG 11-Quỳnh Lưu 3-19-20) Giải phương trình:   3  x  x   x   2  x    Lời giải ĐK: x  Nhận thấy x  nghiệm Khi PT tương đương  x 2   2x  1 x3 1 (x  2)x1   2  x  2x  1 x3 1x 2x xu   Đặt PT trở thành u  x3   x  u3   u2  ux  x2  (u  x )   3  x   u  u  x   u  ux  x2    V  x   u  N 2x   x   x3  2x   x    x     Câu  1   [DS10.C3.1.E03.c] (HSG cấp trường lớp 11 – THPT Cẩm Thủy – Thanh Hóa – 2017 - 2018) Tìm m để phương trình:  x  x  ( x  1)(3  x) m  có nghiệm Lời giải + Điều kiện:   x 3 2 Đặt t  ( x  1)(3  x)   x  x    ( x  1)  2  t 2 2  x  x t  t  4t m, t   0; 2 phương trình  x  x  ( x  1)(3  x) m  (1) có dạng (2) + Xét hàm số f  t  t  4t  0; 2 , có đỉnh I   2;   t   0; 2  m 12 Lập BBT  PT (1) có nghiệm (2) có nghiệm t/m Vậy m 12 Câu [DS10.C3.1.E03.c] Giải phường trình x  x   ( x  1) x  0 Lời giải Điều kiện x  Đặt t  x  (t 0)  x t  Phương trình trở thành  t 0 2t  t  9t  2t 0  t (t  2)(2t  5t  1) 0   (Do 2t  5t   t ) t   + Với t 0  x  + Với t 2  x 3 Câu Vậy phương trình có hai nghiệm x  1; x 3 [DS10.C3.1.E03.c] (HSG10_OLYMPIC THÁNG 4_ĐỒNG NAI_2017-2018) Giải phương trình x  3 x  Lời giải Điều kiện : x 2 Đặt a  x  x  4; b  x   a b a  2b 3ab    a 2b Ta có phương trình:  x 1 a b  x  x   x     x 2  x 3  13 a 2b  x  x  4  x      x 3  13  Câu  1; 2;3  13 Thử lại, ta có nghiệm : [DS10.C3.1.E03.c] (HSG10_SỞ GD&ĐT_QUẢNG NAM_2016-2017) Giải phương trình x  x   ( x  1) x  0 Lời giải Giải phương trình x  x   ( x  1) x  0 Điều kiện: x  + Đặt t  x  (t 0) Suy x t   t 0   2t  t  9t  0 + Phương trình cho trở thành: 2t  t  9t  2t 0 - Với t 0 suy x  - Xét phương trình 2t  t  9t  0 2t  t  9t  0  (t  2)(2t  5t  1) 0  t 2 (vì 2t  5t   0, t 0 ) Câu Với t  suy x 3 Vậy phương trình cho có hai nghiệm x  x 3 [DS10.C3.1.E03.c] [HSG11-NGHỆ AN- 2015-2016] Giải phương trình x3  x   5x2  Lời giải Điều kiện phương trình: x  0 Đặt Phương trình cho trở thành 5x2  t 2 , t 0 Ta có x 6t  x  6t   t  x  t  (t  1)3 5x  x   x   x     x   28 5 x  6( x  1)  x  12 x  0  x (t  1)3  t  x   Đối chiếu điều kiện ta nghiệm phương trình x   28 Câu 1  x3  [DS10.C3.1.E03.c] (HSG 11 – HÀ NAM 2009-2010) Giải phương trình x  Lời giải  u, v 0  Đặt u  x  v  x  x  5u u 2     v v 2 Ta 5uv 2(u  v )  u 2 TH1: v vô nghiệm Câu u  v 2   u 1  v  x1  u  37   x   x  x    x  v 2   x   37  TH2:  37  37 x ;x  2 Vậy nghiệm phương trình [DS10.C3.1.E03.c] (HSG10_THPT-PĐP_2017-2018) 13   Giải phương trình x  x  x  x  x Lời giải Điều kiện:    x 0   x 1  x   3x   x PT t 3x  x Đặt  13 3x   x 6  t 13   6   t t 6  t  PT trở thành: Câu  x  1 3x     x  11x  0   x  x 1 t  2 ta có Với 3x   4  x  0 x Với t 4 ta có (PTVN) [DS10.C3.1.E03.c] Giải phương trình sau tập số thực:  x  1 x  2 x3  x  Lời giải Ta có 3 x  2 x3  x    x  1   x  1 x   x  0  x  1 Đặt t  x  , t 0 ta phương trình : 2t   x  1 t  x  0 suy phương trình có hai nghiệm 4x  1 4x  4x  1 4x  t  t 2 x  t  Với có   x  3 1 x3    x    x   x  4 Với t 2 x    x   x  0   x 2  3  x  2 x   x  4 x  x   x 0, x 2  S   Vậy tập nghiệm phương trình Câu 3  ; 2  2 [DS10.C3.1.E03.c] Tính tổng nghiệm phương trình: 3x  15 x  x  x  2 Lời giải Ta có: 3x  15 x  x  x 1 2  x  15 x   x  x   0   x  x  1  x  x   0 x  x  t  t 0  , ta phương trình ẩn t :  t 1  TM  3t  2t  0    t   koTM   Đặt  x  x  1  x  x 0  x 0    x  Vậy tổng nghiệm phương trình  Câu [DS10.C3.1.E03.c] Giải phương trình:  4x   x   x3  Lời giải 3  y  x 3  3 4x  x   y Đặt y 4 x  x  Ta có hệ phương trình:   (1) (2)  3   x  y  x  xy  y  0 x  y  x  y  Từ (1) (2) ta có: Trường hợp 1: y  x Thay vào (1) ta có:  x  0  x  3 Trường hợp 2: 2  y3   y2   y  x  xy  y  0   x  y   y  0 27 Tương tự: Khi đó:  x3  27 y  x 4 3 27 ( Vơ lý) Vậy phương trình có nghiệm là: Câu x  3 [DS10.C3.1.E03.c] (HSG Dak-Lak 2011-2012) Giải phương trình sau tập số thực  : x  x3  x   x  x  0 Lời giải Phương trình  x  x3  x   x  x   2  x  x  0  x  x  x  x      x  x 0   Đặt t  x  x , t 0 t4  t2  Ta có phương trình  x 0  Với t 0  x 1  t 0 2t 0   t   x   Với t   x 2 Câu [DS10.C3.1.E03.c] (HSG Toán 10 Cụm Trường Hà Đơng – Hồi Đức Hà Nội 2018 - 2019) Cho x   m   x  2m  0 m phương trình ( tham số) Tìm tất giá trị tham số m để 4 4 phương trình có nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 , x4 thỏa mãn x1 +x2  x3  x4 52 Lời giải x   m   x  2m  0  1 Đặt t  x , t 0 t   m   t  2m  0   Phương trình trở thành  1 có nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 , x4  Phương trình   có nghiệm dương phân Phương trình biệt t1 , t2  '(2)    S   P   m  2m     m   2m    m      m    t1  t2 2  m    t t 2m  Áp dụng định lý Vi-et, ta có  4 4 2 x  x  x  x  52 t  t 52 Đến đây, nên 2  t  t2 26   t1  t2   m 1  4m  12m  16 0    2t1t2  26 0  m   * ta m 1 Đối chiếu điều kiện Cách 2: x   m   x  2m  0   x  1  x  2m  3 0  x  0    x  2m  0  x 1   x 2m    Phương trình (1) có nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 , x4 phương trình (2) có nghiệm phân biệt khác nghiệm x 1; x   2m     1 2m  3  m      m  4 4  (1)  ( 1)4  x  x  x  x  52 Ta có :  m 1    2m  3 25  m    ta m 1 Đối chiếu điều kiện    2m    2m  Câu [DS10.C3.1.E03.c] (HSG Đồng Tháp năm 2011-2012) Giải phương trình: ,với x  R Lời giải Điều kiện:   x  , x 1 Chia hai vế phương trình cho x , ta được: x2 x Đặt 52 x2  2x x  3 x  x 1 1 3   x   x   0 x x x x t  x Với t 1    t 1  x ,  t 0  Ta có: t  2t  0   t   t 1 x 1 1  x x  x  x  0 ( thỏa mãn) 1 x Vậy phương trình cho có nghiệm: Câu [DS10.C3.1.E03.c] (HSG LÂM ĐỒNG 18-19) Giải phương trình Lời giải Điều kiện  x 1 t2     x2 t   x   x Đặt , với t  t Phương trình theo có dạng  x   x 2  x2  t2      t  2  4t   0  t 2 (nhận) Với t 2 ta  x   x 2   x 1  x 0 Vậy phương trình có nghiệm x 0 Câu   t  2 t 2 [DS10.C3.1.E03.c] Giải phương trình: 19 + 3x + - x - x + = - x + 12 + x Lời giải ïìï - x2 - x + ³ ïï Û - 3£ x £ í 2- x ³ ïï ï 3+ x ³ Điều kiện xác định: ïỵ Bất phương trình cho tương đương với: ( 19 + 3x + ( - x) ( + x) = - x + + x Đặt t = - x + + x, t > ) ta có: t2 = - x + 4( + x) + ( - x) ( + x) = 14 + 3x + ( - x) ( + x) ét = + t = 6t Û t - 6t + = Û ê êt = ê ë Thay vào phương trình ta được: +) t =1Û - x + + x = Û - x + 4( + x) + ( - x) ( + x) = Û 3x + 13 + - x2 - x + = vô nghiệm - £ x £ +) t =5Û - x + + x = Û - x + 4( + x) + ( - x) ( + x) = 25 ìï ïï 16 - x2 - x + = ( 11- 3x) Û - x - x + = 11- 3x Û í ïï 11- 3x ³ ïỵ ìï 25x2 - 50x + 25 = ï Û ïí Û x =1 ïï x £ 11 ïïỵ thỏa mãn điều kiện ( Câu Vậy tập nghiệm phương trình cho [DS10.C3.1.E03.c] Giải phương trình ) S = {1} 11 - x - 26 = - 7x + + x + + 3x - x2 Lời giải Điều kiện - £ x £ Viết lại phương trình cho dạng ( 1+ x) - ( ) - x + + x - 6( - x) + 11 - x - = Coi phương trình bậc hai ẩn + x Phương trình có biệt thức ( ) D = ( - x) + 4 - x + + 24( - x) - 44 - x + 12 = - x - ³ Từ tìm + x = - - x + + x = - x - Ta có + x = - - x + Û + x + - x = Û 4 + 3x ìï ï £ x£ Û ïí Û ïï 2 64 + 48 x 16 x = x 48 x + 64 ïïỵ Xét phương trình 1+ x = - x - + Với - £ x < 3thì £ 1+ x < < - x - £ - + Với < x £ - £ - x - < < 1+ x £ Câu x2 = 3x - éx = ê ê Û x=0 êx = 96 ê 25 ë + Với x = 3thì + x = = - x - Vậy phương có nghiệm x = Đối chiếu điều kiện kết luận nghiệm: Phương trình cho có hai nghiệm x = 0và x = [DS10.C3.1.E03.c] Giải phương trình 11 - x - 26 = - 7x + + x + + 3x - x2 Lời giải Điều kiện - £ x £ Viết lại phương trình cho dạng ( 1+ x) - ( ) - x + + x - 6( - x) + 11 - x - = Coi phương trình bậc hai ẩn + x Phương trình có biệt thức ( ) D = ( - x) + 4 - x + + 24( - x) - 44 - x + 12 = - x - ³ Từ tìm + x = - - x + + x = - x - Ta có + x = - - x + Û + x + - x = Û 4 + 3x ìï ï £ x£ Û ïí Û ïï 2 64 + 48 x 16 x = x 48 x + 64 ïïỵ Xét phương trình x2 = 3x - éx = ê ê Û x=0 êx = 96 ê 25 ë 1+ x = - x - + Với - £ x < 3thì £ 1+ x < < - x - £ - + Với < x £ - £ - x - < < 1+ x £ + Với x = 3thì + x = = - x - Vậy phương có nghiệm x = Đối chiếu điều kiện kết luận nghiệm: Phương trình cho có hai nghiệm x = 0và x = Câu [DS10.C3.1.E03.c] Giải phương trình 3x + - x - = Lời giải ĐKXĐ: x ³ - 7/ Đặt: x - = t Þ x = t3 + PT trở thành: Û 3(t + 6) + = 5t + ìï t ³ - 4/ Û ïí Û ïï 4(3t + 25) = (5t+ 4)2 ïỵ ìï t ³ - 4/ ïï Û ïí Û ïï t = Ú t = ± 2017 ïïỵ 24 ìï t ³ - 4/ ï Û í ïï 12t - 25t - 40t + 84 = ïỵ ét = ê ê êt = + 2017 ê 24 ë ìï t ³ - 4/ ï í ïï (t - 2)(12t - t - 42) = ïỵ Với t = Þ x = 14 Với ỉ + 2017 ỗ1 + 2017 ữ ữ t= ị x = 6+ỗ ữ ỗ ữ ỗ 24 24 ữ ç è ø 3ü ïìï ïï ỉ + 2017 ữ ỗ ù ù ữ S = 14; + ỗ ữ ý ỗ ữ ùù ỗ 24 ữùù ỗ ố ứ ù ợù ỵ Vy phng trỡnh có tập nghiệm là: Câu 3x - + ( 4x - 7) - x = 32 ( x Ỵ ¡ [DS10.C3.1.E03.c] Giải phương trình ) Lời giải ìï 3x - ³ ï Û £ x£ í ïï - x ³ Điều kiện xác định: ỵ Phương trình cho tương đương với: ( 7- x + x) 3x - + ( 3x - + x) - x = 32 Û ( - x) 3x - + x 3x - + ( 3x - 7) - x + x - x = 32 Û Û - x 3x - ( Đặt ( ) ( - x + 3x - + x )( - x + 3x - ) - x + 3x - = 32 ) - x 3x - + x = 32 (*) ( ) t = - x + 3x - Þ t = x + - x 3x - Þ x + - x 3x - = t2 t2 t = 32 Û t = 64 Û t = nên (*) trở thành - x + 3x - = Û 2x + - x 3x - = 16 Û Û ( - x) ( 3x - 7) = ( - x) £ x£ (vì ) Û 4x2 - 44x + 113 = Û x = 11 ± 2 (thỏa điều kiện) Vậy phương trình cho có hai nghiệm Câu - x 3x - = - x x= 11 ± 2 [DS10.C3.1.E03.c] (HSG Lớp 11 THPT Đặng Thúc Hứa 2017-2018) Giải phương trình sau  x  x  x   x   Lời giải  u  0; v 0  Điều kiện x  Đặt u  x  3; v  x  2 Khi phương trình cho trở thành:  u  v   u  v  0    u  2  v  u  v  0 +) Với u  v  0 ta có: +) Với u  v  0 ta có x2   x2  x 1 x2   x  x  3   x 7   6 x  8  x  x   33   x    2  x  1  x  x   0  (HSG x   0  x   x   0   x  3   x   x  11  x  Câu [DS10.C3.1.E03.c] u   4v v  2u   u  1  v   11  0 vô nghiệm x2    x 7  8  x  x 0  2 36( x  2)   x  x   x    x 2  TRẦN PHÚ 2012-2013) Giải phương trình sau: x  x  2013  2013 Lời giải Điều kiện x  2013 2 Đặt t  x  2013 (với t 0 )  t  x  2013  t  x 2013 Ta có hệ phương trình:  x  t 2013 2 t  x 2013   x  t   x  t  1 0 Với x  t 0 ta t  x  x  2013  x Giải ta 1 x 8053 nghiệm Với x  t  0 ta x  t  x   x  2013 Giải ta nghiệm 1 x Đáp số: 8053   8049 x 2 ; x   8049