Dãy số

Câu (HSG NAM ĐỊNH 2014-2015) Cho dãy số  un  xác định u1 5  Tính lim un  n un 1 n 1  un   n , n 1  Lời giải un  0, n  N * ; unn11 unn  Do đó: u2  u1  u33  u22  1  unn11  unn  n n 5 ; 51 52 unn  unn 11  5n  1 1   Suy ra: n 1 1 un  u1     n     5 1 1   n  un     n  1 1   n  un     n n n6     (theo bất đẳng thức côsi) 1  n n  5 Mặt khác lim    1 Vậy lim un 1  n Câu 3: (HSG ĐÀ NẴNG NĂM 2011-2012) Cho a, b, c ba số (un ) dãy số xác định công thức: un a n   b n   c n  (n  *) un 0 a  b  c 0 Chứng minh lim n  Lời giải un n2 n 3 a  b c   a  b  c n   n 1 n 1 n 1 un () 0 Ta có: un vn n  cho nên: a  b  c 0 nlim   Ngược lại a  b  c 0  a  b  c n   ta có b 2c un b n   n   c n   n    0 n   n 1 n   n 1 Đặt   Câu 4:    (HSG ĐÀ NẴNG NĂM 2011-2012) Các số a, b, c (theo thứ tự đó) lập thành cấp số nhân có tổng 26 Tìm số đó, biết rằng: cấp số cộng có a số hạng thứ nhất, b số hạng thứ ba c số hạng thứ chín Lời giải Gọi u1 a, u2 b, u3 c ba số theo thứ tự lập thành cấp số nhân có cơng bội q ;   cấp số cộng có cơng sai d với v1 a, v3 b, v9 c Khi ta có: u1 v1 a u v b    u  v  c  u1  u2  u3 26 u1 v1 a  (1) aq a  2d  aq a  8d (2) 3a  10d 26 (3) Dễ thấy q 1  d 0 , nên: q 1  a b c  26 2d  a  q    q 3  a 2, b 6, c 18 Nếu q 1 (ad 0) hệ trở thành  q  4q  0    a d 2  3a  10d 26  n Câu 5: (HSG ĐÀ NẴNG NĂM 2011-2012) Chứng minh rằng: với số tự nhiên n, số 23  chia hết cho 3n1 không chia hết cho 3n2 Lời giải n Đặt An =  +) n = A0 = 21  = chia hết cho 31 mà không chia hết cho 32 k Giả sử Ak = 23  chia hết cho 3k+1 mà không chia hết cho 3k+2 (Ak = B.3k+1; với B nguyên, không chia hết cho   Ta có: Ak+1 = 23k 1   23k    23k  1  23k   23k  k k k Ak+1  Ak  Ak2  23  = B 3k 1   B 3k 1   23  = 3k 2  B 32 k 1  B 23  Dễ thấy: B 32 k 1 chia hết cho mà B 23 khơng chia hết cho (vì B khơng chia hết cho 3) nên k B 32 k 1  23 không chia hết cho  Ak+1 chia hết cho 3k+2, không chia hết cho 3k+3 k    (HSG ĐỀ 046) Tính tổng sau S 2  22  222  2222    22 Câu 5: n sô Lời giải  10  102  10 n    S 2(1  11  111   111 1) 2       2  10 n  20  (10  102  103   10 n  n )   10  n   10 n 1  n  9 9 81  81 Câu 6: (HSG ĐỀ 046) Tính giới hạn sau L lim x x  2.3 x  3.4 x  2013 2012.2013 x  x Lời giải L lim   x 1  2.3 x  3.4 x 1 2013 2012.2013 x x2 x   lim  2.3 x   3.4 x  2013 2012.2013 x x x L lim   x 1   lim x  2013 2012.2013 x  x 2013 2012.2013 x  x x 2.3 x  3.4 x 1 2013 2012.2013 x x2 x   lim  2.3 x   3.4 x  2013 2012.2013 x x Chứng minh công thức: lim x   lim x n ax   a   a 0; n  *  (1) x n Áp dụng (1) ta thu L 1     2012  Câu 6: 2011.2012 2011.1006 2023066 (HSG ĐỀ 047) Cho dãy số  un  xác định bởi: u1 sin1; un un   sin n , với n2 n  , n 2 Chứng minh dãy số  un  xác định dãy số bị chặn Lời giải 1 1      2 n 1 1 1     Thật vậy, ta có       n 1.2 2.3 n  n  1 Nhận xét Với số nguyên dương n ta có: 1 1 1      2   suy nhận xét chứng minh 2 n n n sin1 sin sin n Trở lại tốn, từ cơng thức truy hồi ta được: un     2 n 1 Ta có un      với n (theo nhận xét trên) (1) n  1 Mặt khác un         với n (theo nhận xét trên) (2) Từ (1) (2) suy n  1 1   dãy số cho bị chặn Câu 6: (HSG ĐỀ 048) Xét hai dãy số: ( an ), (bn ) thỏa mãn a1  0; b1  0; an1 bn  1 , bn1 an  , n 1,2,3 an bn Chứng minh (a2006 + b2006)2 > 16039 Lời giải Ta có Si = (ai + bi) (i=1,2,3….) Thì… Si+1 = (a i+1 + bi+1   1  ) =    bi       : (i=1,2, )  bi    2 =   bi   1  1 +2   bi           bi   bi   1   bi          bi    bi  Nên ta có: (a1 + b1)2 > 0; (a2 +b2)2 > 0; (a2 +b2)2 > (a1 + b1)2 + ……………………… (a2006 +b2006)2 > (a2005 + b2005)2 + Cộng bất đẳng thức ta có: (a2006 +b2006)2 > 2005 = 16040 > 16039 n u1 2014 (n  * ) Đặt S n  Câu (HSG HÀ NAM) Cho dãy số  un  xác định sau:  k 1 uk un 1 1  u1u2 un imSn Tìm l n  Lời giải ui 1 1  u1u2 ui i 1  ui 1  ui (ui  1)  ui  i 1, ui 1   u1 i 1 1 1 1      ui 1  ui  ui ui ui  ui 1  Sn   1   u1 un 1 1        u1 u2  u3  un  un 1  u1 un 1  un 1  u1u2 un  u1 (1  u1 ) n  2014.2015n  0 un 1  lim n    2014.2015n  1 0  lim n n   2014.2015 un 1  lim sn  n   Câu 6:  u1 1007 (ĐỀ THI OLYMPIC 11 – BIM SON 2012) Cho dãy số (un ) xác định u1 2012   n  4n  u , n  un 1  n 2n  n  Hãy lập công thức tính un theo n tính lim un Lời giải un 1 (n  1)  2(n  1) u un   n 2 n  2n (n  1)  2(n 1) n  2n u u 2012 1 Đặt  n  1     cấp số nhân có cơng bội q  số hạng đầu v1   n  2n 2 3 Ta có un 1    2012 4024 n  2n  u  n 2n  2n n n 3 +) Ta có (1  1) Cn  Cn  Cn  Cn   Cn Cn   un  8048 n(n  1)(n  2) n  2n n(n  1)(n  2)   n  2n  n n2 lim  8048  8048lim 0  lim un 0 n(n  1)(n  2)    2  1  1   n  n  Câu 7: (ĐỀ THI OLYMPIC 11 – BIM SON 2012) Tính giới hạn sau: L lim x n  N* Lời giải  (1  x) n  (1  nx)  nx   3nx     +) Xét n 2 L lim 2 x   x x   (1  x) n   3nx , x2   (1  x) n  (1  nx)2 (1  nx)3  (1  3nx)   lim   x  n 2 (1  x) 1  nx x (1  nx )  (1  nx)  3nx  (1  3nx)   x   2 C x  Cn3 23 x3   Cnn 2n x n  n x 3n x  n3 x3 lim  n  x  x (1  x) n 1  nx x (1  nx )  (1  nx )  3nx  (1  3nx)               C 22  n2  C 23 x   C n n x n   3n  n x n n lim  n   x  (1  x) n   nx (1  nx)  (1  nx)  3nx  (1  3nx)   Cn2 22  n 3n 3n  2n   3.12  2.1 +) Khi n 1 tương tự ta L   2 3n  2n Vậy L  Câu 8: (ĐỀ THI OLYMPIC 11 – BIM SON 2014) Cho dãy số ( xn ) xác định sau:  x1 10, x2 4, x3 2014   xn 3  xn 2  xn 1  xn , n 1 Chứng minh dãy ( xn ) có giới hạn tìm giới hạn dãy số Lời giải  a1 2014 b1 4 Xét dãy (an ) (bn ) sau:  ,  an 1 3 an , n 1 bn 1 3 bn , n 1 Ta thấy (an ) dãy giãm dần dãy (bn ) tăng dần Suy lim an lim bn 9 (1) an max{x3n , x3n 1 , x3n 2 } ( n 1) (2) Ta chứng minh  bn min{x3n , x3n 1 , x3n 2 } Thật vậy, với n 1 (2) hiển nhiên Giả sử (2) với n k 1 Khi với n k  ta có bk 1 3 bk  x3k  x3k 1  x3k 2 x3 k 3 3 ak ak 1 bk 1 3 bk 2 bk  bk 1  x3k 1  x3k 2  x3k 3 x3k 4 2 ak  ak 1 3 ak ak 1 bk 1 3 bk  bk  bk 1  x3k 1  x3k 2  x3k 4  x3k 5  ak  ak 1 3 ak ak 1  ak 1 max{x3k 3 , x3 k 4 , x3k 5 } Suy  bk 1 min{x3k 3 , x3k 4 , x3k 5 } Suy (2) với n k  , (2) với số tự nhiên khác Từ (1), (2) theo định lí kẹp ta có lim x3n lim x3n 1 lim x3n 2 lim an lim bn 9 Vậy lim xn 9 Câu (HSG ĐỀ 059) Chứng minh dãy số sau có giới hạn, tìm giới hạn  x1 2009   ,  xn 1   x n  n 1 Lời giải Ta có x2 < < 1/2 Ta chứng minh: xk < 1/2 xk+ < 1/2 (x  1)(2 x n  1)  xn  n 0 Do xn < 1/2 với n Suy x n 1  x n   2x n  2x n Do (un) tăng dãy số có giới hạn  a 1( lo¹ i) Giả sử limxn = a, Từ công thức truy hồi lấy giới hạn hai vế ta a   2a    a 1 / Vậy limxn = 1/2 Câu 6: (HSG THPT LÊ VĂN HƯU LỚP 11) Cho dãy số  xn  xác định sau:  x1  xn1 (N* tập hợp số nguyên dương) Tìm lim  * n   x x  x  11 x  ,  n  N n  n1 n n Lời giải * Ta thấy xn  n  N nên xn  xn1  xn    xn1 3 xn xn n Mặt khác, từ xn 1  xn  xn   Do đó: lim   n    2  3 xn  xn1 3 n   x n Vậy lim Câu 6: (HSG NƠNG CƠNG – THANH HĨA NĂM 2017-2018) Tìm số hạng tổng quát dãy số  un  u1 2 xác định bởi:  un 1 3un  n  1, n 1, n   Lời giải Đặt g  n  an  bn  c un  g  n  ,  a, b, c    với 1 3vn 2 Khi đó: 1 3vn  un 1  g  n  1 3  un  g  n    3un  n   g  n  1 3un  3g  n  n   a  n  1  b  n  1  c 3an  3bn  3c   a  1 n   2a  b  n   a  b  c 3an  3bn  3c  a    a  3a     b  Đồng thức ta có:  2a  b 3b 1  a  b  c 3c   c     Do ta được: g  n   n  n  2 1  Vậy: un  n  n   un vn   n  n  1 2 2  u1 2  Theo giã thiết:  un 1 3un  n  1, n 1, n   vn 1 3vn  v1 u1  g  1 4 n n Suy ra: 3 v1 4.3 1 n n Vậy: un 4.3  n  n  4.3   n  n   2 Câu 6: (HSG NÔNG CÔNG – THANH HÓA NĂM 2017-2018) Cho dãy số  un  thỏa mãn: u1 1  2 n Tính lim un u   n  1 un 1  n  n  n2  n 1 1  Lời giải 2 Ta có:  n  n  1    n  1  n    n2  1  2n  n  1   n  1  n  1  n  2n   Vậy: un   n  1 un 1 2n  n  1 un 1 2 n 2n  n   n u   n n n  n2 1  n2  2n    n2  n  1   n.un 2  n  1 un 1    1   n u   n  u      n n  n  n  2n  n2   n  1  1  1  2vn 1  1  Vậy   cấp số nhân với công bội q  n 1 2 1 v1    n  v1  n 2 1 1  nun   n  un    lim un 0 n n 1 n  n  1 n.2 Đặt n.un  Câu 6: (HSG THPT TĨNH GIA NĂM 2018-2019) Cho dãy số  un  xác định u1 2017  u2 2018 u (u  u ) 2u u , n  , n 2 n  n 1  n n  n 1 Hãy lập cơng thức tính un theo n tính lim un Lời giải Ta có un (un   un 1 ) 2un  un 1 , n  , n 2  1   un un 1 un  1  2vn vn 1    1  vn    (vn) cấp số cộng có cơng sai un 1 2019  n d v2  v1    số hạng đầu v1  2017.2018 2017 2017.2018 2017.2018  un  2019  n  lim un 0 Đặt  (HSG THPT CẨM THỦY 1) Cho dãy số thực (un ) xác định u1 2019 Tìm giới hạn dãy số  Sn  , biết :  * un  2018un  2020un 1  0, (n  N ) 1 Sn     u1  2019 u2  2019 un  2019 Lời giải Từ hệ thức truy hồi ta có 2020(un 1  un )  un  1 0, n  N *  (un ) tăng Câu 6: * Do : un 2019, n  N Ta có : un2  2018un  2020un 1  0 un2  2018un  2020 u  2018un  2019  un 1   n 2020  un 1  1   (*) un  2019 un  un 1  1 1    Từ (*) suy : S n  u1  un 1  2018 un 1  Do dãy số (un ) tăng nên có hai khả xảy : - (un ) tăng bị chặn : Giả sử lim un  x  x 2019 Khi :  2020(un 1  1) (un  1)(un  2019)  x  2018 x  2020 x  0  x 1 (không thảo mãn)   - (un ) tăng khơng bị chặn : Khi lim un   lim   0  un 1    1   Do : lim S n lim    2018 un 1   2018 Câu 6: (HSG THPT TRIỆU SƠN NĂM 2018-2019) Cho dãy số  un  xác định sau u1 1 un 1 un2020  2018un2019  un , với n  *  u12019  u32019 un2019 u22019 lim       un 1  2018   u2  2018 u3  2018 u4  2018 Lời giải Ta dễ dàng thấy un 1 với n   * 2020 2019 Xét un 1  un un  2018un  với n   * nên dãy  un  tăng Giả sử dãy  un  bị chặn trên,  un  có giới hạn Giả sử lim un a 1 2020 2019 Từ hệ thức un 1 un  2018un  un chuyển qua giới hạn có a a 2020  2018a 2019  a  a 0 a  2018 (vô lý) Vậy dãy  un  không bị chặn Suy lim un  Ta có uk2019  uk  2018  uk2019 uk 1  uk   uk 1  2018  uk 1  2018   uk  2018   uk 1  2018   uk  2018   1  uk  2018 uk 1  2018 Tính  u32019 un2019 u12019 u22019 1       u2  2018 u3  2018 u4  2018 un 1  2018 u1  2018 un 1  2018  u12019  u32019 un2019 u22019     Vậy lim   u n 1  2018   u2  2018 u3  2018 u4  2018   1 1 lim     u  2018  2019  u1  2018 un 1  2018  Câu 6: (THPT ĐÔNG SƠN NĂM 2018-2019) Cho dãy  un  xác định u1 2  lim un  * Tìm u  u  u   ,  n   n  n 1 n Lời giải Với n   * ta có un 0 un 1  un  4un     4un 1  1   4un 1   4un    4un 1    4un   (*)       4un     Với n   * , đặt  4un   , từ (*) ta có v1 1, 1  , n   * Do   tạo thành cấp số nhân với công bội q  n   1       1 n Suy         1    un    lim un  4  3 Câu 6: (HSG THPT HẬU LẬU NĂM 2018-2019) Cho dãy số  un  xác định   u1   5u  4u  4n  14 , n 1 n 1 n 4n  8n   Tìm lim un ? Lời giải 10 4    un 1    un  Ta có 5un 1  4un   2n  2n  2n   2n   4  1     cấp số nhân có cơng bội q  số hạng đầu Đặt un  2n  5 n n  4 v1 u1  1    n  N *  un    2n     5 n   4  lim u  lim   Vậy n    0 n   5   Câu 7: (ĐỀ HSG NƠNG CƠNG – THANH HĨA NĂM 2017-2018) Cho dãy số (un) u  2018  xác định  Hãy lập cơng thức tính un theo n tính lim un n  4n  u  un , n 1  n 1 2n  4n  Lời giải un 1 (n  1)  2(n  1) u un   n 2 n  2n (n  1)  2(n 1) n  2n u u 2018 1 Đặt  n  1   (vn) cấp số nhân có cơng bội q  số hạng đầu v1   n  2n 2 3 2018 4036 n  2n    un  n 3 2n n(n  1)(n  2) n n 3 +) Ta có (1  1) Cn  Cn  Cn  Cn   Cn Cn  n  2n  un  8072 n(n  1)(n  2) Ta có un 1     n  2n n n2 lim  8072  8072 lim 0  lim un 0 n(n  1)(n  2)    2  1  1   n  n  Câu (HSG THPT QUẢNG XƯƠNG NĂM 2018-2019) Cho dãy số ( xn ) xác định  x   sau :  với n   xn  xn1   n  1 xn    n2 xn  Tìm nlim   Lời giải Ta có xn 1   xn 2(n  1) xn  1   2(n  1)  2(n  1) xn  xn 1 xn xn 1 1  2(n  1)   2n xn1 xn xn xn  1  2(n  1) xn  xn  ………………… 1  2 x1 x0 Cộng vế với vế suy ra:  1 n( n  1)  2      n  2 n  n  1 xn x0 2 n(n  1)   n xn  n Vậy lim  n xn   lim n 1 n   n  n  n  xn n n2 Câu (HSG ĐỀ 075) Cho dãy số  un  lim un Lời giải 1 un  0, n  N * ; unn11 unn  n  unn11  unn  n 5 u1 5  xác định  , n 1 Tính n un n 1  un   n 