Tổ hợp xác suất

Câu (HSG NAM ĐỊNH 2014-2015) Gọi M là tập hợp gồm tất các số tự nhiên có ít hai chữ số và các chữ số đôi một khác được lập từ các chữ số 1; 2; 3; 4; Chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp M Tính xác suất để số được chọn có tổng các chữ số bằng 10 Lời giải +) Số phần tử của tập M là A5  A5  A5  A5 = 320 +) Số phần tử không gian mẫu là n() =320 +) Các tập hợp có tổng các phần tử bằng 10:  1; 2;3; 4 ;  1; 4;5 ;  2;3;5 Gọi A là biến cố “chọn ngẫu nhiên một số từ tập M mà tổng các chữ số bằng 10”  số kết thuận lợi của biến cố A là: n( A) = 4! + 2.3! = 36 Vậy xác suất của biến cố A là P ( A)  Câu 6: n( A) 36   n() 320 80 (HSG ĐÀ NẴNG NĂM 2011-2012) Từ tập hợp tất các số tự nhiên có năm chữ số mà các chữ số khác 0, lấy ngẫu nhiên một số Tính xác suất để số tự nhiên được lấy có mặt ba chữ số khác Lời giải Ta có:  9 59.049 +) Gọi A là biến cố cần tìm xác suất, ta có: Sớ cách chọn chữ số phân biệt a, b, c từ chữ số thập phân khác là C9 Chọn chữ sớ cịn lại từ chữ sớ đó, có trường hợp rời sau đây: +) TH1 Cả chữ sớ cịn lại bằng chữ số a, b, c: có cách; hoán vị từ 5! hoán vị của chữ số (chẳng hạn) a, a, a, b, c tạo một số tự nhiên n; 3! hoán vị của các vị trí mà a, a, a chiếm chỗ tạo một số n, nên TH1 này có thảy 5!  60 số tự nhiên 3! +) TH2 chữ sớ cịn lại bằng chữ số a, b, c và chữ số bằng chữ số khác chữ số đó: có cách; hoán vị từ 5! hoán vị của chữ số (chẳng hạn) a, a, b, b, c tạo một số tự nhiên n; 2! hoán vị của các vị trí mà a, a chiếm chỗ và 2! hoán vị của các vị trí mà b, b chiếm chỗ tạo một số n, nên TH2 này có thảy 5! 3 90 số tự nhiên 2!2! 9! 150 7 4 3 12600 Suy A (60  90)C9 150  3!6! A 12.600 1.400   0,213382106 Kết luận: P  A    59.049 6.561 Câu 3: (HSG ĐỀ 046) Cho các số 1,2,3,4 Hỏi lập được số có năm chữ số đó có hai chữ số và ba chữ sớ cịn lại khác và khác Tính tổng tất những số đó Lời giải Mỗi số có chữ số gồm số và số khác là hoán vị phần tử 1,1,2,3,4 số P5 60 được số vậy các số cần lập là P2 +) Số có chữ số có dạng abcde : S  abcde 10  a  10  b  10  c  10. d  e vị trí, chữ số xuất 24 lần, chữ số xuất 12 lần Do đó tổng tất các số là S 12(1     4)11111 1466652 hoán vị vẫn Câu 3: (HSG ĐỀ 047) Gọi A là tập hợp tất các số tự nhiên có chữ số Chọn ngẫu nhiên một số từ tập A, tính xác suất để chọn được một số chia hết cho và chữ số hàng đơn vị bằng Lời giải Số các số tự nhiên có chữ số là 99999  10000  90000 Giả sử số tự nhiên có chữ số chia hết cho và chữ số hàng đơn vị bằng là: abcd1 Ta có abcd1 10.abcd 1 3.abcd  7.abcd 1 chia hết cho và 3.abcd  chia hết h cho Đặt 3.abcd  7h  abcd 2h  là số nguyên và h 3t  Khi đó ta được: abcd 7t   1000 7t  9999 998 9997  t   t   143, 144, , 1428 suy số cách chọn t cho số abcd1 chia hết 7 cho và chữ số hàng đơn vị bằng là 1286 1286 0, 015 Vậy xác suất cần tìm là: 90000 Câu 3: (HSG ĐỀ 048) Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, có thể lập được số tự nhiên gồm chữ số cho chữ số có mặt ít một lần và các chữ số chẵn không đứng cạnh Lời giải Gọi n là số thỏa mãn yêu cầu bài toán, chữ có mặt ít lần nên n có chữ số khác và chữ sớ cịn lại trùng với mợt chữ sớ đó - Nếu chữ số trùng là số lẻ n có chữ sớ lẻ và chữ số chẵn Có cách chọn chữ số lẻ trùng Đầu tiên ta xếp thứ tự các ch sụ l: Co C5 cách xếp hai chữ số lÏ trïng nhau, tiếp theo có 3! cách xếp chữ sớ lẻ cịn lại ứng với cách xếp chữ số lẽ, ta có vị trí (trước, xen giữa, và sau các chữ số lẻ) có thể xếp các chữ số chẵn để được số n Do đó có A6 cách xếp các chữ số chẵn Trong trường hợp này có 4C5 3! A6 28800 số - Nếu chữ số trùng là chữ sớ chẵn n có chữ sớ lẻ và chữ số chẵn Có cách chọn chữ số chẵn trùng Tương tự ta có 4! cách xếp các chữ số lẽ, đó có vị trí để xếp các chữ số chẵn Có C 52 cách xếp hai chữ số chẵn trùng nhau, tiếp theo có A 32 cách hai chữ sớ chẵn cịn lại 2 Trong trường hợp này có 3.4!C5 A3 4320 số Vậy có tất 28800 + 4320 = 33120 số thỏa mãn yêu cầu bài toán Câu 7: (HSG ĐỀ 049) Có số tự nhiên gồm chữ số biết rằng chữ số có mặt hai lần, chữ số có mặt ba lần, các chữ sớ cịn lại có mặt khơng quá mợt lần Lời giải Nếu sớ cần tìm chứa có cách chọn vị trí cho 0, có C5 cách chọn vị tí cho hai chữ số 2, có + C63 cách chọn vị trí cho chữ số 3, có A73 cách chọn chữ số cho vị tí lại Do đó trường 3 hợp này có 8.C5 C6 A7 940800 số Nếu sớ cần tìm khơng chứa có C9 cách chọn vị trí cho hai chữ số 2, có C7 cách chọn vị trí + cho ba chữ số 3, có A7 cách chọn bốn chữ số cho bớn vị trí cịn lại Do đó trường hợp này có C92 C73 A74 1058400 số Vậy có 940800+1058400=1999200 số Câu (HSG HÀ NAM) Từ các chữ số 1, 3, 4, lập các số tự nhiên có sáu chữ số, đó chữ số có mặt ba lần, các chữ sớ cịn lại có mặt một lần Trong các số được tạo thành nói trên, chọn ngẫu nhiên một số Tính xác suất để số được chọn chia hết cho 4? Lời giải +) Gọi sớ cần tìm là abcdef với a, b, c, d , e, f   1,3, 4,8 Sắp xếp chữ số vào vị trí, có C6 cách Sắp xếp chữ số 1;4;8 vào vị trí lại có 3! cách Vậy có tất C6 3! 120 số +) Một số chia hết cho và hai chữ số tận tạo thành 1số chia hết cho Trong các số trên, số lấy chia hết cho có tận là 48, 84 Trong trường hợp có C4 4 cách xếp chữ số 3và vào vị trí lại, suy có số chia hết cho Gọi A là biến cố: “ Số lấy chia hết cho 4” Vậy số các kết thuận lợi cho A là A 8 +) Số phần tử của không gian mẫu là  120 Xác suất của biến cố A là PA  A    120 15 Câu (HSG ĐỀ 053) Cho tập hợp A gồm các số tự nhiên có chữ số Chọn ngẫu nhiên một số từ tập A Tính xác suất để số được chọn có tổng các chữ số bằng Lời giải Số các số tự nhiên có chữ số là 9.104 số Do tổng các chữ số của số được chọn bằng nên ta có các trường hợp sau +) Trường hợp 1: Số được chọn có chữ số và chữ số 0, 3 có chữ số đứng đầu nên có C4 cách xếp chữ sớ cịn lại, suy có C4 4 số +) Trường hợp 2: Số được chọn có chữ số 1, chữ số và chữ số 1 Khi đó C4  C4C3 18 số 1 +) Trường hợp 3: Số được chọn có chữ số 1, chữ số và chữ số 0, đó có C4  C4 8 số +) Trường hợp 4: Số được chọn có chữ số và chữ số 0, đó có C4 4 số +) Trường hợp 5: Số được chọn có chữ số và chữ số 0, đó có số Do đó có tất  18    35 số có thể được chọn 35  Xác suất cần tìm là P  9.10 18000 Câu 4: (ĐỀ THI OLYMPIC 11 – BIM SON 2012) Có số tự nhiên chẵn gồm chữ số mà các chữ sớ đứng cạnh khác nhau? Lời giải Số các số có n chữ số khác mà các chữ sớ đứng cạnh khác là 9n sớ +) Với n 1 ta có chữ số chẵn và chữ số lẻ (không tính số ) Suy số lẻ nhiều số chẵn số +) Giả sử với n k sớ lẻ nhiều chữ sớ chẵn số, suy số các số lẻ là 9k  , số các số chẵn là 9k  Bây ta xét các số có k  chữ số mà các chữ số đứng cạnh khác 9k  9k  9k 1  9k  9k  9k 1  Khi đó có số chẵn và số lẻ .5     2 2 2 Như vậy số các số chẵn lại nhiều số các số lẻ sớ +) Giả sử với n k sớ chẵn nhiều chữ số lẻ số, lập luận ta suy được đối với số có k  chữ sớ sớ lẻ nhiều số chẵn số Do đó ta có quy ḷt: với n là sớ lẻ sớ các số lẻ nhiều số các số chẵn số, cịn với với n là sớ chẵn sớ chẵn nhiều số lẻ số Vậy số các số chẵn thỏa mãn đề bài là Câu 6: 96  265721 số (ĐỀ THI HSGTPDN - Toan11 - 2013) Từ tập hợp tất các số tự nhiên có năm chữ số mà các chữ số khác , lấy ngẫu nhiên một số Tính xác suất để số tự nhiên được lấy ra, có ba chữ số khác Lời giải + Ta có:  9 59.049 * Gọi A là biến cớ cần tìm xác suất, ta có: + Sớ cách chọn chữ số phân biệt a, b, c từ chữ số thập phân khác là C9 Chọn chữ sớ cịn lại từ chữ số đó, có trường hợp rời sau đây: + TH1 Cả chữ sớ cịn lại bằng chữ số a, b, c : có cách; hoán vị từ 5! hoán vị của chữ số (chẳng hạn) a, a, a, b, c tạo một số tự nhiên n ; 3! hoán vị của các vị trí mà a, a, a 5! chiếm chỗ tạo mợt số n , nên TH1 này có thảy  60 số tự nhiên 3! + TH2 chữ sớ cịn lại bằng chữ số a, b, c và chữ số bằng chữ số khác chữ số đó: có cách; hoán vị từ 5! hoán vị của chữ số (chẳng hạn) a, a, b, b, c tạo một số tự nhiên n ; 2! hoán vị của các vị trí mà a, a chiếm chỗ và 2! hoán vị của các vị trí mà b, b chiếm 5! 90 số tự nhiên chỗ tạo mợt sớ n , nên TH2 này có thảy  2!2! 9! 150 7 4 3 12600 * Vậy: A (60  90)C9 150  3!6! A 12.600 1.400   0,213382106 ( 0, 21 ) * Kết luận: P  A    59.049 6.561 Câu 4: (ĐỀ THI OLYMPIC 11 – BIM SON 2013) Chọn ngẫu nhiên số 100 số tự nhiên từ đến 100 Tính xác suất để tổng ba số chia hết cho Lời giải Gọi A0 , A1 , A2 là tập hợp các số tự nhiên từ đến 100 lần lượt chia hết cho , chia cho dư , chia cho dư Suy A0 , A1 , A2 lần lượt có 33,34,33 phần tử Số phần tử của không gian mẫu  C100 Ta có các trường hợp sau Trường hợp 1: Ba số thuộc A0 suy có C33 cách chọn Trường hợp 2: Ba số thuộc A1 suy có C34 cách chọn Trường hợp 3: Ba số thuộc A2 suy có C33 cách chọn 1 Trường hợp 4: Một số thuộc A0 , một số thuộc A1 , một số thuộc A2 suy có C33 C34C33 cách chọn 3 1 Gọi A là biến cố cho, đó  A C33  C34  C33  C33C34C33 A 817  Xác suất của biến cố cho là P ( A)   2450 Câu 4: (ĐỀ THI OLYMPIC 11 – BIM SON 2015) Từ các chữ số 0,1, 2,3, 4,5 có thể lập được số có chữ số đôi một khác Tính tổng tất các số đó Lời giải Gọi n a1a2 a3a4 a5 là sớ cần tìm +) Có cách chọn a1 , ứng với cách chọn đó ta có A5 cách chọn chữ sớ cịn lại Do đó có A54 600 số thỏa mãn đề bài +) Ta có n 10 a1  10 a2  10 a3  10.a4  a5 Do đó tổng của 600 số là S 104.S1  103.S  102.S3  10.S  S5 đó S1 , S , S3 , S4 , S5 lần lượt là tổng của tất các chữ số các vị trí a1 , a2 , a3 , a4 , a5 +) Có 600 chữ số xuất vị trí a1 chia cho chữ số 1, 2,3, 4,5 nên số lần xuất của chữ 600 120 lần Do đó S1 120(1     5) 1800 Trong 600 số có 4.4! 96 số không có chữ số , suy có 600 – 96 504 số có mặt chữ số Do số là 504  120 96 Tương tự số lần xuất của các chữ số 2,3, 4,5 vị trí a2 , a3 , a4 , a5 là 96 đó số lần xuất của chữ số vị trí a2 , a3 , a4 , a5 là Do đó S S3 S4 S5 96(1     5) 1440 Vậy S 104.1800  1440(103  102  10  1) 19.599.840 Câu 4: (ĐỀ THI OLYMPIC 11 – BIM SON 2014) Gọi A là tập hợp các số tự nhiên gồm chữ số khác Chọn ngẫu nhiên một số từ tập A, tính xác suất để số được chọn không có chữ số có mặt các chữ số 1,3,5 đồng thời chữ số đứng trước chữ số và chữ số đứng trước chữ số Lời giải Số phần tử của tập A là 9.A9 Xét các số được chọn - Có C7 cách chọn số vị trí để xếp chữ số 1,3,5 Ứng với cách chọn đó có một cách xếp ba chữ số đó - Có A6 cách chọn chữ số khác lại và xếp vào vị trí lại Do đó có C7 A6 số được chọn C73 A64 = A9 216 Câu 7: (HSG THPT LÊ VĂN HƯU LỚP 11) Xác xuất để vận động viên bắn súng bắn ba viên đạn vào vòng 10 là 0,008, xác suất để vận động viên đó bắn một viên vào vòng và lần lượt là 0,15 và 0,4 Tính xác suất để ba lần bắn vận động viên đạt được ít 28 điểm Lời giải Gọi A, B, C, D lần lượt là xác suất vận động viên bắn một viên đạn trúng Vòng 10, 9, 8, điểm Ta có 0, 008 ( P( A))3  P( A) 0, Vì P (C ) 0,15; P ( D) 0,4 và A, B, C, D là các biến cố đôi một độc lập nên P ( B ) 1  (0,2  0,15  0,4) 0,25 Vậy xác suất để chọn được số thỏa mãn yêu cầu đề bài là P  Trường hợp 1: viên trúng vòng 10; viên trúng vòng xác suất là: C 32 (0,2) (0,15) Trường hợp 2: viên trúng vòng 9; viên trúng vòng 10 xác suất là: C 32 (0,25) (0,2) Trường hợp 3: viên trúng vòng 10; viên trúng vòng xác suất là: C 32 (0,2) (0,25) Trường hợp 4: Cả ba viên trúng vòng 10 theo giả thiết xác suất là 0,008 Theo quy tắc cộng ta được xác suất để vận động viên bắn ba viên đạn đạt được ít 28 điểm là: 0,018 + 0,0357 + 0,03 + 0,008 = 0,0935 Câu 7: (HSG NƠNG CƠNG – THANH HĨA NĂM 2017-2018) Cho    là đa giác 2n đỉnh nợi tiếp đường trịn tâm O  n  , n 2  Gọi S là tập hợp các tam giác có ba đỉnh là các đỉnh của đa giác    Chọn ngẫu nhiên một tam giác thuộc tập tập S là S , biết rằng xác suất chọn được một tam giác vuông Tìm n 13 Lời giải Sớ phần tử của tập hợp S là: C2n Số phần tử của không gian mẫu là:  C2n Gọi A là biến cố: “Chọn được tam giác vuông” Đa giác 2n đỉnh có n đường chéo qua tâm O Mỗi tam giác vuông được tạo hai đỉnh nằm một đường chéo qua tâm O và mợt đỉnh 2n  đỉnh cịn lại  Số tam giác vuông được tạo thành là: Cn1 C21n  Theo bài rat a có: P  A   Cn1 C21n   C23n 13 Câu 7: (HSG NƠNG CƠNG – THANH HĨA NĂM 2017-2018) Có 12 người xếp thành một hàng dọc được đánh số thứ tự từ đến 12 Chọn ngẫu nhiên người hàng Tính xác suất để người được chọn không có người nào đứng cạnh Lời giải Số phần tử của không gian mẫu:  C12 120 Giã sử chọn người hàng có số thứ tự lần lượt là: m, n, p m  n  p  Theo giã thiết ta có:  n  m    p  n 1   a m  Đặt b  n   c  p   m  n  p  m  n  n  p   a  b  c  b  a 1  c  b 1 1 a  b  c  p  10  a, b, c là ba số tập  1; 2;3; 4;5;6;7;8;9;10  có C103 cách chọn hay   C103 120 Vậy 120  xác suất     220 11 Câu 7: (HSG YÊN ĐỊNH – THANH HÓA NĂM 2017-2018) Lớp 11A có 44 học sinh đó có 14 học sinh đạt điểm tổng kết môn Toán loại giỏi và 15 học sinh đạt điểm tổng kết môn Văn loại giỏi Biết rằng chọn một học sinh của lớp đạt điểm tổng kết môn Toán Văn loại giỏi có xác suất là 0,5 Chọn ngẫu nhiên lớp 11A hai học sinh Tính xác suất để hai học sinh được chọn đạt điểm tổng kết giỏi hai môn Toán và Văn Lời giải Chọn một học sinh đạt điểm tổng kết môn Toán môn Văn loại giỏi học sinh đó có thể giỏi mợt môn Toán, Văn có thể giỏi hai môn Số học sinh giỏi ít một môn là 0,5.44 22 Gọi x ; y ; z lần lượt là số học sinh giỏi môn Toán; Văn; giỏi hai môn  x  z 14  x 7     y 8 Ta có hệ phương trình  y  z 15  x  y  z 22  z 7   Vậy số học sinh đạt điểm tổng kết giỏi hai môn Toán và Văn là C72 21 Xác suất là: P   C44 946 Câu 8: (HSG THPT TĨNH GIA NĂM 2018-2019) Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có chín chữ số đôi một khác Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên thuộc tập A Tính xác suất để số chọn được chia hết cho Lời giải +) Trước hết ta tính n    Với số tự nhiên có chín chữ sớ đơi mợt khác chữ số đầu tiên có 8 cách chọn và có A9 cho vị trí lại Vậy n    9 A9 +) Giả sử B  0;1; 2; ;9 ta thấy tổng các phần tử của B bằng 453 nên số có chín chữ số đôi một khác và chia hết cho được tạo thành từ chữ số của các tập B \  0 ; B \  3 ; B \  6 ; B \  9 nên số các A99  3.8 A88 11  số loại này là A  3.8 A Vậy xác suất cần tìm là A98 27 Câu 7: (HSG THPT CẨM THỦY 1) Cho đa giác 108 cạnh Hỏi lập được hình lục giác có đỉnh là đỉnh của đa giác cho không có cạnh nào là cạnh của đa giác Lời giải Gọi các đỉnh của đa giác là A1 , A2 , , A108 Bài toán trở thành chọn số cho không có hai số tự nhiên liên tiếp nào từ các số 1, 2, ,108 và loại trường hợp số chọn là và 108 Gọi số được chọn là a, b, c, d , e, f Ta có : a  b  c  d  e  f 108 (1) Do a, b, c, d , e, f đôi một không là các số tự nhiên liên tiếp nên: a  b  1, b  c  1, c  d  1, d  e  1, e  f  từ đó suy : a  b   c   d   e   f  103 Chọn một dãy A, B, C , D, E , F cho a  A, b  B, c  C , d  D, e  E , f  F   A  B  C  D  E  F 103 (2) Vì cách chọn bợ sớ A, B, C , D, E , F thỏa mãn (2) cho ta một cách chọn bộ số a, b, c, d , e, f thỏa mãn (1) nên có C103 cách Trường hợp có hai số là và 108 và bớn sớ cịn lại chọn từ 3, 4, ,106 cho không có hai số tự nhiên liên tiếp Tương tự ta có C101 cách Suy có : C103  C101 cách Chú ý : Có thể chia TH chọn A1 không chọn A1 Câu 7: (HSG THPT TRIỆU SƠN NĂM 2018-2019) Có hai chuồng nhốt thỏ, thỏ có lông mang màu trắng màu đen Bắt ngẫu nhiên chuồng một thỏ Biết tổng số 9 8 thỏ hai chuồng là 35 và xác suất bắt được hai thỏ đen là 247 Tính xác suất để 300 bắt được hai thỏ trắng Lời giải Gọi số thỏ ch̀ng thứ là x sớ thỏ chuồng thứ hai là 35  x ,  x  ,  x  35  Số phần tử của không gian mẫu  x  35  x  1 n    Cx C35 x x  35  x    306, 25 (1)   Gọi A là biến cố "Bắt được hai thỏ đen" Gọi B là biến cố "Bắt được hai thỏ trắng" Gọi a là số thỏ đen chuồng thứ nhất, b là số thỏ đen chuồng thứ hai ( a, b  * , a  x , b 35  x ) Không giảm tính tổng quát, giả sử a b Theo bài ta có Ca1Cb1 247 247 ab 247 P  A      (2) 300 x  35  x  300 x  35  x  300 Từ (2) suy ab247 (3) và x  35  x  300 (4) Từ (1) và (4) suy x  35  x  300 (5) Từ (2), (3), (5) suy ab 247 Mà 247 19.13 247.1 và a b nên suy a 19, b 13 x  35  x  300  x 20 (thỏa mãn a x ) x 15 (loại) C11C21   300 300 150 (HSG THPT TRIỆU SƠN NĂM 2018-2019) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho tam giác 9 7 ABC có điểm H  5;5  là trực tâm tam giác ABC điểm M  ;  là trung điểm cạnh BC  2 B , C Đường thẳng qua chân đường cao hạ từ của tam giác ABC cắt đường thẳng BC điểm P  0;8  Tìm toạ đợ các đỉnh A, B, C Vậy xác suất bắt được hai thỏ trắng là P  B   Câu 8: Lời giải A K E F I H P B C M A' Gọi  C  là đường tròn tâm I ngoại tiếp tam giác ABC và K  AP   C  Ta có tứ giác FBCE nợi tiếp đường trịn nên PB.PC PF PE Tứ giác KBCA nợi tiếp đường trịn nên PB.PC PK PA Từ đó suy PF PE PK PA đó tứ giác FEAK nợi tiếp đường trịn Mà tứ giác AFHE nợi tiếp đường trịn đường kính AH suy A, K ,F , H , E thuộc đường tròn đường kính AH  AKH 90 Gọi A ' đới xứng với A qua I ta có AKA ' 90 Từ đó suy K , H , A ' thẳng hàng (1) Ta có BE  AC , A ' C  AC  BE //A ' C và tương tự HC //BA ' nên tứ giác BHCA ' là hình bình hành Có M là trung điểm của BC M BC  HA ' hay H , M , A ' thẳng hàng (2) Từ (1) và (2) suy K , H , M , A ' thẳng hàng Suy AKM 90 hay MH  AP Mặt khác AH  PM Do đó H là trực tâm tam giác APM , suy PH  AM Đường thẳng BC qua M , P có phương trình là x  y  0 Đường cao AH qua H và vuông góc với BC có phương trình là x  y 0 Đường thẳng AM qua M và vuông góc với PH có phương trình là x  y  12 0  x  y 0  x 6  Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ  Suy A(6; 6) 5 x  y  12 0  y 6   Gọi B(b;8  b) , M là trung điểm BC nên C (9  b; b  1)  AC   b; b   , BH   b; b  3 Ta có   BH vuông góc với AC nên AC.BH 0  (3  b)(5  b)  (b  7)(b  3) 0  (3  b)(12  2b) 0  b 3   b 6 Vậy toạ đợ các đỉnh cần tìm là A(6;6), B(6; 2), C (3;5) A(6; 6) , B (3;5) , C (6; 2) Câu 7: (HSG THPT HẬU LẬU NĂM 2018-2019) Cho đa giác n cạnh ( n 3, n chẵn) Gọi S là tập hợp các tam giác có đỉnh là đỉnh của n - giác cho Chọn ngẫu nhiên một tam giác từ S Tìm n biết xác suất chọn được mợt tam giác cân và không từ S bằng 13 Lời giải Số các tam giác có đỉnh là đỉnh của n - giác cho bằng Cn Gọi biến cố A:“chọn được một tam giác cân từ tập S” TH1: Nếu n không chia hết cho tập S khơng có tam giác n n(n  2) +) Mỗi đỉnh của đa giác là đỉnh cân của tam giác cân  số tam giác cân là Suy xác 2 n(n  2) 3    n 14 suất P( A)  2Cn n  13 n TH2: Nếu n chia hết cho tập S có tam giác n( n  2) n n(3n  8)   n(3n  8) 3n  P( A)     3n  48n  120 0  n 8 2 6Cn n  3n  13 (không có n thỏa mãn) Vậy n 14 +) Số tam giác cân: Câu 5: (ĐỀ HSG NƠNG CƠNG – THANH HĨA NĂM 2017-2018) Chọn ngẫu nhiên một số tập hợp tất các số tự nhiên có chữ số Tính xác suất để chọn được một số chia hết cho và chữ số hàng đơn vị bằng Lời giải Gọi A là biến cố chọn được một số chia hết cho và chữ số hàng đơn vị bằng  Số các số tự nhiên có chữ số: 99999  10000  90000 là số phần tử của không gian mẫu của A Giả sử số tự nhiên có chữ số chia hết cho và chữ số hàng đơn vị bằng là: abcd1 Ta có abcd1 10.abcd  3.abcd  7.abcd  chia hết cho và 3.abcd  chia hết cho h Đặt 3.abcd  7h  abcd 2h  là số nguyên và h 3t  với t  Z Khi đó ta được: abcd 7t   1000 7t  9999 998 9997  t   t   143, 144, , 1428 suy số cách chọn t cho số abcd1 chia hết cho và 7 chữ số hàng đơn vị bằng là 1286 chính là số các kết thuận lợi của biến cố A 1286 0, 0143 Vậy xác suất cần tìm là: P ( A)  90000 Câu (HSG THPT QUẢNG XƯƠNG NĂM 2018-2019) Một hộp chứa 11 cầu được đánh số theo thứ tự từ đến 11, lấy ngẫu nhiên cầu Có cách chọn để tổng của các số được ghi cầu đó là số lẻ Lời giải Để tổng của số thẻ lấy được là số lẻ thẻ lấy được đó sớ thẻ mang số lẻ là 1; 3; TH1: Chọn cầu lẻ và cầu chẵn có: C61 C55 6 cách TH2: Chọn cầu lẻ và cầu chẵn có: C63 C53 200 cách TH3: Chọn cầu lẻ và cầu chẵn có: C65 C51 30 cách Theo quy tắc cộng, ta có số cách lấy thỏa mãn bài toán là:  200  30 236 Câu (HSG ĐỀ 075) Có số tự nhiên có 10 chữ số đôi một khác nhau, đó các chữ số 1, 2, 3, 4, được xếp theo thứ tự tăng dần từ trái qua phải các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, khơng được xếp vậy Lời giải Theo yêu cầu của bài toán các chữ sớ 1, 2, 3, và thiết phải đứng trước chữ số Do đó chữ số có thể đứng vị trí a6;7;8; 9;10 Ta xét lần lượt vị trí của 5, vị trí của và vị trí của (1,2,3,4) và ći là vị trí của các chữ sớ cịn lại Xét các trường hợp: +) a10 5  có vị trí cho và bộ (1,2,3,4) có C8 cách; bớn chữ sớ cịn lài là 0,7,8,9 có 4! cách xếp nên 4 4 có 9.C8 4! tính a1 0 Khi a1 0 có 8.C7 3! nên trương hợp này có 9.C8 4! 8.C7 3! số 4 +) a9 5  8.C7 4! 7.C6 3! 4 +) a8 5  7.C6 4! 6.C5 3! 4 +) a7 5  6.C5 4! 5.C4 3! +) a6 5  5.C4 4! Do vậy có thảy 22680 số Câu (HSG THPT CẨM THỦY NĂM 2018-2019) Cho đa giác 108 cạnh Hỏi lập được hình lục giác có đỉnh là đỉnh của đa giác cho không có cạnh nào là cạnh của đa giác Lời giải A , A , , A Gọi các đỉnh của đa giác là 108 Bài toán trở thành chọn số cho không có hai số tự nhiên liên tiếp nào từ các số 1, 2, ,108 và loại trường hợp số chọn là và 108 Gọi số được chọn là a, b, c, d , e, f Ta có : a  b  c  d  e  f 108 (1) Do a, b, c, d , e, f đôi một không là các số tự nhiên liên tiếp nên: a  b  1, b  c  1, c  d  1, d  e  1, e  f  từ đó suy : a  b   c   d   e   f  103 Chọn một dãy A, B, C , D, E , F cho a  A, b  B, c  C ,d  D, e  E , f  F   A  B  C  D  E  F 103 (2) Vì cách chọn bộ số A, B, C , D, E , F thỏa mãn (2) cho ta một cách chọn bộ số a, b, c, d , e, f thỏa mãn (1) nên có C103 cách